精品解析：吉林省长春市经济技术开发区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

长春经开区 2023-2024 学年度第二学期期末质量调研 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式 有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 点关于x轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 4. 将直线向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 7. 如图，在菱形中，延长至点F，使得 ，连接交于点E．若，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 8. 如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 计算：_______． 10. 已知，则的值为 __________________． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 12. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 __________________． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_________m． 14. 如图，点E在正方形的对角线上，连结并延长交边于点M，交边的延长线于点G，过点E作于点F．若，则线段的长度是 ________． 三、解答题 (本大题共 10小题，共78分) 15. 解下列方程： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 2024年3月1日起，交通运输部新修订的《快递市场管理办法》正式施行．新规出台是对快递市场的一次重要整顿，引领着快递行业向着更加规范、有序的方向发展．快递新规施行后，某快递员现在平均每天的派件量比新规施行前减少200件．现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，求该快递员现在平均每天的派件量． 18. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B．两点，与x轴交于点C，点A、B的坐标分别为和． （1）求一次函数的表达式； （2）的面积为 　　． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在的边上找一点D，连结，使； （2）在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； （3）在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 21. 一条笔直的路上依次有M、P、N三地，其中M、N两地相距1000米．甲机器人从M地出发到N地，乙机器人从N地出发到M地，甲、乙两机器人同时出发，匀速而行．图中线段、分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）甲机器人的速度为 　　米/分钟； （2）求乙机器人离M地的距离y与行走时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）甲机器人到达P地后，再经过1分钟乙机器人也到达P地，求P、M两地间的距离． 22. 在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … a b 9 … （1）写出函数关系式中m及表格中a、b的值：　　，　　，　　； （2）①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ②当　　时，函数取得最小值为 　　； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集． 23. 【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 （1）如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； （2）如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 24. 如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结． （1）　　，　　；（用含t的代数式表示） （2）当四边形是菱形时，t的值为 　　； （3）当垂直于的一边时，求t的值； （4）如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春经开区 2023-2024 学年度第二学期期末质量调研 八年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式 有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不等于零解题即可． 【详解】解：∵分式 有意义， ∴， 解得， 故选A． 2. 四月的长春，繁花盛开，春意满满，伊通河樱花岛成为一道迷人的风景线．已知每片樱花重约0.000018克，数据0.000018用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，用科学记数法表示小于1的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 3. 点关于x轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是； 故选B． 4. 将直线向下平移3个单位长度后得到的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的平移规律，可得答案． 【详解】解：将直线y=2x+4向下平移3个单位， 得y=2x+4-3， 即y=2x+1， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题关键． 5. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则点B的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴ 即点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半， ∴点D的坐标为：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k． 6. 如图，，若，，则的度数是（ ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，三角形内角和定理．根据题意利用可得，再利用内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选C． 7. 如图，在菱形中，延长至点F，使得 ，连接交于点E．若，则菱形的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先由菱形的性质得出， 证明 结合代入化简， 即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∴，， ， ， 即 ， ， ， 则， 即 ， ∴菱形的周长为， 故选：D． 8. 如图，直线AB经过原点O，且交反比例函数的图象于点B，A，点C在x轴上，且．若，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，过点B作BE⊥x轴于E，根据对称性可以得到，从而推出，再由三线合一定理得到CE=OE，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作BE⊥x轴于E， ∵A、B都在反比例函数图象上，且AB经过原点， ∴， ∴， ∵BC=BO，BE⊥OC， ∴CE=OE， ∴， ∴． 故选C． . 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数的对称性，三线合一定理等等，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 二、填空题 (本大题共6小题，每小题3分，共18分) 9. 计算：_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，负整数幂，最后再算加法． 【详解】解：原式 故答案为：10 10. 已知，则的值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质可得，代入即可求解， 本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 将代入得：， 故答案为：． 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 12. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了600个充电桩．设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数（该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_________m． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：7． 14. 如图，点E在正方形的对角线上，连结并延长交边于点M，交边的延长线于点G，过点E作于点F．若，则线段的长度是 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．先根据已知条件求出，再根据正方形的性质证明，得到，再根据相似三角形的判定得到，求出的值，最后根据正方形的性质证明平行，从而证明，然后根据相似三角形的对应边成比例，列出关于的比例式，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2.5 三、解答题 (本大题共 10小题，共78分) 15. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）先把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可； （2）先把方程化为一般式，然后利用求解公式解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17. 2024年3月1日起，交通运输部新修订的《快递市场管理办法》正式施行．新规出台是对快递市场的一次重要整顿，引领着快递行业向着更加规范、有序的方向发展．快递新规施行后，某快递员现在平均每天的派件量比新规施行前减少200件．现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，求该快递员现在平均每天的派件量． 【答案】600件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设该快递员现在平均每天的派件量为x件，则新规施行前平均每天的派件量为件，根据工作时间工作总量工作效率，结合现在派1500件的所需时间与新规施行前派2000件的所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设快递员现在平均每天的派件量为x件． 根据题意： 解这个方程，得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：快递员现在平均每天的派件量为600件． 18. 如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B．两点，与x轴交于点C，点A、B的坐标分别为和． （1）求一次函数的表达式； （2）的面积为 　　． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，三角形面积，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得B点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）先求出点的坐标为，则，再根据可得答案； 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点，在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点为直线与轴的交点， ∴把代入函数中，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ， ， ． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，在的边上找一点D，连结，使； （2）在图②中，在的边上找一点P，在边上找一点Q，连结，使，且相似比为； （3）在图③中，在的边上找一点E，连结，使． 【答案】（1） 如图①中，线段即为所求； （2） 如图2中，线段即为所求； （3） 如图③中，点E即为所求． 【解析】 【分析】（1）在上取一点D，使得即可； （2）取的中点P，取格点T，连接交于点Q，线段即为所求； （3）取格点P，Q，连接交于点E，连接即可， 本题考查作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 一条笔直的路上依次有M、P、N三地，其中M、N两地相距1000米．甲机器人从M地出发到N地，乙机器人从N地出发到M地，甲、乙两机器人同时出发，匀速而行．图中线段、分别表示甲、乙机器人离M地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）甲机器人的速度为 　　米/分钟； （2）求乙机器人离M地的距离y与行走时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）甲机器人到达P地后，再经过1分钟乙机器人也到达P地，求P、M两地间的距离． 【答案】（1）200 （2） （3）P，M两地间的距离为600米 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是关键； （1）根据“速度＝路程÷时间”可得答案； （2）利用待定系数法，将代入解析式中，求出答案； （3）设甲到P地时间为x分钟，乙到P地时间为分钟，分别求出两机器人到P地时，与M的距离，列出方程，解出答案． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲机器人的速度为：（米/分钟）， 【小问2详解】 解：由图象可知，所在直线为一次函数， ∴设， ∵，， ∴， 解得， ∴所在直线的表达式为； 【小问3详解】 解：设甲机器人行走x分钟时到P地，P地与M地距离为200x米， 则乙机器人分钟后到P地，P地与M地距离米， 由， 解得， ∴， 答：P，M两地间的距离为600米． 22. 在探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x … 0 1 2 3 4 5 … y … a b 9 … （1）写出函数关系式中m及表格中a、b的值：　　，　　，　　； （2）①根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； ②当　　时，函数取得最小值为 　　； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），，4 （2） ①图象如图， ②2； （3）或 【解析】 【分析】（1）代入一对x、y的值即可求得m的值，然后代入x＝1求a值，代入x＝4求b值即可； （2）利用描点作图法作出图象并写出最值即可； （3）根据图象求出即可， 本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得：m＝﹣10， ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：，，4， 【小问2详解】 解：①略； ②根据图象可知当时函数有最小值； 故答案为：2；， 【小问3详解】 解：根据当的函数图象在函数的图象上方时，不等式成立， ∴或． 23. 【知识回顾】 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 将下列的定理证明过程补充完整： 已知：如图①，在中，点D、E分别是与的中点． 求证：，． 证明： 【定理应用】 （1）如图②，在中，对角线、相交于点O，的平分线与边相交于点E，点F是的中点，若，，则　　； （2）如图③，将矩形的边绕点A旋转一定的角度，得到线段，连结，点E，F分别是和的中点，连结，，，已知，，则的面积的最大值为 ． 【答案】（1）1 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，得到，根据三角形中位线定理得到； （2）根据三角形中位线定理得到，，由的面积点D到的距离点D到的距离，得到当点D到的距离最大时，的面积有最大值，求得将线段绕点B旋转时，点D到的距离最大，即为，根据三角形的面积公式即可得到结论， 本题考查了，平行四边形的性质，三角形的中位线，矩形的性质，旋转的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【小问1详解】 解：（1）在平行四边形中，，，， ∴， ∵DE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 （2）∵点E，F分别是和的中点， ∴，， ∵的面积点D到的距离点D到的距离， ∴当点D到的距离最大时，的面积有最大值， ∴将线段绕点B旋转时，点D到的距离最大，即为， 如图， ∴的面积的最大值为：， 故答案为：12． 24. 如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结． （1）　　，　　；（用含t的代数式表示） （2）当四边形是菱形时，t的值为 　　； （3）当垂直于的一边时，求t的值； （4）如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）t的值为或 （4）或 【解析】 【分析】（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出，再用减去即可求出； （2）先证明，求出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，列出关于t的方程，解方程即可求出结果； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值； （4）当或是钝角时将沿翻折，点A的对应点在外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将沿翻折，点A的对应点在外部时t的取值范围． 【小问1详解】 解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； 【小问4详解】 解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $