第10章 数的开方【章末复习】 培优课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了“数的开方”单元的平方根、立方根、实数等核心知识，通过定义、性质、公式的对比梳理，结合知识结构图表将各知识点逻辑串联，帮助学生构建完整的数系扩充知识网络。 其亮点在于聚焦易错点精准突破，设计分层练习题与数学思想应用案例，如通过“√81的平方根”辨析培养抽象能力，借助数轴上点的位置判断发展推理意识，综合应用题（如正方体体积求棱长）强化模型意识。这种设计让学生巩固知识同时提升数学素养，也为教师提供清晰复习路径。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 章末复习 第10章 数的开方 第10章 数的开方 全章综合复习（知识点+全套习题） 【全章核心知识点总结】 10.1 平方根 1、平方根定义：如果一个数的平方等于$$a$$（$$a\ge0$$），那么这个数叫做$$a$$的平方根。即：若$$x^2=a$$，则$$x$$是$$a$$的平方根。 2、平方根性质（必考）： ① 正数有两个互为相反数的平方根； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根（平方数非负）。 3、算术平方根：正数$$a$$的正的平方根，记作$$\sqrt{a}$$，0的算术平方根是0。 4、核心区别： 平方根：$$\pm\sqrt{a}$$（两个值，0除外） 算术平方根：$$\sqrt{a}$$（唯一非负值） 5、双重非负性：$$\sqrt{a}\ge0$$、$$a\ge0$$（考试高频考点，常用于求值） 6、基础公式：$$(\sqrt{a})^2=a(a\ge0)$$，$$\sqrt{a^2}=|a|$$ 10.2 立方根 1、立方根定义：若$$x^3=a$$，则$$x$$叫做$$a$$的立方根，记作$$\sqrt[3]{a}$$。 2、立方根性质（与平方根核心区别）： ① 正数的立方根是正数； ② 负数的立方根是负数； ③ 0的立方根是0； ④ 任意实数都有且只有一个立方根。 3、核心公式：$$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$$，$$(\sqrt[3]{a})^3=a$$ 10.3 实数 1、实数分类：有理数和无理数统称为实数。 2、有理数：整数、分数，有限小数、无限循环小数。 3、无理数（三类必考）： ① 开方开不尽的数：$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$$等； ② 特殊常数：$$\pi$$； ③ 无限不循环小数。 4、实数与数轴：实数和数轴上的点一一对应。 5、实数性质： ① 相反数：$$a$$的相反数是$$-a$$； ② 绝对值：正实数绝对值是本身，负实数绝对值是相反数，0的绝对值是0； ③ 倒数：非零实数$$a$$的倒数为$$\dfrac{1}{a}$$。 6、实数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大。 --- 【第10章 全章综合练习题】 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（） A. 任意数都有两个平方根 B. 负数没有立方根 C. 0的算术平方根是0 D. $$\sqrt{16}=\pm4$$ 2. 下列各数中，属于无理数的是（） A.$$\sqrt{4}$$ B. $$\dfrac{1}{3}$$ C. $$\sqrt{7}$$ D. 0.25 3. $$\sqrt{81}$$的平方根是（） A. 9 B. $$\pm9$$ C. 3 D. $$\pm3$$ 4. 立方根等于本身的数是（） A. 0 B. 1、-1 C. 0、1、-1 D. 任意实数 5. 实数$$a$$、$$b$$在数轴上对应点位置如图，下列结论正确的是（） A. $$a>b$$ B. $$|a|<|b|$$ C. $$a+b>0$$ D. $$-a<-b$$ 二、填空题（每题4分，共24分） 1. 16的平方根是________，算术平方根是________。 2. $$\sqrt[3]{-27}=$$________，$$\sqrt{0.09}=$$________。 3. 若$$x^2=25$$，则$$x=$$________；若$$x^3=-8$$，则$$x=$$________。 4. 无理数的核心特征是________小数。 5. 实数与数轴上的点是________关系。 6. 若$$\sqrt{x-2}$$有意义，则$$x$$的取值范围是________。 三、解答题（每题9分，共36分） 1. 计算： （1）$$\sqrt{36}-\sqrt[3]{8}$$ （2）$$\sqrt{16}+\sqrt{(-3)^2}$$ （3）$$\sqrt[3]{64}-\sqrt{25}$$ 2. 求下列各式中$$x$$的值： （1）$$x^2-49=0$$（2）$$(x-1)^3=27$$ 3. 将下列各数分类：$$-3、0、\sqrt{5}、\sqrt{16}、\dfrac{\pi}{2}、0.101001\cdots$$ （1）有理数 （2）无理数 4. 已知$$\sqrt{x+3}+|y-2|=0$$，求$$x+y$$的值。 四、综合应用题（共20分） 1. 一个正数的两个平方根分别是$$2a-1$$和$$a-5$$，求这个正数。（10分） 2. 已知一个正方体的体积是$$343\mathrm{cm^3}$$，求这个正方体的棱长。（10分） --- 【全章习题参考答案】 一、选择题 1.C 2.C 3.D 4.C 5.B 二、填空题 1. $$\pm4$$；4 2. -3；0.3 3. $$\pm5$$；-2 4. 无限不循环 5. 一一对应 6. $$x\ge2$$ 三、解答题 1. 解： （1）原式$$=6-2=4$$ （2）原式$$=4+3=7$$ （3）原式$$=4-5=-1$$ 2. 解： （1）$$x^2=49$$，解得$$x=\pm7$$ （2）$$x-1=3$$，解得$$x=4$$ 3. 解： 有理数：$$-3、0、\sqrt{16}$$ 无理数：$$\sqrt{5}、\dfrac{\pi}{2}、0.101001\cdots$$ 4. 解： ∵ $$\sqrt{x+3}\ge0，|y-2|\ge0$$，且和为0 ∴ $$x+3=0，y-2=0$$ 解得：$$x=-3，y=2$$$$x+y=-3+2=-1$$ 四、综合应用题 1. 解： 正数的两个平方根互为相反数 ∴ $$2a-1+a-5=0$$$$3a-6=0$$，解得$$a=2$$ 代入得平方根：$$3$$和$$-3$$ 这个正数为：$$3^2=9$$ 答：这个正数是9。 2. 解： 设正方体棱长为$$x\mathrm{cm}$$ 由题意得：$$x^3=343$$ 解得：$$x=\sqrt[3]{343}=7$$ 答：正方体的棱长为7cm。 【全章易错点终极汇总】 1、混淆平方根与算术平方根：平方根有正负两个，算术平方根只有非负值，$$\sqrt{a}$$默认取正。 2、易错考题：$$\sqrt{81}$$的平方根，需先算出$$\sqrt{81}=9$$，再求9的平方根为$$\pm3$$。 3、平方根、立方根区别：负数无平方根，但负数有立方根。 4、二次根式有意义条件：被开方数$$a\ge0$$，牢记双重非负性。 5、无理数判断误区：带根号的数不一定是无理数（如$$\sqrt{16}$$），开方开不尽的才是。 6、易错公式：$$\sqrt{a^2}=|a|$$，不等于$$a$$，负数开方后要变号。 7、正数的两个平方根互为相反数，解题常用此性质列方程求值。 8、0、1、-1是特殊数，平方根、立方根等于本身的数需区分记忆。 知识结构 实 数 有理数 无理数 实际问题 平方根 立方根 算术平方根 立方 平方 思考并回答下列问题： 问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？ 问题2：有理数与实数的定义是什么？ 问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？ 问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？ 问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？ 要 点 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是学习本章的关键.在研究时，要抓住平方根（立方根）与平方（立方）之间的关系，例如，可以通过平方（立方）运算来寻求平方根（立方根），并可以用来验证开平方（开立方）的正确性. 2.在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.任意一个实数有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数. 3.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点之间有着一一对应关系.这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步，使数的知识更加丰富. 一、平方根、算术平方根和立方根的概念与性质 概 念 表示 主要性质 平方根 算术 平方根 立方根 若 ，则 x 叫做 a 的平方根. 正数有两个平方根，互为相反数. 0 的平方根是 0.负数没有平方根. 若 ，则 x 的非负数值叫做 a 的算术平方根. 非负性：当 a≥0 时， ≥0. 若 ，则 x 叫做的立方根. 正数的立方根是一个正数； 负数的立方根是一个负数； 0 的立方根是 0. 联 系 平方根与算术平方根：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一种；(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有 才有；(3)0 的平方根、算术平方根均为 　. 平方根与立方根：(1)都与相应的乘方运算互为 　运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究．平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即 ＝　　 ； (3)0 的平方根和立方根都是 0.　 非负数 0 逆 二、开平方与开立方 求一个非负数 a 的　 　的运算，叫做开平方. 其中 a 叫做　 　. 求一个数 a 的　 　的运算，叫做开立方．其中 a 叫做　 　. 开平方与　 　、开立方与　 　都分别互为逆运算. 平方根 被开方数 立方根 被开方数 平方 立方 [点拨] (1)求正数的平方根时，往往先求出其算术平方根，再在求出的数前面加上“±”号； (2)根据平方(立方)运算与开平方(开立方)运算互为逆运算的关系，我们可以通过平方(立方)运算来求一个数的平方根(立方根)． 用计算器求一个正数 a 的算术平方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . 1. 用计算器求一个正数的算术平方根 三、用计算器求算术平方根、立方根 2. 用计算器求立方根 用计算器求一个数 a 的立方根，只需要按书写顺序在计算器上依次键入 . a EXE 3 EXE a 四、实数 1.实数的分类 无理数： 无限不循环小数 有理数：有限小数或无限循环小数 实数 分数 整数 开不尽方的数开方所得结果 有规律但不循环的无限小数 …… 化简后含有 的数 按概念分： 正实数 负实数 数实 负有理数 正有理数 按符号分类： 0 负无理数 正无理数 0 正实数 负实数 2. 实数与数轴 (1)实数和数轴上的点是一一对应的关系； (2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 数大. 3. 在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则同样适用. 考点1 平方根 1. 的平方根是( ) D A. 9 B. 9和 C. 3 D. 3和 2. 下列说法正确的是( ) A A. 的平方根是 B. 的算术平方根是5 C. 的平方根是7 D. 1的平方根和算术平方根都是1 返回 中考考法 15 3.已知，当最小时， 的算术平方 根为___. 1 4. 已知9，16和 三个数，使这三个数中的一 个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的 数 的值：_____________. ，， 返回 中考考法 16 5.如图，在 的方格中（每个小正方形 的边长为1），四边形 是正方形， 利用面积的关系可得正方形 的边长 是____. 【点拨】 ，所以正方形的边长是 . 返回 中考考法 17 考点2 立方根 6. 的立方根为( ) A A. B. C. D. 不存在 7.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一个 正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ . 9 返回 中考考法 18 8.已知与互为相反数其中，则 __. 【点拨】由与互为相反数可得 与 互为相反数，所以 ，整理得 .将代入可得， . 返回 中考考法 19 考点3 实数及分类 9. 在实数，，，0， ， ， 中，无理数有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 20 10.把下列各数填入相应的集合内： （每两个2之间的1依次多一个）， ， ，，，，，， . 正有理数集合：{_______ …}； 正无理数集合：{ ____________________________________ _________________ …}； , （每两个2之间的1依次多一个），， 中考考法 21 负有理数集合：{_ ______ …}； 负无理数集合：{______________________ …}； 正实数集合：{_______________________________________ ________________________ …}； 负实数集合：{_ __________________________ …}. , ,,,, ,,,,, （每两个2之间的1依次 多一个），，， ， 中考考法 【解】正有理数集合： ； 正无理数集合： （每两个2之间的1依次 多一个），， ； 负有理数集合： ； 负无理数集合：{-,,, ,…}； 中考考法 23 正实数集合： （每两个2之间的1依次多 一个），，，， ； 负实数集合：,,,,,… . 返回 中考考法 考点4 实数的性质 11. 是 的( ) A A. 相反数 B. 平方根 C. 绝对值 D. 算术平方根 12. ［2025天津和平区月考］ 的绝对值是( ) A A. 3 B. C. D. 13.的倒数是_____， _______. 返回 中考考法 25 考点5 估算与大小比较 14. 若，，，则，， 的大小关系为( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 26 15. ［2025成都郫都区期中］如图，若数轴上的点， ， ，，表示数，0，1，2，3，则表示的点 应在 ( ) C A. 线段上 B. 线段 上 C. 线段上 D. 线段 上 返回 中考考法 27 16. 大、中、小三个正方形 按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积 为5，小正方形的面积为1，则正方形 的边长可能是( ) B A. 1 B. C. D. 3 17.比较大小：___11，___2.（填“ ”或“ ”） 返回 中考考法 28 考点6 实数的运算 18. 下列各数中，与 的和为有理数的是( ) B A. B. C. D. 【点拨】 ，是无理数； ，是有理数; ，是无理数； ，是无理数，故选B. 返回 中考考法 29 19.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 中考考法 30 20.［2025重庆江津区月考］我们用表示不大于 的最大整 数.的值称为数的小数部分，如， 的小 数部分为 . （1）___， ____； 1 中考考法 31 （2）设的小数部分为，求 的值. 【解】， 的整数部分为2. 的小数部分为， . ， . . 返回 中考考法 思想1 方程思想 21. 已知，则 ( ) C A. 0 B. C. 1 D. 2 026 返回 中考考法 33 思想2 数形结合思想 22. ［2025佛山三水区期中］已知实数，， 在数轴上的对 应点如图所示，则 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 34 思想3 分类讨论思想 23.已知，其中， 均为整数， 则 _________. 0或2或4 中考考法 35 【点拨】，其中， 均为整 数，，， 可分三种情况：① 当，时， ， ， ；②当 ，时， 或 ，， 或 ；③当 ， 中考考法 36 时，或， ， 或 .综上， 或2或0. 返回 中考考法 思想4 整体思想 24.已知， ，且 ，，求 的值. 中考考法 38 【解】， ， ①, ， 将①变形得 , 将②代入③,得，将代入②，得 . ， ， ，即, . . 返回 中考考法 39 $