13.1.2 直角三角形的判定-（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“直角三角形的判定”，核心内容为勾股定理逆定理及勾股数。课堂导入通过复习“两角互余判定直角三角形”过渡，结合古埃及画直角实例与动手作三角形活动，搭建从角到边的判定方法学习支架。 其亮点在于融合数学思维与实践，“试一试”环节让学生观察数据发现规律培养抽象能力，逆定理证明过程发展推理意识，实际应用题（如梯子高度、吸管长度）强化模型观念。小结清晰梳理知识，帮助学生构建体系，教师可借分层练习提升教学效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 13.1.2 直角三角形的判定 第十三章 勾股定理 华东师大版八上13.1.2 直角三角形的判定同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 直角三角形的判定定理（勾股定理逆定理）正确的是（） A. 若三角形两边平方和等于第三边平方，则这个三角形是直角三角形 B. 任意三角形两短边和等于最长边 C. 两直角边平方和等于斜边平方 D. 有一个角是直角的三角形是等腰直角三角形 2. 下列各组线段，能组成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 3. 在△ABC中，三边满足$$a^2+b^2=c^2$$，则直角为（） A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. 无法确定 4. 下列各组数中，不属于勾股数的是（） A. 5，12，13 B. 6，8，10 C. 7，8，9 D. 9，12，15 5. 关于勾股定理与逆定理，说法正确的是（） A. 勾股定理用于判定直角三角形 B. 逆定理是已知直角三角形求边长 C. 勾股定理：直角三角形→边长关系；逆定理：边长关系→直角三角形 D. 两者无任何关联 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。 2. 利用逆定理判定直角三角形时，需先找________（最长边）。 3. 若三角形三边长为6、8、10，则这个三角形是________三角形。 4. 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，称为________。 5. 在△ABC中，三边为5、12、13，最大角的度数是________°。 6. 勾股定理和逆定理互为________。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 判断下列各组线段能否构成直角三角形，写出判定过程。 （1）9，12，15 （2）4，5，6 （3）8，15，17 2. 辨析填空：区分勾股定理与逆定理。 （1）已知三角形是直角三角形，求边长，用________； （2）已知三边长，判断是否为直角三角形，用________。 3. 已知△ABC三边长为$$\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$$，判断是否为直角三角形。 4. 已知三角形三边比为3:4:5，求证：该三角形是直角三角形。 四、综合证明应用题（共 20 分） 1. 已知：在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8。 求证：△ABC是直角三角形，并求出它的面积。（10 分） 2. 已知：在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，判断△ABC的形状（非直角/直角）。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 二、填空题 1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2. 最长边c 3. 直角 4. 勾股数 5. 90 6. 互逆定理 三、解答题 1. 解： （1）能，$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，是直角三角形； （2）不能，$$4^2+5^2=16+25=41 eq36=6^2$$，非直角三角形； （3）能，$$8^2+15^2=64+225=289=17^2$$，是直角三角形。 2.（1）勾股定理 （2）勾股定理逆定理 3. 解： 最长边为$$\sqrt{5}$$$$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5=(\sqrt{5})^2$$ 满足逆定理，因此该三角形是直角三角形。 4. 证明： 设三边长为$$3k、4k、5k（k\gt0）$$$$(3k)^2+(4k)^2=9k^2+16k^2=25k^2=(5k)^2$$ 满足勾股定理逆定理 ∴ 该三角形为直角三角形。 四、综合应用题 1. 解： ∵ 最长边AB=10 $$AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100=10^2=AB^2$$ ∴ △ABC是直角三角形，直角为∠C 面积$$=\dfrac{1}{2}\times6\times8=24$$ 答：三角形为直角三角形，面积为24。 2. 解： 最长边为BC=14 $$13^2+15^2=169+225=394$$$$14^2=196$$$$394 eq196$$，不满足逆定理 ∴ △ABC不是直角三角形。 知识点拓展讲解（约400字） 本节核心为勾股定理的逆定理，是判定直角三角形的核心方法，与上一节勾股定理构成完整的双向逻辑体系，是考试计算、证明、几何识图的高频考点。核心定理：若三角形三边长a、b、c满足两边平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。 核心解题步骤：一找最长边，二算平方和，三对比判定。必须优先确定最长边，用两条较短边的平方和与最长边平方对比，不可随意组合边长计算，这是最核心的解题规范，也是高频易错点。 核心概念区分：勾股定理是性质定理（直角三角形→边长关系，用于求边长、算长度）；逆定理是判定定理（边长关系→直角三角形，用于判形状、证垂直），二者为互逆定理，考试必考辨析。 常用勾股数可直接秒杀题型，基础勾股数的正整数倍数依然是勾股数。本节是后续几何垂直证明、折叠计算、网格直角判定、实际应用题的基础，熟练掌握双向定理运用，可彻底解决直角三角形所有基础计算与判定题型。 学习目标 1.了解直角三角形的判定条件．（重点） 2.能够运用勾股数解决简单实际问题．（难点） 学习目标 复习回顾 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角. 两个角互余的三角形是直角三角形. 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 02 新知导入 想一想：如何判定一个三角形是直角三角形? 如果∠A +∠B =90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法: 有两个角互余的三角形是直角三角形. 02 新知导入 由勾股定理，你能猜想是什么特殊关系吗? 古埃及人曾经用下面的方法画直角: 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 你知道这是什么道理吗? 03 新知探究 探究 勾股定理的逆定理 【试一试】试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形: (1)a=3，b=4，c=5； (2)a=4，b=6，c=8； (3)a=6，b=8，c=10. 03 新知探究 探究 勾股定理的逆定理 可以发现，按(1)(3)所作的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所作的三角形不是直角三角形. 03 新知探究 探究 勾股定理的逆定理 观察上面三组数据，结合上节课学习的勾股定理，算一算，你能发现什么？ 在这三组数据中，（1）（3）两组数据恰好都满足 a2+b2=c2. （1）32+42=52 （3）62+82=102 总结归纳 对于直角三角形的判定，有一般的结论： 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. a b c 03 新知探究 探究 勾股定理的逆定理 已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2. 求证：∠C =90°. 证明：如图②，作△A'B'C'，使 ∠C'=90°， A'C'=b， B'C'=a， 则A'B'=a2+b2=c2，即A'B'=c. 03 新知探究 探究 勾股定理的逆定理 已知：如图①，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， a2+b2=c2. 求证：∠C =90°. 在△ABC和△A'B'C'中， ∵BC=a=B'C'，AC =b=A'C'，AB =c=A'B'， ∴△ABC≌△A'B'C'. ∴∠C= ∠C'= 90°. 03 新知探究 【例4】在△ABC中，AB=n2-1，BC= 2n，AC= n2+1( n为大于1的整数 ). 问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵ AB2+BC2=(n2- 1)2 +( 2n )2 =n4 - 2n2+1+ 4n2 =n4+ 2n2+1 =(n2 +1)2=AC2, ∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角. 想一想，为什么选择AB2+BC2? AB、BC、CA的大小关系是怎样的? 拓展提高 利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边． (2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形． 03 新知探究 探究 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 例如：3、4、5，6、8、10，n2 - 1、2n、n2+1(n为大于1的整数)，等等，都是勾股数. 你能再举几个例子吗？ 5，12，13 8，15，17 7，24，25 拓展提高 判断勾股数的方法： (1)确定是不是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方． （第1题） 1. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子 的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶 端距离地面的高度 是( ) B A. B. C. D. 2. 圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为 ，有一只长为 的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至 少为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 16 （第3题） 3. 如图，学校有一块直角三角形菜 地， ， . 为方便劳作，准备在菜地中间修建 一条小路.测量发现， ， ， ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 中考考法 17 （第3题） 【点拨】 ， .设 ，则 ， ， .在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得，即 . 返回 中考考法 18 4.如图，一扇卷闸门用一块宽，长 的长方形木板 撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起____ 高. 39 （第4题） 返回 中考考法 19 （第5题） 5.［2025重庆沙坪坝区期中］小宁购买了拳击反 应球作为居家健身器材.如图，若将球体支架最 底端到球体支架最顶端看成一条线段 ，当 反应球被击打时，可看作线段绕着点 旋转得 到线段 （在安全角度范围内旋转）.小宁击打 反应球后与支架的水平距离为 ，当 130 时，，则球体支架_____ . 中考考法 20 （第5题） 【点拨】由题意可知， ，设球体 支架，则 ， .在 中，由勾股定理得 ，解得 ，即球体支 架 . 从实际问题中抽象出直角三角形模型，用未知数表 示出直角三角形的各边，最后根据勾股定理列方程解决问题. 返回 中考考法 21 6. 爱护森林人人有责，如图单位： 是 某森林小队为该地区森林鸟类安装的木屋示意图，它为轴对 称图形，求屋顶到地面 的距离. 中考考法 22 【解】 木屋为轴对称图形， 是等腰三角形，如图，作 ，垂足为 ， 由题意得 ， . ，， 屋顶 到 地面的距离为 . 返回 中考考法 23 （第7题） 7. 在我国古代数学 著作《九章算术》“勾股”章有一题： “今有开门去阃 一尺，不合二 寸，问门广几何.”大意是说：如图， 推开两扇门和 ，门边缘 B A. 100寸 B. 101寸 C. 102寸 D. 103寸 ，两点到门槛的距离为1尺（1尺 寸），两扇门的 间隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和） 为( ) 返回 中考考法 24 （第8题） 8. 足球是世界上最受欢迎 的运动项目之一，2025赛季中超联赛于2月 22日开幕.如图是一场足球赛中的场景，球 员向边线传球，传球落点在边线 上 任何位置都能被边线球员接住球，而边线球 B A. 15 B. C. 20 D. 员不运球直接传给球员，图中四边形 为直角梯形， ，， ，则两次传球中足球飞 过的最短路径为( ) 中考考法 25 【点拨】如图，作关于的对称点 ，连 结交于，连结，过作 于 ，易得两次传球中足球飞过的最短路径长 为 的长， ， ， . 中考考法 26 依题意得， ， . ， .又 ， ， ， 即两次传球中足球飞过的最短路径为 . 返回 中考考法 9. 如图，在 中， ， ， ，， ， 10或 ，是直线上一动点，把沿 所在的直线 翻折后，若点落在直线上的点处，则 的长是______. 中考考法 28 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 2.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. $