精品解析：吉林省长春市宽城区2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

八年级期末测试题 数学 2026.7 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 4. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：对角线相等 B. ②：对角互补 C. ③：一组邻边相等 D. ④：有一个角是直角 7. 如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. ________． 10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移三个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为________． 11. 下图是某班名学生身高的数据箱线统计图，该班名学生身高的上四分位是________． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点且与边、分别相交于点、．若，，则与的面积和为________． 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为________． 14. 如图，四边形是正方形，延长至点，使，连结．平分交于点，交于点．在上截取，连结交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 17. 已知：如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 18. 年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，图①、图②、图③中线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以、为顶点画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，使其面积为； （2）在图②中画一个矩形，使其面积为； （3）在图③中画一个正方形． 20. 2024年上映两部电影《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次电影评级中，电影《热辣滚烫》等级在三星以上（包括三星）的人数为________． （2）将表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 《飞驰人生2》 ________ 10 8 《热辣滚烫》 8 ________ （3）从相关统计量进行分析，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由． 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 23. 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． （1）求证：是菱形． （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若，，，直接写出四边形的面积． 24. 如图①，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连结．当点与点重合时点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点和点重合时，线段的长为________； （2）当点和点重合时，求的值； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； （4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末测试题 数学 2026.7 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式在实数范围内有意义时，分母不为0，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义， ∴ 解得． 2. 清代诗人袁枚的诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于的正数的科学记数法表示，科学记数法的形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前的个数，据此确定和即可． 【详解】解：． 3. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4. 某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ） A. 8分 B. 8.1分 C. 8.2分 D. 8.3分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法求出该企业的总成绩即可． 【详解】分． 故选B． 【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 5. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过第一、三象限，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象经过第一、三象限判断出的符号，再根据一次函数的图象性质判断即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， ， 对于一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限，且与轴交于正半轴，观察选项，只有A选项符合． 6. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ） A. ①：对角线相等 B. ②：对角互补 C. ③：一组邻边相等 D. ④：有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故A正确，不符合题意； B、对角互补的矩形不一定是正方形，错误，故B符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法． 7. 如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连结．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，利用同高三角形面积比等于底边比，求出的面积，再根据的几何意义求解即可； 【详解】解：， ， ， ∵的面积为， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， 图象在第二象限， ， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. ________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 在平面直角坐标系中，将直线向上平移三个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数平移“上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数表达式为， 即． 11. 下图是某班名学生身高的数据箱线统计图，该班名学生身高的上四分位是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据箱线统计图的结构特征，识别图中各个数值所代表的统计意义，确定上四分位数在图中的位置即可求解． 【详解】解：由箱线统计图可知，图中的五个关键数值分别代表最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值．其中，箱体上方的横线对应的数据表示上四分位数． 观察图形可知，箱体上方的横线对应的数值为． 所以该班名学生身高的上四分位是． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点且与边、分别相交于点、．若，，则与的面积和为________． 【答案】1 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，，证明，得出，由此计算即可得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点，过点作于点，连接．若恰为的中点，且，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，结合题意得出，垂直平分，由此即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，恰为的中点， ∴，垂直平分， ∴， ∴． 14. 如图，四边形是正方形，延长至点，使，连结．平分交于点，交于点．在上截取，连结交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质可证，进而判断为等腰直角三角形；利用证明，可得及对应角相等，结合角平分线定义和三角形内角和定理可证；通过计算角度可得，从而判断是否成立，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形      是线段的垂直平分线  ，故①正确          在和中      ，故②正确  平分       在中，  ，故③正确  是的外角    ，       不是等边三角形   ，故④错误 综上所述，正确的结论是①②③ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程：． 【答案】原方程无解． 【解析】 【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是能把分式方程转化成整式方程进行求解． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（、都是常数，且）的图象经过点和． （1）求一次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点和代入一次函数，分别求出与，即可得到答案； （2）根据得到随的增大而减小，结合的取值范围，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，一次函数的表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 已知：如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵，是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质． 由三角形的中位线定理可得，，，，从而可得，，即可证得结论． 【详解】略 18. 年月日至日，第届世界大学生冬季运动会预计在长春举行，与运动会吉祥物“吉冰”“吉雪”相关的文创产品将深受大家喜爱．某文旅中心预计售卖A、B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用元购买B种挂件的数量比用元购买A种挂件的数量多个．求A种挂件和B种挂件的单价． 【答案】A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元 【解析】 【分析】本题利用总价、单价、数量的关系，设A种挂件单价为元，可表示出B种挂件的单价，再根据两种购买方式的数量差列出分式方程，求解后检验即可得到结果． 【详解】解：设每个A种挂件的单价为元，则每个B种挂件的单价为元， 由题意得：， 化简得：， ， 解得，经检验：是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：A种挂件单价为25元，B种挂件单价为20元． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，图①、图②、图③中线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中分别以、为顶点画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图． （1）在图①中画一个平行四边形，使其面积为； （2）在图②中画一个矩形，使其面积为； （3）在图③中画一个正方形． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可； （2）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； （3）根据正方形的判定作出图形． 【小问1详解】 解：由图可得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴符合题意； 【小问2详解】 解：由图可得，，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴符合题意； 【小问3详解】 解：由图得，， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴符合题意． 20. 2024年上映两部电影《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次电影评级中，电影《热辣滚烫》等级在三星以上（包括三星）的人数为________． （2）将表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 《飞驰人生2》 ________ 10 8 《热辣滚烫》 8 ________ （3）从相关统计量进行分析，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由． 【答案】（1）18人 （2）；8 （3）八年级学生对《飞驰人生2》评价较高；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，平均数和众数，利用平均数，中位数和众数做决策，解题的关键是理解中位数，平均数和众数定义． （1）根据扇形统计图，得出等级在三星以上（包括三星）的人数的百分比，然后求出结果即可； （2）根据平均数计算公式求出a即可；根据中位数的定义求出b即可； （3）根据平均数、中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：（人）， 即电影《热辣滚烫》等级在三星以上（包括三星）的人数为18人； 【小问2详解】 解：（分）， 将《热辣滚烫》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分， ∴中位数（分）； 【小问3详解】 解：∵八年级学生对《飞驰人生2》评价分的平均分和众数比《热辣滚烫》都高，而对《飞驰人生2》和《热辣滚烫》的评价分的中位数相同， ∴八年级学生对《飞驰人生2》评价较高． 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式． （1）因为前4分钟只进水，所以用4分钟后的水量除以4可得到进水管每分钟进水量；因为4到12分钟既进水又出水，先算出这段时间的水量变化量，结合进水量和时间，可求出出水管每分钟出水量． （2）因为当时，与是一次函数关系，利用待定系数法求解函数关系式． （3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可． 【小问1详解】 解：前只进水，总水量为，因此进水管每分钟进水， 到共，既进水又出水，水量从增加到，总增加水量， 设出水管每分钟出水，可得：，解得． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当时，是的一次函数，设， 由图可知，函数过点和， 代入得： ， 解得， 因此函数关系式为：． 【小问3详解】 解：因为， 所以在范围内， 将代入解析式： ， 解得：． 22. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出中的取值范围； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或；（3）． 【解析】 【分析】（1）由△AOC的面积为4，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求b的值． （2）根据图象观察当自变量x取何值时，一次函数图象位于反比例函数图象的上方即可，注意由两部分． （3）由对称点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交点就是所求的点P，求出直线与y轴的交点坐标即可． 【详解】（1）由题意得： ∴， 又∵反比例函数图象经过第二、四象限 ∴， 当时，；当时，，解得 （2）由图象可以看出的解集为或 （3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大（PB-PA=PB-PA′≤A′B，共线时差最大） ∵关于轴的对称点为， 又，则直线与轴的交点即为所求点． 设直线的解析式为 则解得 ∴直线的解析式为 ∴直线与轴的交点为． 即点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，涉及了轴对称以及待定系数法求函数的关系式、线段的最值等知识，理解作点A关于y轴的对称点A′，直线A′B与y轴交于P，此时PA-PB最大． 23. 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作． （1）求证：是菱形． （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． （3）若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2）四边形是正方形，理由如下： 由（1）知， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形是菱形， 四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线条件，推导，进而得到，从而得出结论； （2）由（1）已知是菱形，结合的条件，对使用勾股定理逆定理，判断的度数，再根据正方形判定定理即可确定四边形形状； （3）先根据平行四边形的性质和角平分线的性质推导，进而求出长，过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出长，再利用勾股定理求出长，最后利用菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知，， ， ， ， 由（1）知，四边形是菱形， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， 四边形的面积为． 24. 如图①，在矩形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，连结．当点与点重合时点停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当点和点重合时，线段的长为________； （2）当点和点重合时，求的值； （3）当点在边上运动时，的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； （4）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和矩形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）的值为4； （3）证明：如图所示，过点作于点， ，， ，， ， 四边形是矩形， ∴， ∵， 四边形是矩形， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形； （4）的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）证明四边形是矩形，进而在中，勾股定理即可求解． （2）当点和点重合时，点在AB边上，设，则，由勾股定理得，，，，则，由此解出，进而求出t的值； （3）过点作于点，证明得出，即可得出结论． （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点在上时，②当点在上时，当，重合时符合题意，此时如图，③当点在上，当，重合时，此时与点重合，则是正方形，即可求解． 【小问1详解】 解：当点和点重合时，如图所示，连接， 四边形是矩形， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，； 【小问2详解】 解：当点和点重合时，点在边上，如图所示： 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴， ∵动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：①如图所示，当点在上时， ，， 在中，， 则， ， ，， 在中，， 解得， 当时，点在矩形内部， 符合题意； ②当点在上时，当，重合时符合题意，此时如图， 则，， 在中，， 解得； ③当点在上，当，重合时，此时点与点重合，此时如图， 则四边形是正方形， 此时， 综上所述，的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $