13.1.2 直角三角形的判定（6大基础题型+2大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

13.1.2 直角三角形的判定 题型一：判断三边能否构成直角三角形 1．(25-26八上·福建三明尤溪第一中学洋中分校·月考)以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．3，8，12 B．8，15，17 C．12，15，18 D．3，17，18 2．(25-26八上·黑龙江绥化第八中学校·期中)在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，4 3．(25-26八上·甘肃酒泉第二中学教育集团·期中)下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 4．(25-26八上·陕西汉中西乡县第三中学·月考)以下列每组的三条线段长为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．1，2，3 C．2，3，4 D． 5．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·月考)下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．9，60，61 C．5，12，13 D．1，2， 题型二：根据选项判断是否能构成直角三角形 1．(25-26八上·广东茂名高州高州第一中学附属实验中学·月考)已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 2．(24-25八上·广东深圳深圳中学初中部·期中)在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 3．(25-26八上·山东菏泽菏泽经济技术开发区多校联合体·月考)在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 4．(23-24八下·重庆江津区·期末)以下不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 5．(25-26八上·重庆南开中学校·期中)满足下列条件时不是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 题型三：在网格中判断直角三角形 1．(25-26八上·广东广州广州中学·期中)如图，在3×4的正方形网格中， 2．(25-26八·江苏南京师范大学附属中学树人学校·月考)如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 3．(25-26八上·吉林长春长春五十二中赫行实验学校·月考)如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 4．(25-26八上·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： （填“能”或“不能”）． 5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则 度． 6．(24-25八下·甘肃庆阳·期末)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 7．(24-25八下·广东汕头潮阳区金培学校·月考)已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有 个． 题型四：利用直角三角形逆定理求面积 1．(23-24八下·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期末)一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 2．(24-22八下·湖北荆州沙区·期中)如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 3．(24-25八下·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 4．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试·期末)如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 题型五：勾股定理逆定理综合解答题 1．(25-26八上·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·期中)如图，在中，，是边上一点，，，． (1)试判断的形状； (2)求的面积． 2．(25-26八上·重庆八中宏帆中学校·期中)如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 3．如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． 4．(25-26八上·四川成都清合教育集团·月考)如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 5．(25-26八上·辽宁沈阳第一二六中学·月考)如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 6．(24-25八下·辽宁大连甘井子区汇文中学·期中)如图， (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型六：勾股定理逆定理的实际应用 1．(25-26八上·安徽宿州萧县城东初级中学·月考)如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 2．(25-26八上·甘肃酒泉第二中学教育集团·期中)如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 3．(24-25八下·河北邢台·期末)如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 4．(23-24八下·河南洛阳第二外国语学校·月考)2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 5．(23-24八下·新疆乌鲁木齐新区新疆师范大学附属中学·期中)如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 6．(24-25八上·重庆江北区鲁能巴蜀中学·期末)如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 题型一：勾股定理逆定理的拓展问题 1．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 2．(24-25八下·河南信阳部分学校·期中)阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 3．(23-24八下·福建莆田城厢区莆田哲理中学·月考)定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 4．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 5．(23-24八上·江苏徐州邳州·期中)在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 6．(24-25八上·山西晋中祁县、灵石县·期中)阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 7．(24-25八上·江苏无锡梁溪区·期中)定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)已知的三边长分别为4，5，6，则 “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 题型二：勾股定理逆定理综合压轴 1．(24-25八上·广东清远清城区飞来湖中学·期中)如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)边的长为______； (2)当t为时，是什么三角形，请给出证明； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 2．(25-26八上·江苏无锡湖滨中学·月考)如图，在的方格纸中，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）： ①在图1中，作出的边上的高； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有_____个． 3．(25-26八上·江西九江·期中)综合与实践 定义：如图1，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称，是线段的勾股分割点． (1)若，，，则，_____线段的勾股分割点．（填“是”或“不是”） (2)已知，是线段的勾股分割点，若，，求的长． (3)如图2，在中，，，点，在斜边上，． ①试说明：是线段的勾股分割点． ②当，，求的长． 4．(24-25八下·湖北武汉解放中学·期中)如图，等腰中，，，M，N是直线上的动点，且，． (1)如图1，若，求α的值； (2)当M，N运动至如图2的位置，且，求α的值； (3)如图3，M在线段上，N在的延长线上，若，，直接写出的长．（用m，n表示） 5．【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 6．(24-25八下·广西来宾象州县·期中)【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 1．(25-26八上·浙江宁波江北区洪塘片区·期中)如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 2．(25-26八上·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·期中)如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 3．(24-25八下·广东揭阳普宁·期中)三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．(25-26八上·河南郑州高新区一中·月考)年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 6．(25-26八上·浙江杭州银湖实验中学·月考)如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 7．(25-26八上·广东河源龙川县龙川第一实验学校·期中)如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ． 8．(25-26八上·山西太原第十二中学校·月考)如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 9．(25-26九上·辽宁鞍山第五十一中学·月考)如图，在中，，，中线，则的面积为 ． 10．(25-26八上·四川达州渠县琅琊中学·月考)如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 11．(25-26八上·山西运城·月考)如图是机器零件的示意图形状，测得 (1)连接，求，之间的距离； (2)求四边形的面积． 12．(25-26八上·江西九江·期中)如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，且直角边长都是无理数． 13．(23-24八下·重庆江津区·期末)如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 14．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 15．如图， 中， 点A 为 内一点， (1)画出将绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.2 直角三角形的判定 题型一：判断三边能否构成直角三角形 1．(25-26八上·福建三明尤溪第一中学洋中分校·月考)以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．3，8，12 B．8，15，17 C．12，15，18 D．3，17，18 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项错误； B、，能构成直角三角形，故选项正确； C、，不能构成直角三角形，故选项错误； D、， 不能构成直角三角形，故选项错误. 故选：B． 2．(25-26八上·黑龙江绥化第八中学校·期中)在三边分别为下列长度的三角形中，能构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．，， C．6，7，8 D．2，3，4 【答案】A 【分析】该题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理，若三角形三边满足（其中c为最长边），则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A：∵ ，∴ 能构成直角三角形． B：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． C：∵，∴ 不能构成直角三角形． D：∵ ，∴ 不能构成直角三角形． 故选：A． 3．(25-26八上·甘肃酒泉第二中学教育集团·期中)下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（    ） A．7，24，25 B．5，13，15 C．2，3，4 D．8，12，20 【答案】A 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵，∴能构成直角三角形，故A符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴这样的三角形不存在，故D不符合题意； 故选：A． 4．(25-26八上·陕西汉中西乡县第三中学·月考)以下列每组的三条线段长为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．1，2，3 C．2，3，4 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足“较短两边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A． ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； B． ，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形； C． ，不满足勾股定理，不能组成直角三角形； D． ，满足勾股定理，能组成直角三角形； 故选：D． 5．(24-25八上·四川成都温江区王府外国语学校·月考)下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．9，60，61 C．5，12，13 D．1，2， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理逆定理逐一验证各选项即可． 【详解】解：A．，满足勾股定理，能构成直角三角形； B．，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； C．，满足勾股定理，能构成直角三角形； D．，满足勾股定理，能构成直角三角形； 故选：B． 题型二：根据选项判断是否能构成直角三角形 1．(25-26八上·广东茂名高州高州第一中学附属实验中学·月考)已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解决本题的关键．从三角形三边的关系利用勾股定理的逆定理和从角的关系利用三角形内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：A．设，由三角形内角和为可知：，解得，故，是直角三角形，不符合题意； B．由三角形内角和定理可知：，即，此时是直角三角形，不符合题意； C．已知条件可变形为，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D．设，此时，无法构成三角形，符合题意； 故选：D． 2．(24-25八上·广东深圳深圳中学初中部·期中)在中，，，，则下列结论正确的是（   ） A．是直角三角形，且 B．是直角三角形，且 C．是直角三角形，且 D．不是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是计算三角形三边的平方，判断是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，进而确定直角三角形及直角的位置． 先计算三边的平方，即，，；观察发现，根据勾股定理的逆定理，可知最长边所对的角为直角，即，由此判断选项． 【详解】解：A、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； B、若，则需满足，计算得，符合勾股定理的逆定理，此选项符合题意； C、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； D、由B的分析可知，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 3．(25-26八上·山东菏泽菏泽经济技术开发区多校联合体·月考)在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B． ， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C． ，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D． ，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．(23-24八下·重庆江津区·期末)以下不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，需熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用．根据勾股定理的逆定理（三边满足两边平方和等于第三边平方）和三角形内角和定理（内角和为），判断各选项是否能构成直角三角形． 【详解】解： A：，，， ∴， ∴ 能构成直角三角形； B：，且， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； C：，设，，， ∴， ∴， ∴， ∴ 能构成直角三角形； D：，设，，， ∴，， ∵， ∴，且其他组合（如，）， ∴ 不能构成直角三角形． 故选：D． 5．(25-26八上·重庆南开中学校·期中)满足下列条件时不是直角三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是本题的考点，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键．利用勾股定理逆定理可以判断两项，利用三角形的内角和可以判断两项． 【详解】解：、， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、设， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，， ， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 故选：． 题型三：在网格中判断直角三角形 1．(25-26八上·广东广州广州中学·期中)如图，在3×4的正方形网格中， 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理；根据网格的特点可得三角形是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 2．(25-26八·江苏南京师范大学附属中学树人学校·月考)如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 3．(25-26八上·吉林长春长春五十二中赫行实验学校·月考)如图，是由6个大小完全相同的小正方形拼成的网格，，，，，均为格点，连接、，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质．取格点，连接，，求得，推出，利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：取格点，连接，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 4．(25-26八上·江西鹰潭余江区正源学校·月考)如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答： （填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：由图，得 ，，， ∵， 即， ∴三条线段不能组成直角三角形． 故答案为：不能． 5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，连接，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由网格可知，，，则有，得是等腰直角三角形，可得，然后证明，则有，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ， 由网格可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∵，， ∴， 故答案为：． 6．(24-25八下·甘肃庆阳·期末)如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 7．(24-25八下·广东汕头潮阳区金培学校·月考)已知图是的方格纸，其中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，已知格点线段．请写出使得为直角三角形的格点有 个． 【答案】6 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，正确作出图形．本题根据直角三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图： 观察图可知，满足条件的格点有个． 故答案为：． 题型四：利用直角三角形逆定理求面积 1．(23-24八下·甘肃甘南藏族临潭县第一中学·期末)一块木板如图所示，已知，，，，，则木板的面积为（   ） A．60 B．20 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查正确运用勾股定理，及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．连接，利用勾股定理解出直角三角形的斜边，通过三角形的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ． 故选：C． 2．(24-22八下·湖北荆州沙区·期中)如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再利用逆定理求出，即可通过面积公式求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25八下·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25八下·山西朔州右玉县右玉教育集团初中部期末考试·期末)如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求四边形面积，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式等知识，在中和中，由勾股定理的逆定理证得和均为直角三角形，数形结合得到四边形的面积为，代值求解即可得到答案．熟记勾股定理的逆定理判定和均为直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 题型五：勾股定理逆定理综合解答题 1．(25-26八上·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·期中)如图，在中，，是边上一点，，，． (1)试判断的形状； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）设，则，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：因为，，， 所以． 所以， 所以是直角三角形． （2）解：由（1）知，是直角三角形，且， 所以． 设， 因为， 所以． 因为， 所以， 解得．     所以． 所以． 2．(25-26八上·重庆八中宏帆中学校·期中)如图，在中，，，， (1)求的度数； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到的形状． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即可求解； （2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：设，则． 在中，， ， 解得． ． 3．如图，在中，，， 是边上的中线，是边上的高，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，高线，勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理应用是解题的关键． （1）先证明是直角三角形，然后根据三角形面积公式求解； （2）先求，再根据求解即可． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， ， 又， ， 是直角三角形， 又是的高， ∴， ； （2）解：在中，由勾股定理得， ， ． 4．(25-26八上·四川成都清合教育集团·月考)如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 5．(25-26八上·辽宁沈阳第一二六中学·月考)如图，在四边形中，，，，． (1)求长度 (2)求的度数； 【答案】(1)； (2). 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． 利用勾股定理即可求出的长度； 由可知，又因为，，可得：，利用勾股定理的逆定理可知，由，，可知，由角之间的关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：如下图所示，连接， ，， ； （2）解： ，， ， ，， 由可知， ， 是直角三角形，， ． 6．(24-25八下·辽宁大连甘井子区汇文中学·期中)如图， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由两个三角形全等的判定定理证得，再由全等性质即可得到答案； （2）连接，如图所示，在中，由勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质得到及，在中，由勾股定理的逆定理得到，从而得到的度数．． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： ， 在中，，，则由勾股定理可得，且， ， ， 在中，，，则，， ， 即为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，熟记三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识是解决问题的关键． 题型六：勾股定理逆定理的实际应用 1．(25-26八上·安徽宿州萧县城东初级中学·月考)如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 2．(25-26八上·甘肃酒泉第二中学教育集团·期中)如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地，为田间的一条小路，且，已知，，，．请用你学过的知识计算出这块四边形田地的面积 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到，分割法求出田地的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形， ∴四边形田地的面积． 3．(24-25八下·河北邢台·期末)如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 4．(23-24八下·河南洛阳第二外国语学校·月考)2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 5．(23-24八下·新疆乌鲁木齐新区新疆师范大学附属中学·期中)如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． (1)是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，想要在空地上铺草坪，已知草坪每平方米50元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】(1) 根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，解答即可． (3) 根据三角形面积公式，确定四边形的面积，后面积乘以单价计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， 故是直角三角形． （2）解：根据题意，得四边形面积为： =． 根据题意，得（元）． 6．(24-25八上·重庆江北区鲁能巴蜀中学·期末)如图，在河流的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A、B，村庄修建了道路和，其中由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点、H、B在一条直线上，并修建道路经测量：百米，百米，百米． (1)判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； (2)求新修的道路比原来的道路短了多少百米？结果保留两位小数 【答案】(1)是，理由见解析 (2)新路比原路少百米 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据点到直线垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近路； （2）解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， ， 百米， 新路比原路少百米． 题型一：勾股定理逆定理的拓展问题 1．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 2．(24-25八下·河南信阳部分学校·期中)阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 【答案】(1)锐角； (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可． 根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状； 当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 3．(23-24八下·福建莆田城厢区莆田哲理中学·月考)定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 4．(23-24八上·湖南长沙湖南师范大学附属中学·期中)定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 5．(23-24八上·江苏徐州邳州·期中)在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 6．(24-25八上·山西晋中祁县、灵石县·期中)阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 7．(24-25八上·江苏无锡梁溪区·期中)定义：在中，若，，，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)已知的三边长分别为4，5，6，则 “类勾股三角形”．（填“是”或“不是”） (2)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且，求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1)是 (2) (3)证明见详解 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，等腰三角形的性质，勾股定理及三角形外角的性质． （1）根据“类勾股三角形”的定义判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：是， 理由：∵的三边长分别是4，5，6， ∴，，， ∵， ∴是“类勾股三角形”． 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴，， ∵是类勾股三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）证明：如图，在线段上取一点D，使，连接，过点C作交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴是“类勾股三角形”． 题型二：勾股定理逆定理综合压轴 1．(24-25八上·广东清远清城区飞来湖中学·期中)如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． (1)边的长为______； (2)当t为时，是什么三角形，请给出证明； (3)当为等腰三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)直角三角形，证明见解析 (3)5或8或 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）t为时，，根据勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理可证是直角三角形； （3）分，，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：是直角三角形， 证明：t为时，， ， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：分三种情况： 当时，如图： ； 当时，如图： ， ； 当时，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 综上可知，当为等腰三角形时， t的值为5或8或． 2．(25-26八上·江苏无锡湖滨中学·月考)如图，在的方格纸中，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形． (1)仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）： ①在图1中，作出的边上的高； ②在图2中，点为的中点，在上作点，使； (2)在的方格纸中与全等且有一条公共边的格点三角形（不含）共有_____个． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）作，取格点，连接并延长交于即可； 取格点M，连接交于点即可； （2）分类讨论，三边分别为公共边时，通过数格子，找到与另外两边相等线段组成的三角形，连线即可． 【详解】（1）作，取格点，连接并延长交与， 证明：由作图可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即为的边上的高； 取格点M，连接交于点即可； 证明：连接，取格点M下方格点为N， 可知， 由勾股定理可知，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 即， ∵， ∴， ∴ ∴； （2）与全等且有一条公共边的格点三角形 分别是以为公共边的三角形 当公共边为时 当公共边为时 当公共边为时，不符合题意，舍去 故答案为：． 3．(25-26八上·江西九江·期中)综合与实践 定义：如图1，点，把线段分割成，，，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称，是线段的勾股分割点． (1)若，，，则，_____线段的勾股分割点．（填“是”或“不是”） (2)已知，是线段的勾股分割点，若，，求的长． (3)如图2，在中，，，点，在斜边上，． ①试说明：是线段的勾股分割点． ②当，，求的长． 【答案】(1)是 (2)或 (3)①见解析②6 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握新定义，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据勾股定理逆定理进行判断即可； （2）分为构成的直角三角形的直角边和为构成的直角三角形的斜边，两种情况，利用勾股定理进行求解即可； （3）①过点A作，且，则，先证可得，再证可得，然后在中，最后由勾股定理得即可证明结论；②设，则，根据勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，是线段的勾股分割点； 故答案为：是； （2）由题意，当为构成的直角三角形的直角边时：； 当为构成的直角三角形的斜边时： ； 故的长为或； （3）①证明：如图，过点A作，且，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点M，N是线段的勾股分割点． ②设，则， 由①知：， ∴， 解得； 故． 4．(24-25八下·湖北武汉解放中学·期中)如图，等腰中，，，M，N是直线上的动点，且，． (1)如图1，若，求α的值； (2)当M，N运动至如图2的位置，且，求α的值； (3)如图3，M在线段上，N在的延长线上，若，，直接写出的长．（用m，n表示） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）证明，求得，据此求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，利用证明，推出，，利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，且，据此求解即可； （3）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，作于点，设，求得，利用直角三角形的性质求得，，同理利用证明，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，作于点，设， ∴， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 5．【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则 ，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 6．(24-25八下·广西来宾象州县·期中)【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 1．(25-26八上·浙江宁波江北区洪塘片区·期中)如果的三个顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．那么下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理和勾股定理逆定理的应用，熟练掌握直角三角形的判定条件是解题关键． 分别通过三角形内角和定理判断角度是否为，或利用勾股定理逆定理判断边长是否满足，依次判断即可． 【详解】解：A．∵，且， ∴，故不是直角三角形； B．∵， ∴，故不是直角三角形； C．∵， ∴，， ∴，故是直角三角形； D．∵， ∴，， ∴，故不是直角三角形； 故选C． 2．(25-26八上·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·期中)如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 3．(24-25八下·广东揭阳普宁·期中)三角形的三边满足，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故这个三角形是直角三角形； 故选：A 4．已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解： 可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 5．(25-26八上·河南郑州高新区一中·月考)年7月日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合－”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西方向以海里/小时的速度航行，二号舰以海里/小时的速度航行，离开港口小时后它们分别到达A，B两点，相距海里，则二号舰航行的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 由题意可知，，由勾股定理逆定理可知，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【详解】解：如图： ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴二号舰航行的方向是南偏东， 故选：C． 6．(25-26八上·浙江杭州银湖实验中学·月考)如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键． 根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图形面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ ， 故答案为：16 ． 7．(25-26八上·广东河源龙川县龙川第一实验学校·期中)如图，在中，，，，与的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，与角平分线有关的三角形内角和问题，由得到，再根据角平分线得到即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．(25-26八上·山西太原第十二中学校·月考)如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 9．(25-26九上·辽宁鞍山第五十一中学·月考)如图，在中，，，中线，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理逆定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；延长到点，使，连接，可证明，则，所以，则，然后问题可求解． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接，则， 是的中线，， ， ∵， ∴， ∴，， ， 是直角三角形，且， ； 故答案为：6． 10．(25-26八上·四川达州渠县琅琊中学·月考)如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 11．(25-26八上·山西运城·月考)如图是机器零件的示意图形状，测得 (1)连接，求，之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、之间的距离为 (2)四边形的面积是 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出答案； （2）利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据直角三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：连接， 在中，，由勾股定理得： 答：B、D之间的距离为 （2）解：， 是直角三角形， ． 答：四边形的面积是 12．(25-26八上·江西九江·期中)如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，画一个直角三角形，使它的斜边长为． (2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，且直角边长都是无理数． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，作出正确的直角三角形是解决本题的关键． （1）选取格点，再顺次连接，此时即为所求； （2）选取格点，再顺次连接，此时即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： ∵， ∴， ∴是直角三角形，且斜边长为； （2）解：如图所示： ∵， ∴， ∴是直角三角形，斜边长为5，且直角边长都是无理数． 13．(23-24八下·重庆江津区·期末)如图，四边形是某公园的休闲步道．经测量，点B在A的正西方向，，点D在A的正北方向． (1)求四边形步道所围公园的面积； (2)小明和小亮从B到D去玩耍，公园内有一条小路，小明决定走小路从B→E→D，小明的速度为，小亮决定全程走步道从B→C→D，小亮的速度为，已知，则小明和小亮谁先到达D？请说明理由．（精确到十分位，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)小明先到达D，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握该两个定理的灵活应用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出长度，最后利用三角形的面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求出线段的长度，然后分别求出两人的时间进行对比即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； 根据方位得，， 由勾股定理得，， ∴； ∴； （2）解：小明先到达D，理由如下： ， 由勾股定理得， 小明所需时间为； 小亮所需时间为； ∵， ∴小明先到达D． 14．(24-25九上·内蒙古赤峰松山区·期中)如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得 ，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明： 绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 15．如图， 中， 点A 为 内一点， (1)画出将绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质（旋转前后对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理的应用．解题关键：通过将绕点O逆时针旋转构造全等三角形，将分散的线段、、和角集中到相关三角形中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理逆定理求解角度． （1）依据且，确定旋转后的对应边为；保持旋转中心O不变，将点A绕O逆时针旋转得到对应点B，连接、，即得的旋转图形； （2）连接；由旋转性质得，故、，且，判定为等腰直角三角形，得、；利用勾股定理的逆定理可推得为直角，最后可计算出的度数． 【详解】（1）解：由于， ∴旋转即在的位置上， ∴绕点O逆时针旋转得到的如图所示： （2）解：连接， ∵是由绕点O逆时针旋转得到的， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 则， ∴， ∴． 1 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $