精品解析：湖南省衡阳市第八中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则=（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】，则. 故选：A. 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将集合中的式子都通分成分母为6的式子，然后可判断出答案． 【详解】因为，，， 而表示奇数，表示整数， 所以． 故选：B． 3. 已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】D 【解析】 【分析】首先求函数，根据选项依次采用代入的方法，判断选项. 【详解】因为，所以，且，所以函数是非奇非偶函数，故A，B项错误； 因为，既不是的最大值也不是最小值，所以不是的对称轴，故C项错误； 因为，所以是的一个对称中心，故D项正确. 故选：D. 4. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为， 即，又， 所以该柱体体积为. 故选：B. 5. 设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，以及向量与的夹角，结合题意可求得答案 【详解】因为，， 所以，，即， 所以向量与的夹角为， 所以， 故选：C 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】令，直接根据二项式定理求解即可. 【详解】令，则， 故， 中得系数为，中得系数为， 所以， 故选：C. 7. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，且，则（ ） A. 6 B. C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等差数列的通项公式与求和公式结合题意可得，再由组合数的性质结合分组求和法与裂项相消法求解即可 【详解】因为公差为的等差数列满足， 所以， 所以， ， 又 所以 ， 即， ，， 所以. 故选：B 8. 在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ） A. 16 B. 24 C. 25 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值. 【详解】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用降幂公式、和角公式与辅助角公式将化成正弦型函数，由正弦型函数的最小正周期判断A；利用代入检验法判断B：根据图象平移后的函数，结合偶函数特征求得，根据的范围求得的值，判断C；将方程的根的情况转化为两个函数图象的交点情况，利用正弦函数的图象求得m的取值范围判断D． 【详解】对于A，因 ，故的最小正周期为，故A错误： 对于B，因为时，，且，即函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，将的图象向右移个单位长度后，可得的图象， 由的图象关于y轴对称，则， 则，解得，又，故的最小值为，故C正确； 对于D，由得，即， 因，设，则，关于x的方程有两个实数根， 等价于函数与的图象在上有两个交点，所以， 解得，故D正确. 故选：BCD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的第80百分位数为11 B. 已知随机变量，设，则的方差 C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 【答案】AB 【解析】 【分析】利用第p百分位数意义计算判断A；利用二项分布的方差公式及方差的性质计算判断B；求出简单随机抽样的概率公式计算判断C；利用平均数的性质计算判断D作答. 【详解】对于A，由，得第80百分位数为11，A正确； 对于B，，则，因此，B正确； 对于C，简单随机抽样，从51个个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率相等，都是，C错误； 对于D，依题意，的平均数为，D错误. 故选：AB 11. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求结合题设，将问题转化为与有两个交点，，利用导数研究的性质并画出图象，应用数形结合即可判断A、B的正误；由零点可得，应用放缩即可判断C的正误；令易得，应用分析法需证成立，结合导数研究的值域范围，即可判断D的正误. 【详解】，有两个极值点，且， ∴，有两个零点，，且在，各自两边异号， ∴与有两个交点，， 记，则，易知：时，时， ∴在上递增，在上递减，即在上递增，在上递减． ∴有最大值，且时；时，又，， 由上的图象如下， ∴当且仅当时与有两个交点，才符合条件，且，故A正确，B不正确． 又， ∴，故 C正确． 令，则， ∴，则，， ∴要证，只需证，只需证， 令，则， ∴在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：将问题转化为与有两个交点，，应用导数研究函数性质，由数形结合判断参数范围；根据零点处的等量关系及放缩法证明不等式；由分析法转化证明的结论，再构造函数并利用导数研究函数值域，即可证明不等式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出来，的坐标，然后利用坐标求数量积即可. 【详解】以A为坐标原点，以，所在的直线分别为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 则，， 所以. 故答案为：5. 13. 记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可. 【详解】由题意,,, 因为,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题. 14. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，利用椭圆的定义可得，再由平面向量的知识可得，从而得到；结合“蒙日圆”的定义可知，由此得到，故，所以，故得解． 【详解】因为椭圆，所以，，故，，， 如图，令，因为，所以， 即，结合图象，由平面向量的知识可得， 故，两式相加得， 即，即，由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时， 易知椭圆的“蒙日圆”的直径为这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得，， 所以，故． 令，，则， 所以，由二次函数易知，所以， ，所以最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的结构特点可得平面，利用线面垂直的性质及线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证明； （2）以点为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 由题知平面，又平面，所以. 又，，平面，平面，所以平面. 又平面，所以. 因为，所以四边形是正方形，所以. 又，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以点为原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示. 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为，则，即. 取，则， 所以平面的一个法向量为. 由（1）得平面的一个法向量为. 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角A的大小； （2）法一：根据直角三角形角的关系可设，则PA，PD，PC均可用x表示，利用余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出的最小值；法二：由，，可知P，E，B，D四点共圆，从而表示，转化为求BP最小值，数形结合，当时，BP最小，在直角三角形中求出BP最小值即可求出DE的最小值；法三：以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，求出E点坐标，利用两点距离公式可求出DE的最小值． 【小问1详解】 在中，，． 由及正弦定理得，， 整理得． 由于，，则．又，故． 【小问2详解】 如图1，在中，， 且， 由正弦定理得，，即，得． 由于，则与B互补，故． 方法1：单变量法 设，则，，，． 则．当时，， 所以DE取得最小值为． 方法2：四点共圆 如图1，由，，故P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆直径． 由正弦定理得， 故求DE的最小值等价于求BP的最小值．当时，BP最小， 此时，， 故DE取得最小值为． 方法3：建系坐标法 以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 如图2，则，， 直线BC：，直线AC：． 设，则，直线PE：． 联立方程，得， ． 当时，，所以DE取得最小值为． 17. 下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 （1）若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 【答案】（1），，A，B不相互独立； （2）一等奖：外观和内饰均异色；二等奖：外观和内饰均同色；三等奖：外观和内饰恰有1个同色，分布列见解析；期望为． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率计算，结合条件概率的公式与独立事件的判断方法即可得； （2）典概型的概率计算与组合数的计算，可求得三种情况的概率，再得分布列及数学期望． 【小问1详解】 因为汽车模型总共有个，即，事件A包含共个汽车模型，即， 且每个汽车模型被抽到的可能性相等，根据古典概率模型得，. 又因为事件B包含共个汽车模型，即. 又因为事件包含3个汽车模型，即，， 由条件概率公式得， 所以，故事件A，B不相互独立． 【小问2详解】 ①当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均同色时，则在4款汽车模型中每款中抽2辆， 共有种结果，所以概率为. ②当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰均异色， 则只能从红色外观棕色内饰抽的汽车模型抽取1辆且从蓝色外观米色内饰的汽车模型抽1辆， 或者红色外观米色内饰的汽车模型中抽取1辆且从蓝色外观棕色内饰的汽车模型中抽取1辆，共有， 所以概率为. ③当抽取的2辆汽车模型的外观和内饰恰有1个同色，则有以下四种情况： 2辆汽车模型的外观均为红色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的外观均为蓝色且内饰颜色不同的有种， 2辆汽车模型的内饰均为棕色且外观颜色不同的有， 2辆汽车模型的内饰均为米色且外观颜色不同的有， 所以概率为. ∵，∴一等奖：外观和内饰均异色； 二等奖：外观和内饰均同色，三等奖：外观和内饰恰有1个同色． ∴，，， 其分布列为 X P ∴． 18. 已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数. （2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积. （3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点. 【小问1详解】 （1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i）1；（ii）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 （i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026届高二年级第二学期期末考试 数学试题 时量：120分钟 满分：150分 考试范围：高考全部内容 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则=（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 若集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，函数的图象由图象向右平移个单位得到，则下列关于函数的图象说法正确的是（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 4. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ） A. B. C. D. 5. 设向量与的夹角为θ，定义，已知，，则（ ） A. B. C. 5 D. 25 6. 已知，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 12 7. 已知公差为的等差数列的前项和为，且，，且，则（ ） A. 6 B. C. 11 D. 8. 在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（ ） A. 16 B. 24 C. 25 D. 36 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象向右移个单位长度后，图象关于y轴对称，则的最小值为 D. 若关于x的方程在上有两个实数根，则实数m的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的第80百分位数为11 B. 已知随机变量，设，则的方差 C. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 D. 若样本数据的平均数为2，则的平均数为8 11. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，四边形是边长为4的正方形，若，且为的中点，则______. 13. 记等差数列和的前项和分别为和，若，则______. 14. “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现，若椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上一动点，过P和原点作直线l与圆C的蒙日圆相交于M，N，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 17. 下表为某汽车模型公司共有个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 7 米色内饰 3 5 （1）若小明从这些模型中随机抽一个模型，记事件A为小明取到的模型为红色外观，事件B为取到的模型是米色内饰，求，，并据此判断事件A，B是否相互独立． （2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中抽两个汽车模型．现做出如下假设： 假设1．抽取的情况有三种可能，外观和内饰均同色、外观和内饰均异色、外观和内饰恰有一种同色； 假设2．一等奖为元，二等奖为元，三等奖为元； 假设3．按抽到的结果的概率大小，概率越小，奖金越高． 请你帮该公司判断哪种情况分别为一、二、三等奖．设奖金为X，写出X的分布列，并求X的期望． 18. 已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 19. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $