精品解析：北京市昌平区2025-2026学年第二学期高二年级期末质量抽测数学（第二组）

昌平区2025-2026学年第二学期高二年级期末质量抽测 数学（第二组） 2026年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 又，所以. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设公比为，因为，所以. . 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，因为，所以是奇函数，但其在整个定义域上不单调递增，所以A错误； 选项B，若，，单调递增，且时，， 若，，单调递增，且时，， 又时，所以在上是单调递增， 因为，所以为奇函数，所以B正确； 选项C，因为，所以是奇函数，但不单调递增，所以C错误； 选项D，因为，所以是奇函数， 在，上单调递增，但在整个定义域上不单调递增，所以D错误. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以，所以. 6. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且最小正周期为 B. 奇函数，且最小正周期为 C. 偶函数，且最小正周期为 D. 偶函数，且最小正周期为 【答案】C 【解析】 【详解】因为，将替换为时，， 因为，所以，为偶函数. 设最小正周期为，即，， 因为，故为一个周期. 证明为最小正周期，若，取，， ，解得， 若，即，，矛盾. 若，假设，代入可知，，，矛盾. 故为最小正周期. 7. 某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（ ） （参考数据：） A. 2031年 B. 2032年 C. 2033年 D. 2034年 【答案】C 【解析】 【分析】构建等比数列模型，取对数解不等式，向上取整推算年份. 【详解】设从2025年起，第年的光伏发电量为（单位：万千瓦时）， 已知（2025年），年增长率为25%，即公比， 则第年的发电量公式为： ，则， 所以， 因为是整数，所以，从2025年开始算，第8年是：2025 + 8 = 2033年. 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 9. 设关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为恒成立问题，由对称性求出函数的值域，得到不等式，求出答案 【详解】因为的解集为P，设， 设，由于，故为偶函数， 所以的解集必为对称区间，即，又，故， 因为，，作出函数的图象如下图： 由图可知，要使，只需满足，解得. 10. 已知数列满足．给出下列四个结论： ①，有； ②若，，则； ③当时，数列为递减数列； ④当时，数列是等比数列． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】① 配方后利用平方非负性，直接得下界；② 常数列需满足递推方程，解不唯一； ③ 作差后根据a_n与2的大小关系判断增减性，并非始终递减；④ 换元后取对数，可证新数列是公比为2的等比数列. 【详解】①由递推式： ，所以，有，① 正确； ② 若数列是常数列，则 ，代入递推式，解得或，并非只有，②错误； ③由，当，，可知，此时，数列递增； 当，，此时，数列递减，③错误； ④ 令，则，代入递推式，化简得，则， 因为，所以，即是以为首项，2为公比的等比数列，④ 正确. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式即可得出函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 【答案】9 【解析】 【详解】设，则，解得. 又，所以，由此可知. 所以， 时，，时，， 所以时，数列的前项和最大. 13. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则________；若在区间上有且仅有一个零点，则的一个取值为________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【详解】向左平移个单位得到的函数为， 再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的函数. 因为在上有且只有一个零点，即， ，所以即可，解得，任取其一即可. 14. 设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围. 【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为； 第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求； 当时，函数右段最小值，则， 综上所述，. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①是非奇非偶函数； ②当时，至多有两个不同零点； ③若是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点，若，则． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对①：计算定义域即可得；对②：分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得. 【详解】对①：令，即有，即，函数定义域不关于原点对称，故函数不是奇函数，故①正确； 对②：令，则，因为， 当时，有，故0是该方程的一个根； 当，有，，方程有两根，有或， 因为，故必有一个大于2的正根，即必有一个大于2的正根； 因为，令，即，则， 即，故在内亦必有一负根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有三个不相等的实数根，故②错误； 对③：令，则有，， 令，，，令，解得，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，，故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或， 当时，由，有，故成立； 当时，，则设， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则圆上点纵坐标：， ，所以， 实际上，，两点竖直距离，水平距离相等， 故； 综上所述，恒成立，故④正确. 【点睛】结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 【答案】（1）1；最小正周期为 （2）． 【解析】 【小问1详解】 由题意， 所以． 该函数的最小正周期为 【小问2详解】 由(1)知． 由，得． 所以的单调递减区间为． 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比中项建立方程求出公差，写出等差数列通项； (2)分组求和，分别计算等差数列与等比数列的前项和再相加. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，． 由，，，成等比数列，得， 即． 解得或（舍去）． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 从而数列的前项和 . 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求，的值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择条件①：，；选择条件②：，；选择条件③：，； 【解析】 【分析】(1)代入求解即可. (2)①通过余弦函数取得最值时定义域相差一个周期的性质求解. ②通过单调递减区间长度与函数值相等求解. ③通过与求出周期的多种可能，并判断周期范围来确定唯一周期，进而代入求解. 【小问1详解】 由题设，， 又，得． 因为，所以． 【小问2详解】 选择条件①：在区间上单调递增． 因为，且， 所以在取得最小值． 因为在上单调递增，上单调递减， 所以在取得最大值． 所以，即． 因为，所以． 所以，． 由，得． 又因为，所以． 选择条件②：． 因为，所以的最小值为，最大值为1． 因为在区间上单调递减，且，， 所以由三角函数的性质得． 因为，所以． 所以，． 由，得． 又因为，所以． 选择条件③：， 因为，所以，，所以. 若，解得. 或，解得，舍去 故周期为，，解得. . 因为，所以，. 解得，因为，所以. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2）当时， 当时， 当时， 【解析】 【分析】(1)通过函数求导并代入求出该点切线斜率，并进一步求得切线方程. (2)通过对范围的分类讨论求得函数的单调区间，并以此求得函数在的最小值. 【小问1详解】 当时，，． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，， 所以． 当时，，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增，此时． 当时，令，则，（舍）． 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． ①当，即时，在区间上单调递增，此时. ②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时. ③当，即时，在区间上单调递减，此时． 综上，当时，. 当时，. 当时，． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线的斜率； （2）设，当时，求的零点个数； （3）若，且，求证：． 【答案】（1）0 （2）2个 （3）由题设，． ①当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递减； ②当时，，，所以，即． 所以在区间上单调递增． 因为，且，所以． 令，． 因为，当且仅当时等号成立． 所以当时，． 所以． 所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为在区间上单调递减，，， 所以，即 【解析】 【分析】(1)通过复合函数求导并代入求解切线斜率进而求出切线方程. (2)表示出后构造新函数，通过单调性求解零点个数. (3)通过原函数单调性求出范围后，构造新函数求解. 【小问1详解】 因为， 所以． 所以曲线在点处的切线的斜率为0． 【小问2详解】 由题设，． 因为，所以是的一个零点． 当时，等价于． 设函数，，则． 令，解得． 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 又，， 当时，． 又根据零点存在定理，存在唯一，使得． 综上，当时，有2个零点． 【小问3详解】 略 21. 已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 【答案】（1）①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． （2）先证“充分性”： 当数列具有性质时，则，所以． 又因为，所以， 所以，． 因为，，所以，即“数列为常数列”． 再证“必要性”： 当“数列为常数列”时，则， 即“数列具有性质”． 综上，“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件. （3） 【解析】 【分析】（1）严格对照定义代入检验，特值法否定不满足的数列； （2）利用递增条件双向夹逼完成充分性证明，常数列直接验证必要性； （3）先锁定底数，放缩结合反证法夹逼得到公比，严谨推导通项. 【小问1详解】 ① ，左边：，​ 右边：，左边 = 右边，具有性质P(2)； ② 取验证，左边：， 右边：，不满足对任意成立，不具有性质P(2)； ③ 左边：，右边：， 若，则，不是正整数，对任意不成立， 所以不具有性质P(2). 综上所述，①数列具有性质；②数列不具有性质；③数列不具有性质． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题设，当时，有，即． 当时，有，即，所以，为3的正整数次幂， 依此类推，可得数列中的所有项都是3的正整数次幂， 即 ，，使得（*）． 以下证明． ①证明：． 因为数列具有性质，所以，． 当时，有，即， 又因为且，， 由，所以，． 同理，，． 所以，所以． 又由（*）式可知，． ②利用反证法证明． 假设数列中存在相邻的两项之比大于9， 即存在满足或， 得． 所以，又由（*）式可知，． 依此类推，可得，这与矛盾， 所以． 综上． 又，所以． 经检验，该通项公式满足， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025-2026学年第二学期高二年级期末质量抽测 数学（第二组） 2026年7月 本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数，且最小正周期为 B. 奇函数，且最小正周期为 C. 偶函数，且最小正周期为 D. 偶函数，且最小正周期为 7. 某地区为推进碳中和目标，计划逐年新增光伏装机容量．已知2025年该地区光伏年发电量为4000万千瓦时，在按发展规划建立的测算模型中，自2026年起，每年发电量较上一年增长，据此测算，该地区光伏年发电量首次超过2亿千瓦时的年份是（ ） （参考数据：） A. 2031年 B. 2032年 C. 2033年 D. 2034年 8. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 设关于的不等式的解集为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足．给出下列四个结论： ①，有； ②若，，则； ③当时，数列为递减数列； ④当时，数列是等比数列． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为__________. 12. 若等差数列满足，，则当________时，数列的前项和最大． 13. 将函数的图象上的所有点向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则________；若在区间上有且仅有一个零点，则的一个取值为________． 14. 设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①是非奇非偶函数； ②当时，至多有两个不同零点； ③若是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点，若，则． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的值及的最小正周期； （2）求的单调递减区间． 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求，的值． 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线的斜率； （2）设，当时，求的零点个数； （3）若，且，求证：． 21. 已知数列是由正整数组成的无穷数列．若存在常数，使得对任意的成立，则称数列具有性质． （1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）． ①；②；③． （2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列”的充要条件； （3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $