北京市房山区2025-2026学年第二学期期末考试（二）高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期末考试（二） 高二数学 本试卷共6页，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在的展开式中，的系数为 A．20 B．15 C． D． 2．某社区有老年居民1200人、中年居民3500人、青年居民4000人．若采用分层抽样的方法随机抽取部分居民进行社区服务满意度调查，抽取的样本包含中年居民350人，则抽取的样本包含老年居民的人数为 A．120 B．180 C．200 D．400 3．已知数列的前项和，则 A．9 B．16 C．31 D．33 4．已知8件产品中有2件次品，其余为合格品．若从这8件产品中随机抽取2件，则恰有1件次品的概率为 A． B． C． D． 5．已知随机变量，则 A． B． C． D． 6．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 7．生鲜超市分拣员整理货品，现有6种水果，5种蔬菜，从中任选5种货品打包礼盒，要求礼盒中水果、蔬菜都不能少于2种，则不同的选法种数为 A．150 B．200 C．350 D．400 8．已知函数，则“”是“在区间上单调递减”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知各项均为正数的数列的前项和为，，，，，则 A．125 B．127 C．250 D．511 10．已知函数是定义在上的可导函数，若对于，均有，则有 A．， B．， C．， D．， 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知随机变量的分布列如下表： 1 0 则______． 12．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则______． 13．若函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的一个取值是______． 14．有6张座位编号分别为1，2，3，4，5，6的电影票，若平均分给6人，每人1张，则不同的分法共有______种；若分给4人，每人至少1张，至多2张，且这2张票具有连续的编号，则不同的分法共有______种． 15．已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分） 某班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表： 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 从该班级里随机选1名学生参加演讲比赛： （Ⅰ）求选到女生的概率； （Ⅱ）如果已知选到的是团员，求选到的是女生的概率． 17．（本小题13分） 已知等比数列中，公比，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列是等差数列，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使数列存在，设，求数列的前项和． 条件①：； 条件②：； 条件③：，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 18．（本小题14分） 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．已知某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为，若不计壁厚，设该粮仓容积为，圆柱的底面半径为． （Ⅰ）写出与之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （Ⅱ）求该粮仓容积的最大值． 19．（本小题15分） 某教育部门为了解中学生校园阅读满意度，连续3年（2023年至2025年）每季度开展调查，将调查结果数据编制成阅读满意度指数．指数越大表示满意度越高，规定指数时，为不满意区间，指数时，为满意区间．该市2023年至2025年各季度阅读满意度指数如下表： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023阅读满意度指数 113.5 111.8 107.2 95.9 2024阅读满意度指数 104.3 98.4 95.2 90.1 2025阅读满意度指数 102.4 92.6 101.5 99.5 假设每个季度阅读满意度指数相互独立．用频率估计概率． （Ⅰ）从上述12个季度中随机抽取1个季度，估计该季度处于满意区间的概率； （Ⅱ）从2024年和2025年共8个季度中，随机抽取3个季度，记其中阅读满意度指数处于满意区间的季度个数为，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）从2023年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，从2024年4个季度中随机抽取1个季度，记为该季度阅读满意度指数，比较数学期望与的大小．（结论不要求证明） 20．（本小题15分） 已知函数，，． （Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）当时，讨论函数在上的单调性； （Ⅲ）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围． 21．（本小题15分） 已知数集，若对任意的，，使得成立，称则数集具有性质． （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质； （Ⅱ）已知，求证：； （Ⅲ）若，求数集中所有元素的和的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $