第11章 不等式与不等式组 暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年人教版七年级数学下册

人教版七年级下册复习巩固 第11章 不等式与不等式组 本章复习目标 理解不等式、一元一次不等式（组）及其解集的核心概念，掌握不等式的基本性质，能准确区分等式与不等式性质的异同，发展数学抽象与逻辑推理核心素养。 能熟练求解一元一次不等式与一元一次不等式组，会用数轴表示解集，掌握解集的公共部分确定方法，提升运算求解能力。 能运用不等式（组）解决方案选择、最值优化、范围确定等真实生活问题，建立不等关系模型，提升数学建模与决策应用能力。 本章知识框架 知识点复习 11.1 不等式及其性质 知识点 1：不等式的相关概念 用符号 “>”“<”“≥”“≤”“≠” 表示___大小___关系的式子，叫做不等式。 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的___解___；一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的__解集____。 求不等式解集的过程叫做__解不等式____。 知识点 2：不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向___不变___。 即：若a>b，则a±c___>___b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向__不变____。 即：若a>b, c>0，则ac___>___bc，__>____​。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向__改变____。 即：若a>b, c<0，则ac___<___bc，___<___。 易错核心：乘除负数时，不等号必须改变方向，这是与等式性质最关键的区别。 11.2 一元一次不等式 知识点 1：一元一次不等式的定义 含有___一___个未知数，并且含未知数的项的次数是___1___的不等式，叫做一元一次不等式。 判断三要素：① 一个未知数；② 未知数次数为 1；③ 整式不等式。 知识点 2：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似： 去分母；2. 去括号；3. 移项；4. 合并同类项；5. 系数化为 1。 注意：去分母和系数化为 1 时，若两边乘（或除以）负数，必须___改变___不等号方向。 解集的数轴表示： 含等号（≥、≤）画___实心___圆点； 不含等号（>、<）画___空心___圆圈； 大于向右画，小于向左画。 11.3 一元一次不等式组 知识点 1：相关概念 把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次___不等式组___。 几个不等式的解集的___公共___部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 知识点 2：四种基本解集类型（设a<b） 表格 不等式组 解集 口诀 {x>ax>b​ ___x>b___ 同大取大 {x<ax<b​ ___x<a___ 同小取小 {x>ax<b​ __a<x<b____ 大小小大中间找 {x<ax>b​ ___无解___ 大大小小找不到 11.4 实际应用 知识点 1：列不等式解应用题的步骤 审：找出不等关系，注意 “至少”“至多”“不超过”“不低于” 等关键词； 设：设出未知数； 列：根据不等关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组）； 验：检验解集是否符合实际意义； 答：写出答案，确定最优方案或取值范围。 知识点 2：常见关键词对应符号 至少、不低于、不少于 → __≥____ 至多、不超过、不高于 → __≤____ 超过、大于 → __>____ 不足、小于 → ___<___ 本章核心数学思想 类比思想：将一元一次不等式的解法类比一元一次方程，在对比中掌握异同，实现知识迁移。 数形结合思想：用数轴直观表示不等式的解集，数形结合确定不等式组的公共解集。 数学建模思想：将生活中的不等关系抽象为不等式模型，通过求解解决范围、方案类问题。 分类讨论思想：在方案选择问题中，根据解集筛选符合条件的整数解，确定最优方案。 本章易错点提醒 性质 3 应用错误：乘除负数时忘记改变不等号方向，这是本章最高频易错点。 去分母漏乘项：去分母时只乘含分母的项，漏乘常数项，与方程类错误同源。 数轴表示不规范：实心圆点与空心圆圈混淆，方向画反，导致解集表示错误。 不等式组解集取错：四种口诀记忆混淆，尤其是 “大小小大” 与 “大大小小” 的区分。 实际问题忽略整数解：方案类问题中，人数、件数等必须为正整数，需从解集中筛选整数解。 不等号关键词误判：将 “至少” 对应 “≤”、“至多” 对应 “≥”，方向完全颠倒。 知识点练习 一、 选择题 1.若，则下列不等式错误的是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断选项，找出错误结论即可. 【解答】 解：，，A正确，不符合题意； ，移项可得，B正确，不符合题意； ，且，，因此不成立，C错误，符合题意； ，，，D正确， 不符合题意. 故选：C． 2.下列判断正确的是(        ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】 B 【解析】 本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边加(或减)同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出正确的即可． 【解答】 解：选项A： ，两边同乘-2，不等号变向 ，故A错误． 选项B： ，两边同加2，不等号方向不变 ，故B正确． 选项C： ，当m<0时，两边同除以m，不等号变向，可得 ；当m=0时，ma=mb，无法推出a>b，故C错误． 选项D： ，两边同乘2，2是正数，不等号方向不变 ，故D错误． 故选：B． 3.已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（        ） A.是这个不等式的解 B.1不是这个不等式的解 C.大于的数都是这个不等式的解 D.大于的数都是这个不等式的解 【答案】 D 【解析】 已知不等式解集为 ，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论。 【解答】 解：对于A选项， ， 不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项， ， 是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如 ， 但 ，不是不等式的解， 错误； 对于D选项，所有大于 的数都满足 ， 大于 的数都是这个不等式的解，D正确。 故选：D． 4.不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先解出不等式，然后根据解集的范围在数轴上画出来，可以直接选出答案. 【解答】 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得. x<1. 在数轴上表示为： 故选A. 5.关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 先分别求解两个不等式，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，得到关于m的不等式，解出m的范围即可选出正确选项. 【解答】 解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 由图可知，不等式组的解集为， 根据“同大取大”的规则，可得， 解得. 故选：D. 6.“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设购买篮球x个，则购买排球（ 30-x ）个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组. 【解答】 解：设购买篮球x个，则购买排球（ ）个， 由题意得 故选：C. 7.若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（       ） A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】 A 【解析】 先求出不等式组的解集，求出a的取值范围，再求出方程的解，根据方程的解是非负整数，整数a确定a的值，即可求出答案. 【解答】 解：解不等式组 ，得a-2≤x<2， 解得a<4, 解方程 得 ， 方程 的解为非负整数，a为整数， ， 符合题意； ， 符合题意； 符合条件的所有整数a的和为3-2=1， 故选：A. 8.已知关于，的方程组的解都为整数，且关于的不等式组，恰有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于的不等式组．根据不等式组求出的范围，然后再根据方程组求出的取值，从而确定的的可能值即可得出答案． 【解答】 解：解方程组得：， 方程组的解为整数， 、、， 解得：或或或或或， 解不等式组，得：， 不等式组有且仅有个整数解，即整数解为：， ， 解得：，满足条件的整数有、、、， 综上所述：满足条件的整数的值是、， 所有满足条件的整数的值之和是． 故选：． 二、 填空题 9.“x的平方与3的和大于5”用不等式表示为：________． 【答案】 【解析】 先得到x的平方，再得到x的平方与3的和，最后结合不等关系列出不等式即可. 【解答】 解：根据题意可得： x的平方表示为 ， x的平方与3的和表示为 ， 由和大于5，列不等式得 故答案为： 10.如果关于的不等式的解集为，则的值是___1_____． 【答案】 1 【解析】 解不等式得 ，结合关于 的不等式 的解集为 ，得出 ，解之可得答案. 【解答】 解： 则 关于 的不等式 的解集为 解得 故答案为：1. 11.若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 先解出第一个不等式，再根据已知的不等式组解集，即可得到 m的取值范围. 【解答】 解： 解得 不等式组 的解集为 和 的公共部分. 不等式组的解集是 故答案为： 12.小明用克咖啡粉冲泡了毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组____________． 【答案】 【解析】 本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【解答】 解：由题意倒掉了毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 13.若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为___-14_____． 【答案】 【解析】 先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和. 【解答】 解： , 解①得： , 解②得： , 不等式组有解, , 解得： , 化简方程 得 , , , 方程的解为 , 方程有非负整数解，且 不满足方程， 为正整数，即 为负整数，且 是6的因数， , , 的可能取值为, 对应整数为. 符合条件的所有整数的和为 . 故答案为：-14. 三、 解答题 14.解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】 x > -3; 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 3x > -9, x > -3; (2) 解： 由 ① ，得 由 ② ，得 不等式组的解集为   15.关于的两个不等式<7−2与−1+<． （1）若两个不等式解集相同，求的值； （2）若不等式<7−2的解都是−1+<的解，求的取值范围． 【答案】 ； 1 【解析】 （1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出的值即可； （2）根据不等式<7−2的解都是−1+<的解，求出的范围即可． 【解答】 （1）解：由<7−2得：＜2， 由<得：＜+1， 由两个不等式的解集相同，得到， 解得：； （2）解：由不等式<7−2的解都是−1+<的解， 得到， 解得：1 16.某学校计划租用辆客车送名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 乙 （1）求与的函数解析式（不需要写的取值范围）； （2）如果使租车总费用不超过元，一共有哪几种租车方案？ 【答案】 共有种租车方案， ①甲车辆，乙车辆； ②甲车辆，乙车辆； ③甲车辆，乙车辆． 【解析】 （1）根据租用甲种型号的客车辆，乙种型号的客车辆，甲、乙两种型号的客车租金分别为元和元，列总费用解析式； （2）根据甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆，总费用不超过元，载师生总共名，列不等式组，求出不等式组解集，求出不等式组的整数解，即得． 【解答】 （1）解：租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）租车总费用不超过元，师生共有人， ， 解①得，， 解②得，， 所列不等式组的解集为：， 为整数， 可取，，， 一共有种租车方案： ①甲车辆，乙车辆； ②甲车辆，乙车辆； ③甲车辆，乙车辆．  17.已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】 0 【解析】 （1）由加减消元法解二元一次方程组得 ，然后代入计算即可得解； （2）由 (1) 得 ，结合题意得出 ，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出 ，求解并结合 (2) 得出 ，即可得解。 【解答】 （1）解：， 由 ① 得：， ， ① ②得：， ， 该方程组的解满足 ， ， ； （2）由 (1) 得：， 该方程组的解满足 为正数， 为负数， ， 解得：； （3）解：， ， 不等式 的解为 ， ， 解得：， 由 (2) 可得 ， ， 的整数值为 0．   18.【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】 ； ； 【解析】 （1）模仿题干过程，先得出 ，再整理得 ，故由①+②得 ，即可作答。 （2）模仿题干过程，先得出 ，再整理得 ，故由①+②得 ，即可作答。 （3）模仿题干过程，先得出 ，再整理得 ，故由①+②得 ，即可作答。 【解答】 （1）， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， 同理 ， 由①+②得 ， 的取值范围是 ； （2）， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， 同理 ， 由①+②得 ， 的取值范围是 ； （3）， ， 又 ， ， ， 又 ， ， ， ， 同理 ， 由①+②得 ， ， 即 取值范围是 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级下册复习巩固 第11章 不等式与不等式组 本章复习目标 理解不等式、一元一次不等式（组）及其解集的核心概念，掌握不等式的基本性质，能准确区分等式与不等式性质的异同，发展数学抽象与逻辑推理核心素养。 能熟练求解一元一次不等式与一元一次不等式组，会用数轴表示解集，掌握解集的公共部分确定方法，提升运算求解能力。 能运用不等式（组）解决方案选择、最值优化、范围确定等真实生活问题，建立不等关系模型，提升数学建模与决策应用能力。 本章知识框架 知识点复习 11.1 不等式及其性质 知识点 1：不等式的相关概念 用符号 “>”“<”“≥”“≤”“≠” 表示______关系的式子，叫做不等式。 使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的______；一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的______。 求不等式解集的过程叫做______。 知识点 2：不等式的基本性质 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______。 即：若a>b，则a±c___>___b±c。 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______。 即：若a>b, c>0，则ac______bc，______​。 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______。 即：若a>b, c<0，则ac______bc，______。 易错核心：乘除负数时，不等号必须改变方向，这是与等式性质最关键的区别。 11.2 一元一次不等式 知识点 1：一元一次不等式的定义 含有___一___个未知数，并且含未知数的项的次数是______的不等式，叫做一元一次不等式。 判断三要素：① 一个未知数；② 未知数次数为 1；③ 整式不等式。 知识点 2：一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似： 去分母；2. 去括号；3. 移项；4. 合并同类项；5. 系数化为 1。 注意：去分母和系数化为 1 时，若两边乘（或除以）负数，必须______不等号方向。 解集的数轴表示： 含等号（≥、≤）画______圆点； 不含等号（>、<）画______圆圈； 大于向右画，小于向左画。 11.3 一元一次不等式组 知识点 1：相关概念 把两个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次______。 几个不等式的解集的______部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。 求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 知识点 2：四种基本解集类型（设a<b） 表格 不等式组 解集 口诀 {x>ax>b​ ______ 同大取大 {x<ax<b​ ______ 同小取小 {x>ax<b​ ______ 大小小大中间找 {x<ax>b​ ______ 大大小小找不到 11.4 实际应用 知识点 1：列不等式解应用题的步骤 审：找出不等关系，注意 “至少”“至多”“不超过”“不低于” 等关键词； 设：设出未知数； 列：根据不等关系列出不等式（组）； 解：解不等式（组）； 验：检验解集是否符合实际意义； 答：写出答案，确定最优方案或取值范围。 知识点 2：常见关键词对应符号 至少、不低于、不少于 → ______ 至多、不超过、不高于 → ______ 超过、大于 → ______ 不足、小于 → ______ 本章核心数学思想 类比思想：将一元一次不等式的解法类比一元一次方程，在对比中掌握异同，实现知识迁移。 数形结合思想：用数轴直观表示不等式的解集，数形结合确定不等式组的公共解集。 数学建模思想：将生活中的不等关系抽象为不等式模型，通过求解解决范围、方案类问题。 分类讨论思想：在方案选择问题中，根据解集筛选符合条件的整数解，确定最优方案。 本章易错点提醒 性质 3 应用错误：乘除负数时忘记改变不等号方向，这是本章最高频易错点。 去分母漏乘项：去分母时只乘含分母的项，漏乘常数项，与方程类错误同源。 数轴表示不规范：实心圆点与空心圆圈混淆，方向画反，导致解集表示错误。 不等式组解集取错：四种口诀记忆混淆，尤其是 “大小小大” 与 “大大小小” 的区分。 实际问题忽略整数解：方案类问题中，人数、件数等必须为正整数，需从解集中筛选整数解。 不等号关键词误判：将 “至少” 对应 “≤”、“至多” 对应 “≥”，方向完全颠倒。 知识点练习 一、 选择题 1.若，则下列不等式错误的是（        ） A. B. C. D. 2.下列判断正确的是(        ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 3.已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（        ） A.是这个不等式的解 B.1不是这个不等式的解 C.大于的数都是这个不等式的解 D.大于的数都是这个不等式的解 4.不等式2x+3＜5的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5.关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则m的取值范围是（        ） A. B. C. D. 6.“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（       ） A. B. C. D. 7.若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（       ） A.1 B.2 C.3 D.5 8.已知关于，的方程组的解都为整数，且关于的不等式组，恰有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（       ） A. B. C. D. 二、 填空题 9.“x的平方与3的和大于5”用不等式表示为：________． 10.如果关于的不等式的解集为，则的值是_______． 11.若关于x的不等式组的解集是，则m的取值范围为_______． 12.小明用克咖啡粉冲泡了毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组___________． 13.若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为________． 三、 解答题 14.解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 15.关于的两个不等式<7−2与−1+<． （1）若两个不等式解集相同，求的值； （2）若不等式<7−2的解都是−1+<的解，求的取值范围． 16.某学校计划租用辆客车送名师生去参加课外实践活动，现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表，设租用甲种型号的客车辆，租车总费用为元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 乙 （1）求与的函数解析式（不需要写的取值范围）； （2）如果使租车总费用不超过元，一共有哪几种租车方案？ 17.已知关于的方程组． （1）若该方程组的解满足，求的值； （2）若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 18.【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：， 又 ∴ 又 ① 同理② 由①+②得 的取值范围是 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知，且，，则的取值范围是___________； （2）已知，且，，试确定的取值范围（用含有的式子表示）． 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题： （3）已知，且，，试确定的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $