第10章 数的开方单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学讲义以“数的开方”为核心，通过知识点分块与对比表格系统构建知识体系，用表格清晰对比平方根与立方根的定义、性质及运算，以思维导图梳理实数分类与运算关系，突出算术平方根双重非负性、实数与数轴结合等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，典例与变式覆盖基础（求平方根）到综合（非负性应用），结合夹逼法估算无理数等方法培养运算能力与推理意识，如乒乓球半径计算等实际应用题提升应用意识，助力不同学生巩固提升，为教师精准教学提供支持。

第10章 数的开方 教学目标 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。 2.理解无理数与实数的概念，能正确对实数进行分类，掌握实数的相反数、倒数、绝对值的求法。 3.掌握实数的运算法则与运算顺序，能规范完成实数的混合运算。 4.会估算无理数的取值范围，能运用实数知识解决实际应用问题，发展数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念与运算 （2）实数的分类与混合运算 （3）实数的大小比较与无理数估算 2.难点 （1）算术平方根双重非负性的综合应用 （2）实数与数轴结合的代数式化简 （3）平方根、立方根性质的综合探究与实际应用 知识点01：平方根与算术平方根 1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，即若，则是的平方根，记作（）。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正的平方根叫作的算术平方根，记作（）；0的算术平方根是0。 3.核心性质：；。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 类别 平方根 算术平方根 定义 若，则是的平方根 正数的正的平方根，叫作的算术平方根 个数 正数有2个，互为相反数 正数仅有1个，为正数 表示方法 联系 平方根包含算术平方根；0的平方根与算术平方根均为0 知识点02：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根，即若，则是的立方根，记作。 2.性质：任意实数都有且只有一个立方根；正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。 3.核心公式：；；。 4.平方根与立方根的对比： 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数 结果个数 正数2个，0有1个，负数没有 任意实数都仅有1个 符号特征 非负 与被开方数符号一致 根指数 2，通常省略 3，不可省略 知识点03：开平方与开立方 1.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，与平方运算互为逆运算。 2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方，与立方运算互为逆运算。 3.小数点移动规律： （1）平方根：被开方数的小数点每向左（右）移动位，算术平方根的小数点相应向左（右）移动位； （2）立方根：被开方数的小数点每向左（右）移动位，立方根的小数点相应向左（右）移动位。 知识点04：无理数 1.定义：无限不循环小数叫作无理数。 2.常见形式： （1）开方开不尽的数的方根，如、等； （2）含有的数，如、等； （3）具有特定结构的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，需先化简再判断，如是有理数。 知识点05：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 3.按正负性分类： 知识点06：实数与数轴 1.一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 2.大小比较的数轴法：数轴上右边的点表示的实数总大于左边的点表示的实数。 知识点07：实数的相关概念 实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致： 名称 性质 示例 相反数 实数的相反数是；若互为相反数，则 的相反数是 倒数 非零实数的倒数是；若互为倒数，则 的倒数是 绝对值 ；任意实数的绝对值均为非负数 知识点08：实数的大小比较 1.基本法则：正实数负实数；两个正实数，绝对值大的数更大；两个负实数，绝对值大的数反而小。 2.常用方法： （1）平方法：适用于两个正二次根式比较，被开方数越大，算术平方根越大； （2）立方法：适用于两个立方根比较，被开方数越大，立方根越大； （3）作差法：若，则；若，则；若，则； （4）近似值法：估算无理数的近似值后比较大小。 题型01求具体数的平方根、算术平方根与立方根 先化简带平方、带括号的数，再根据定义求解；正数的平方根有两个，立方根仅有一个。 【典例1】. 4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 【答案】A 【详解】解：4的平方根是． 【变式1】. 直接写出结果： （1）________；（2）________． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，求出25的正负平方根； （2）先计算平方，再依据算术平方根结果为非负数化简求值． 【详解】解：（1）； （2）． 【变式2】. 下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根和有理数乘方的运算，逐项判断正误即可． 【详解】解：∵表示9的算术平方根，结果为，∴A选项错误； ∵表示9的平方根，结果为，∴B选项错误； ∵，∴，C选项正确； ∵，∴D选项错误． 【变式3】. 若实数的平方根是，则________． 【答案】4 【分析】根据平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义计算得到结果． 【详解】解：∵实数的平方根是， ， ． 题型02利用平方根、立方根的定义解方程 将方程整理为或的形式，再开方求解；平方根型方程有两个解，立方根型方程仅有一个解。 【典例2】. 求下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）方程两边同时除以3，再开平方，即可作答． （2）先移项合并同类项，再开立方，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 【变式1】. 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程 【详解】（1）解：， ∵， ∴ 解得或； （2）解：， ， ∵， ． 【变式2】. 解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项得， 开立方得； （2）解：， 移项整理得， 开平方得或， 解得或． 【变式3】. 求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把移到右边，再利用平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再两边除以，最后利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03无理数的识别与实数分类 先将含根号、绝对值的数化简，再对照无理数的三类形式判断；分类时做到不重不漏，0单独归类。 【典例3】. 下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数（无限不循环小数）和有理数（整数与分数的统称）的定义，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A：是分数，属于有理数，不符合题意； 选项B：是无限不循环小数，因此仍是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项C：，是整数，属于有理数，不符合题意； 选项D：，是整数，属于有理数，不符合题意． 【变式1】. 在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【分析】先将题目中可化简的数进行化简，再根据无理数的定义逐一判断各数即可． 【详解】解：∵是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 是分数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是无限不循环小数，属于无理数， 是整数，属于有理数， ∴无理数共有个． 【变式2】. 一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【答案】见解析 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断即可． 【详解】解：，， 有理数：； 无理数． 【变式3】. 把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 【答案】（1），， （2），， （3），，，，， （4），，， （相邻两个之间依次多个） 【分析】先计算和，然后再根据实数的定义分类即可． 【详解】解：，， （1）整数集合，，…； （2）分数集合，，…； （3）有理数集合，，，，，…； （4）无理数集合，，， （相邻两个之间依次多个）…； 题型04实数的相反数、倒数与绝对值求解 相反数直接在数前加负号；倒数用1除以原数；绝对值先判断数的正负，非负数直接保留，负数取其相反数。 【典例4】. 实数的相反数是__________． 【答案】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案． 【详解】解：实数的相反数是． 【变式1】. 若实数a的相反数是，则a等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数的相反数是 ∴． 【变式2】. 已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 【答案】 【分析】本题考查实数的性质，包括倒数、相反数和绝对值的定义和计算． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据相反数和绝对值的定义求解即可； （3）先化简，再根据相反数、倒数和绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）的倒数是 ； 故答案为：； （2）设该实数为，则相反数为，绝对值为，且，由于， ∴； 故答案为：； （3）=，其相反数为，绝对值为，倒数为； 故答案为：，，． 题型05实数的大小比较 两个正根式优先用平方法或立方法；正负混合用“正负”法则；形式复杂的可选用作差法或近似值法。 【典例5】. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】. 比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【答案】 > < < 【分析】根据实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴． 【变式2】. 比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数大小比较，立方根的运算，可通过化简，估算无理数大小后比较，得到结果． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【变式3】. 根据下列信息，解答问题： 【已知信息】 ①实数有两个不同的平方根，分别是和； ②的立方根是4； ③的相反数是． 【问题解决】 (1)求出的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数，列方程求出的值，进而求出的值；再根据立方根和相反数的定义，分别求出和的值； （2）先计算的值，再与比较大小． 【详解】（1）解： 实数有两个不同的平方根和， ， 解得， ， 的立方根是， ， ， 的相反数是， ， ； （2）解：， ， ， ∵， ∴，又， ． 题型06无理数的取值范围估算 采用夹逼法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数所在的整数区间。 【典例6】. 已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】先求得的取值范围，再根据为整数，选取一个符合条件的值即可． 【详解】解：， ，即， 为整数， 可取中任意一个． 【变式1】. 已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且为整数， ∴． 【变式2】. 估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】先确定的范围，再推导的范围即可． 【详解】解：， ， 即， ∴， 的值在和之间． 【变式3】. 若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 题型07算术平方根的双重非负性应用 平方、绝对值、算术平方根均为非负数，若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求解。 【典例7】. 若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出，的值，再计算 即可． 【详解】解：，，且， ， ， ． 【变式1】. 若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 【变式2】. 若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到等式，再利用非负数的性质求出和的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ∵， ，， 解得，， 将，代入得． 【变式3】. 若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 题型08平方根、立方根的性质综合求值 根据“正数的两个平方根互为相反数”“立方根的相反数性质”列方程求参数，再代入所求式子计算结果。 【典例8】. 已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】先从“平方根是它本身”确定为零，再根据立方根和算术平方根的定义分别列出关于和的方程并求解，最后将的值代入目标代数式，求其平方根． 【详解】解：的平方根是它本身， ． 的立方根是3， ，解得． 的算术平方根是5， ，解得． ． 【变式1】. 已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 【变式2】. 一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 【变式3】. 已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 题型09实数与数轴的综合化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，结合绝对值、二次根式的性质去符号，再合并化简。 【典例9】. 数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有、两点分别表示数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可； （2）先根据非负性的性质求得，再求得代数式的值，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，则， ． （2）解：∵与 互为相反数， 又∵， 均为非负数， ∴且，即， ∴， ∴的平方根为． 【变式1】. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，，，化简： 【答案】 【分析】根据数轴判定，，再根据算术平方根，绝对值，立方根的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，， ． ． ． 【变式2】. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【答案】 【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数a、b、c在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 【变式3】. 已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 【答案】 【分析】根据数轴上对应点的位置，确定式子正负，再根据算术平方根和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，， ． 题型10实数运算的实际应用 结合几何、生活场景建立等量关系，通过开方运算求解，最后检验结果是否符合实际意义。 【典例10】. 解答以下问题 (1)计算： (2)2025 年亚乒联盟亚洲杯乒乓球比赛在深圳举行， 中国队包揽男、女单打冠军．亚乒联盟 亚洲杯乒乓球比赛用球体积约为 ，请求出乒乓球的半径． （球的体积公式为，R为球的半径） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解：依题意， ∴ 解得： 【变式1】. 如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 【答案】能 【分析】本题考查了实数的运算、估算，比较大小等相关知识点，难度不大，掌握其基本知识点是解题关键. 根据题意得地球的直径，圆形铁圈的直径，计算即可求解. 【详解】解：地球的直径，圆形铁圈的直径 ∴间隙为 （也可以这样处理：） ∴能放进一个拳头. 【变式2】. 解答下列问题： (1)如图1，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____； (2)阅读下面对话，然后解答问题：小丽：我想在一块面积为且长宽之比为的长方形纸片中，沿着边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，不知能否裁出？ 小明：用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，那肯定行． 你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．（提示：） 【答案】(1) (2)不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，说明见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，用代数式表示长方形的长、宽及正方形的边长是关键． （1）根据大正方形的面积为，由算术平方根即可求得正方形的边长； （2）设所裁长方形纸片的长为，则宽为，根据长方形的面积得出，求出，得出长方形纸片的长，再进行比较即可判定． 【详解】（1）解：∵由5个面积都是的小正方形， ∴正方形的面积为， ∴大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由如下： 设长方形纸片的长为，则宽为， 依题意得：， 即， ∵， ∴， ∴长方形纸片的长为，宽为， ∵，由正方形纸片的面积为，可知其边长为， ∵， ∴长方形纸片的宽小于正方形纸片的边长． 答：不能用这块纸片裁出符合要求的正方形纸片． 【变式3】. 学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： (1)若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； (2)若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； (3)若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 【答案】(1)4；7 (2)4，5，6，7，8 (3)3次 【分析】（1）估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第一空的答案；估算出的取值范围，再根据定义求出的值即可得到第二空的答案； （2）根据定义可得，则可推出，即，据此求出x的取值范围即可得到答案； （3）估算出的范围，根据定义求出的结果，若结果不为1，则估算的结果，进而求出的结果不为1，则继续上述过程，直至结果为1停止，统计对应的次数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为4； ∵， ∴， ∴， ∴若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为7； （2）解：∵某选手第一次计算得到的闯关步进值为2， ∴， ∴，即， ∴， ∴他抽到的参赛正整数的所有可能整数值为4，5，6，7，8； （3）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 答：他的闯关用时为3次． 一、单选题 1．下列式子中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根与立方根的定义判断每个式子的正误即可得到答案． 【详解】解：A、∵表示的算术平方根，∴，A错误； B、，B正确； C、，C正确； D、，D正确.． 2．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、表示算术平方根，，选项错误，不符合题意； B、，，选项正确，符合题意； C、根据性质，，选项错误，不符合题意； D、，，8是64的算术平方根，选项错误，不符合题意． 3．若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先估算无理数的取值范围，再解不等式得到的范围，结合为正整数求出的最小值． 【详解】，， ，即 又为正整数 的最小值为． 二、填空题 4．已知x的平方根是与，则x的算术平方根是______． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再求出，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是与， ∴， 整理得， 解得， 将代入得，其中一个平方根为， ∴， ∴的算术平方根为． 5．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 【答案】8 【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为， ∴，，两个长方形的宽为， ∵， ∴，， ∴长方形A与长方形B的宽为， ∴长方形B的面积为． 6．计算：_________． 【答案】 【分析】根据相关运算法则逐步计算即可. 【详解】解： . 三、解答题 7．求下列方程中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项，得， 解得； （2）解：， ， ， 解得或． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据“一个正数的平方根互为相反数”可得，求解确定的值，然后计算的值即可； （2）首先根据立方根的定义确定的值，进而可得的值，然后根据平方根的定义，即可获得答案． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得：， ； （2）的立方根是， ， ， ，且64的平方根为， ∴的平方根为． 9．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 1．对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据新运算定义，对两个不等式化简： ∵， ∴， ∵， ∴， 因此不等式组的解集为： ∵不等式组有解， ∴，解得， ∴，， ∴要使内仅有一个整数， ∴该整数只能为， ∴， 解得， 因此的取值范围是． 2．已知，且，是两个连续的整数，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用夹逼法估算无理数的范围，得到连续整数，的值，再代入计算幂的值即可． 【详解】解：， ， 即， 又，且，是两个连续的整数， ，， 将，代入得：． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 【答案】(1)； (2)第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 【分析】（1）利用结合作差法比较与的大小即可； （2）求解第一块的边长为，第二块的边长为，设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵第一块面积为，第二块面积为， ∴第一块的边长为，第二块的边长为， 设第一块玻璃的边长比多出的长度为a，第二块玻璃的边长比少的长度为b， ∴，， ∴， ∵，， ∴，． ∴，即． ∴第一块玻璃的边长比多出的长度小于第二块玻璃的边长比少的长度． 4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 【答案】(1)解：是，理由如下： ， ， ， ∵其结果、、都为整数， ，，这三个数是“完全数组” (2)的值为或 【分析】（1）根据题中所给新定义进行求解即可； （2）根据题意可分当和，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵“完全子集”中有一个数为， ∴当， 解得， 当， 解得， 经检验，或时均符合题意， 综上，的值为或． 5．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出21952的立方根是______． 【答案】28 【分析】先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【详解】解：， ， ， 能确定21952的立方根是个两位数． ∵21952的个位数是2， 又∵， 能确定21952的立方根的个位数是8． 如果划去21952后面的三位952得到数21， 而， 则， 可得， 由此能确定21952的立方根的十位数是2， 因此21952的立方根是28． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方 教学目标 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。 2.理解无理数与实数的概念，能正确对实数进行分类，掌握实数的相反数、倒数、绝对值的求法。 3.掌握实数的运算法则与运算顺序，能规范完成实数的混合运算。 4.会估算无理数的取值范围，能运用实数知识解决实际应用问题，发展数感与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念与运算 （2）实数的分类与混合运算 （3）实数的大小比较与无理数估算 2.难点 （1）算术平方根双重非负性的综合应用 （2）实数与数轴结合的代数式化简 （3）平方根、立方根性质的综合探究与实际应用 知识点01：平方根与算术平方根 1.平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根，即若，则是的平方根，记作（）。正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。 2.算术平方根：正数的正的平方根叫作的算术平方根，记作（）；0的算术平方根是0。 3.核心性质：；。 4.平方根与算术平方根的区别与联系： 类别 平方根 算术平方根 定义 若，则是的平方根 正数的正的平方根，叫作的算术平方根 个数 正数有2个，互为相反数 正数仅有1个，为正数 表示方法 联系 平方根包含算术平方根；0的平方根与算术平方根均为0 知识点02：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根，即若，则是的立方根，记作。 2.性质：任意实数都有且只有一个立方根；正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0。 3.核心公式：；；。 4.平方根与立方根的对比： 对比维度 平方根 立方根 被开方数范围 非负数 任意实数 结果个数 正数2个，0有1个，负数没有 任意实数都仅有1个 符号特征 非负 与被开方数符号一致 根指数 2，通常省略 3，不可省略 知识点03：开平方与开立方 1.开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，与平方运算互为逆运算。 2.开立方：求一个数的立方根的运算，叫作开立方，与立方运算互为逆运算。 3.小数点移动规律： （1）平方根：被开方数的小数点每向左（右）移动位，算术平方根的小数点相应向左（右）移动位； （2）立方根：被开方数的小数点每向左（右）移动位，立方根的小数点相应向左（右）移动位。 知识点04：无理数 1.定义：无限不循环小数叫作无理数。 2.常见形式： （1）开方开不尽的数的方根，如、等； （2）含有的数，如、等； （3）具有特定结构的无限不循环小数，如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0）。 3.辨析：带根号的数不一定是无理数，需先化简再判断，如是有理数。 知识点05：实数的概念与分类 1.概念：有理数和无理数统称为实数。 2.按定义分类： 3.按正负性分类： 知识点06：实数与数轴 1.一一对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应。 2.大小比较的数轴法：数轴上右边的点表示的实数总大于左边的点表示的实数。 知识点07：实数的相关概念 实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一致： 名称 性质 示例 相反数 实数的相反数是；若互为相反数，则 的相反数是 倒数 非零实数的倒数是；若互为倒数，则 的倒数是 绝对值 ；任意实数的绝对值均为非负数 知识点08：实数的大小比较 1.基本法则：正实数负实数；两个正实数，绝对值大的数更大；两个负实数，绝对值大的数反而小。 2.常用方法： （1）平方法：适用于两个正二次根式比较，被开方数越大，算术平方根越大； （2）立方法：适用于两个立方根比较，被开方数越大，立方根越大； （3）作差法：若，则；若，则；若，则； （4）近似值法：估算无理数的近似值后比较大小。 题型01求具体数的平方根、算术平方根与立方根 先化简带平方、带括号的数，再根据定义求解；正数的平方根有两个，立方根仅有一个。 【典例1】. 4的平方根是（     ） A． B．2 C． D．16 【变式1】. 直接写出结果： （1）________；（2）________． 【变式2】. 下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. 若实数的平方根是，则________． 题型02利用平方根、立方根的定义解方程 将方程整理为或的形式，再开方求解；平方根型方程有两个解，立方根型方程仅有一个解。 【典例2】. 求下列等式中的值： (1)； (2)． 【变式1】. 求下列各式中的值： (1)； (2)． 【变式2】. 解下列方程： (1) (2) 【变式3】. 求下列各式中的值． (1)； (2)． 题型03无理数的识别与实数分类 先将含根号、绝对值的数化简，再对照无理数的三类形式判断；分类时做到不重不漏，0单独归类。 【典例3】. 下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 在，，，，，中，无理数有________个． 【变式2】. 一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【变式3】. 把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 题型04实数的相反数、倒数与绝对值求解 相反数直接在数前加负号；倒数用1除以原数；绝对值先判断数的正负，非负数直接保留，负数取其相反数。 【典例4】. 实数的相反数是__________． 【变式1】. 若实数a的相反数是，则a等于（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】. 已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【变式3】. （1）的倒数是__________． （2）相反数和绝对值都为的实数是_____________． （3）的相反数是__________，绝对值是__________，倒数是__________． 题型05实数的大小比较 两个正根式优先用平方法或立方法；正负混合用“正负”法则；形式复杂的可选用作差法或近似值法。 【典例5】. 比较大小：2________．（填“>”、“<”或“=”） 【变式1】. 比较大小：___________；___________；___________．（填“”“”或“”） 【变式2】. 比较下列各组数的大小，用“”，“”或“”连接： (1)__________； (2)__________； (3)__________． 【变式3】. 根据下列信息，解答问题： 【已知信息】 ①实数有两个不同的平方根，分别是和； ②的立方根是4； ③的相反数是． 【问题解决】 (1)求出的值； (2)比较与的大小． 题型06无理数的取值范围估算 采用夹逼法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数所在的整数区间。 【典例6】. 已知，则整数n的值可以是________（填一个值即可）． 【变式1】. 已知，则整数的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 估计的值在（     ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式3】. 若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 题型07算术平方根的双重非负性应用 平方、绝对值、算术平方根均为非负数，若多个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程求解。 【典例7】. 若实数 、 满足 ，则的值是___________． 【变式1】. 若实数，同时满足，，则________． 【变式2】. 若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【变式3】. 若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 题型08平方根、立方根的性质综合求值 根据“正数的两个平方根互为相反数”“立方根的相反数性质”列方程求参数，再代入所求式子计算结果。 【典例8】. 已知数的平方根是它本身，代数式的立方根为3，且的算术平方根是5，求的平方根． 【变式1】. 已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式2】. 一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【变式3】. 已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 题型09实数与数轴的综合化简 根据数轴上点的位置判断各代数式的正负，结合绝对值、二次根式的性质去符号，再合并化简。 【典例9】. 数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简 (2)若数轴有、两点分别表示数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【变式1】. 如图，数轴上点、、表示的数分别为，，，化简： 【变式2】. 数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为__________． 【变式3】. 已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 题型10实数运算的实际应用 结合几何、生活场景建立等量关系，通过开方运算求解，最后检验结果是否符合实际意义。 【典例10】. 解答以下问题 (1)计算： (2)2025 年亚乒联盟亚洲杯乒乓球比赛在深圳举行， 中国队包揽男、女单打冠军．亚乒联盟 亚洲杯乒乓球比赛用球体积约为 ，请求出乒乓球的半径． （球的体积公式为，R为球的半径） 【变式1】. 如图，把地球看成球形，地球赤道周长约．假如用一根比赤道仅长的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头吗？（一个成人拳头宽度约为9厘米） 【变式2】. 解答下列问题： (1)如图1，将由5个面积都是的小正方形组成的图形沿虚线剪开，可以拼成一个大正方形（虚线所示正方形），则该大正方形的边长为_____； (2)阅读下面对话，然后解答问题：小丽：我想在一块面积为且长宽之比为的长方形纸片中，沿着边的方向裁出一块面积为的正方形纸片，不知能否裁出？ 小明：用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，那肯定行． 你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？请你通过计算说明．（提示：） 【变式3】. 学校2026年科技节设置了“数智闯关”趣味赛事，赛事规则如下：对于给定的正整数，用符号表示不大于的最大整数，称为该数的“闯关步进值”；每次闯关都将当前持有的数字替换为它的闯关步进值，直到得到数字1即为闯关成功，替换的总次数为选手的闯关用时（次数越少排名越高）． 请结合上述规则完成下列问题： (1)若小红第一次抽到的参赛数字是20，则她的第一次闯关步进值为___________；若抽到的参赛数字是50，则第一次闯关步进值为___________； (2)若某选手第一次计算得到的闯关步进值为2，请求出他抽到的参赛正整数的所有可能整数值； (3)若小宇抽到的参赛数字是137，求他的闯关用时为多少次？ 一、单选题 1．下列式子中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若为正整数，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 4．已知x的平方根是与，则x的算术平方根是______． 5．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______． 6．计算：_________． 三、解答题 7．求下列方程中的值． (1)； (2)． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求和的值； (2)若的立方根为，求的平方根． 9．将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 1．对于任意两个实数，定义一种新运算：．若有且仅有一个整数同时满足与，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．已知，且，是两个连续的整数，则的值为__________． 3．若，则；若，则；若，则，这是利用“求差法”比较两个数或两个代数式的大小． 例如：比较与2的大小． ，． ．． 请根据上述方法解答下列问题： (1)比较与的大小； (2)有两块正方形的玻璃，第一块面积为，第二块面积为，小智想知道第一块玻璃的边长比多出的长度，与第二块玻璃的边长比少的长度，哪个更大？请通过计算说明．（参考数据：，，，） 4．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完全数组”．这些算术平方根称为“完全子集”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数是“完全数组”，而，，称为“完全子集”． (1)，，这三个数是“完全数组”吗？请说明理由． (2)若，，这三个数是“完全数组”，且“完全子集”中有一个数为，求的值． 5．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题；一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39、邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．按这种方法求立方根，请求出21952的立方根是______． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $