精品解析：湖南长沙市浏阳市2025-2026学年下学期期末质量监测高二数学试卷

2026年上学期期末质量监测试卷 高二数学 温馨提示： 1.本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页.满分150分，时量120分钟. 2.答案一律在答题卡上书写，在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数（其中i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 已知全集，集合，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 3. 已知命题：，，则为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 5. 将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 22种 D. 24种 6. 若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ） A. 是最小正周期为偶函数 B. 的值域为 C. D. 11. 如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在点，使得 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则_____． 13. 如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______． 14. 小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 17. DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率． 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数，，． （1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； （2）若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期末质量监测试卷 高二数学 温馨提示： 1.本试卷分试题和答题卡两部分，试卷共6页.满分150分，时量120分钟. 2.答案一律在答题卡上书写，在试题卷上作答无效. 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 复数（其中i为虚数单位）的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式 ，虚部是实数 ，直接判断即可. 【详解】复数所以它的虚部为 . 2. 已知全集，集合，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 3. 已知命题：，，则为（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】命题：， 则为：，． 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 49 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以所求系数为49. 5. 将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 20种 C. 22种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定 A、B 所在的地点，再从其余 4 人中选出分配到另一个地点的人.由于两个地点不同，需要区分 A、B 被分到哪个地点. 【详解】先确定 A、B 所在的地点，共有 种选择. 固定 A、B 在其中一个地点后，该地点已经有 2 人. 为了使另一个地点至少有 2 人，需要从 C、D、E、F 中选出至少 2 人到另一个地点（剩下未选的人和A，B一组）. 因此，在 A、B 所在地点确定的情况下，分配方案数为 所以不同的分配方案共有种. 6. 若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由所给图象结合幂函数单调性判断即可得. 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 7. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 8. 一个不透明的袋子中装有9个除颜色外均相同的小球，其中4个红球，3个绿球，2个蓝球．现进行如下操作：从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，并再向袋中加入一个相同颜色的小球．如此重复操作，则在第一次和第三次摸到红球的条件下第二次摸到绿球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件为第一次和第三次摸到红球，事件为第二次摸到绿球，分别求解，再结合条件概率公式计算. 【详解】设事件：第一次和第三次摸到红球，事件：第二次摸到绿球，可得： 第一次摸红球：初始9球，4红，概率，摸后加1红，总球变为10，红球5个； 第二次摸绿球：10球中3绿，概率，摸后加1绿，总球变为11，红球仍为5个； 第三次摸红球：11球中5红，概率； 所以. 因为连续三次摸到红球的概率：； 三次摸球顺序为红，绿，红的概率：； 三次摸球顺序为红，蓝，红的概率：， 所以， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：，则，故A正确； 选项B：已知，则，解得，故B错误； 选项C：若，则， ，故C正确； 选项D：已知，则，解得，故D错误． 10. 已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ） A. 是最小正周期为偶函数 B. 的值域为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 11. 如图，已知正八边形的边长为2，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在点，使得 C. 的最大值为 D. 若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，对于A，需要将用、表示出来，进而求出的值；对于B，可取中点，通过极化恒等式判断；对于C，根据向量数量积的坐标运算求的最大值；对于D，利用坐标进行化简，再根据模的坐标计算公式求出其最小值. 【详解】我们先建立平面直角坐标系，根据正八边形边长为2的性质，得到各顶点坐标： ， ， ， ， ， ， . 选项A： 由 得 ， 解得 ，故A正确； 选项B：取的中点，，故B错误； 选项C：， 当点在上时，，故C正确； 选项D：则，当横坐标为0时其模取得最小值，等于纵坐标的绝对值，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出项的系数，结合已知列方程求解参数. 【详解】由二项展开式的通项公式可知，， 令，解得， 所以， 解得. 13. 如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，通过计算证明平面，从而将作为高，利用锥体体积公式求解. 【详解】取的中点，连接． 因为，所以为等边三角形， 所以，且． 同理，因为，所以为等边三角形， 所以，且． 在中，， 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面，即为四面体的高． 底面的面积． 所以四面体的体积． 14. 小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为__________.（参考数据：） 【答案】9 【解析】 【分析】先根据每道题答题结果互不影响且正确率相同，判断答对题数服从二项分布，并写出的表达式.再把代入夺冠概率的求和式，利用二项式定理化简求和，得到.最后由列不等式，取常用对数并代入参考数据，求出的最小正整数. 【详解】由题意可知，小明答对题数服从二项分布，即，所以，其中 . 小明最终夺冠的概率为. 将代入，得. 因为，所以. 由二项式定理可得. 因此. 由题意，小明夺冠概率不小于，所以，即. 两边取常用对数，得 ，即. 由参考数据得 ， ，所以 . 因为为正整数，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校从高一，高二，高三三个年级采用按比例分层抽样的方式得到400名学生的测验成绩，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩不优秀 总计 不认真完成作业 认真完成作业 总计 （1）求； （2）记不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的概率为，给出的估计值； （3）能否有的把握认真完成作业对成绩优秀有效？ 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）， （2） （3）有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效 【解析】 【小问1详解】 由列联表知， 【小问2详解】 由列联表知，不认真完成作业的有人，不认真完成作业且成绩不优秀的有人，所以在不认真完成作业的学生中，成绩不优秀的频率为， 所以不认真完成作业且成绩不优秀的概率的估计值为． 【小问3详解】 零假设：假设认真完成作业与成绩优秀无关； 由列联表得到， 所以有的把握认为认真完成作业对成绩优秀有效. 16. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入、，得， 联立，解得. 17. DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率． 【答案】（1） 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，由超几何分布公式分别求出各个变量对应的概率，写出分布列，再根据期望公式求出期望即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题可知，所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． 【小问2详解】 记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，， 记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，， 所以． 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）由，则是的中点， 又，则， 又，，则，且， 所以在中，有，， 所以在中，有， 又，则在中，有，所以， 又，且，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积； （3）法一：根据面积射影定理公式即可求解； 法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上， 由正弦定理可得，则， 结合（1）有，则， 设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心， 则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上， 结合（1）有平面，则在平面内，所以平面， 设，过作，且在上，则，，， 在中，有， 在中，有， 即，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 法一：结合（2）可知在平面的投影三角形为， 又结合（1）（2）有，，所以， 又结合（2）有，，则为等腰三角形， 则边上的高为，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为， 过作，且在上， 结合（1）有平面，又平面，则， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成角， 结合（1）（2）有，，，， 则，即 ，解得，则， 所以在中，有， 所以， 又平面，又平面，则， 所以平面与平面所成角的正切值为， 故平面与平面所成角的余弦值为． 19. 已知函数，，． （1）若，判断曲线是否是中心对称图形，若是，求出它的对称中心；若不是，请说明理由； （2）若函数， （i）判断的单调性； （ii）若是的两个零点，且，证明：． 【答案】（1）是，对称中心为 （2）（i）在上单调递增 （ii）， 令， 则. 又，函数在上均单调递增， 在上单调递增. ， ，使得， 又是的两个零点，且，， 又，， 又，在上单调递增，，即， ， ，故，即成立. 【解析】 【分析】（1）首先变形得到，根据曲线的对称中心可推出所求. （2）（i）根据函数单调性的性质：增函数+增函数=增函数可求解；（ii）根据的解析式可令，得到，根据函数零点存在定理求出的两个零点的范围，再结合的单调性得到的关系，进而得到，两边同取自然对数可得证. 【小问1详解】 是. 当时，， 因为曲线是中心对称图形，根据图形的平移可知曲线也是中心对称图形，下面求其对称中心： 由上知的定义域为， ， 曲线的对称中心为. 【小问2详解】 （i），， 的定义域为. 又在定义域内单调递增，在上单调递减， 在上单调递增. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $