第11章 不等式与不等式组 复习笔记(易错点+11典型题型归类精炼)2025-2026学年人教版数学七年级下册

第11章 不等式与不等式组 专题讲义人教版七年级下册数学 一、核心知识清单 （一）基本概念 1. 不等式：用<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫做不等式。 2. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4. 一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。 5. 一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。 6. 不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分。 （二）不等式的性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 若 ，则 。 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若 ，，则 ，。 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若 ，，则 ，。 （三）解法步骤 1. 解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（乘除负数时不等号变向）。 2. 解一元一次不等式组： ① 分别求出每个不等式的解集； ② 利用数轴找出解集的公共部分； ③ 写出不等式组的解集。 （四）解集规律（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到） 不等式组（） 解集 说明 向右取公共部分 向左取公共部分 取中间公共部分 无解 无公共部分 二、易错点警示清单 1. 运用不等式性质3时，忘记改变不等号方向。 2. 数轴表示解集时，实心点（含等号）与空心圈（不含等号）混淆。 3. 解不等式组时，找错多个解集的公共部分。 4. 实际应用中，忽略未知数的实际意义（如正整数、非负数）。 5. 去分母时，漏乘不含分母的项。 三、常用解题方法 1. 数轴法：用数轴直观表示不等式（组）的解集，快速确定公共部分。 2. 移项法：解不等式时，移项不变号，仅系数化为1时注意不等号方向。 3. 口诀法：记忆不等式组解集规律，快速判断结果。 4. 建模法：将实际问题转化为不等式（组）模型求解。 四、典型题型归类精练（代表性题型） 题型1：不等式的性质辨析 例1 已知 ，用“>”或“<”填空： (1) ____ ；(2) ____ ；(3) ____ 。 题型2：一元一次不等式的解法 例2 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。 题型3：数轴表示不等式的解集 例3 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）。 A. 空心圈2，向右； B. 实心点2，向右； C. 空心圈2，向左； D. 实心点2，向左 题型4：一元一次不等式组的解法 例4 解不等式组：，并写出它的整数解。 题型5：含参数的一元一次不等式（基础） 例5 若不等式 的解集为 ，则 ____。 题型6：不等式的实际应用（积分问题） 例6 知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对几道题？ 题型7：不等式组的实际应用（方案问题） 例7 用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装8t，则最后一辆汽车不空也不满，求汽车数量。 题型8：含参数的一元一次不等式组（进阶） 例8 已知不等式组 有3个整数解，求m的取值范围。 题型9：不等式与方程的综合应用 例9 已知方程 的解是正数，求k的取值范围。 题型10：不等式解集的正误判断 例10 下列说法正确的是（ ）。 A. 不等式 的解集是 ； B. 是不等式 的一个解； C. 不等式 的解集是所有负数； D. 不等式 没有负整数解。 题型11：不等式的实际应用（最值问题） 例11 某商店购进一批笔记本，进价为每本10元，售价为每本15元，若售完这批笔记本的利润不低于200元，求至少需要售出多少本笔记本。 五、详细答案与解题讲解 题型1：不等式的性质辨析 解析： (1) 根据性质1，两边加3，不等号方向不变，故填>； (2) 根据性质3，两边乘-4，不等号方向改变，故填<； (3) 根据性质2，两边除以2，不等号方向不变，故填>。 题型2：一元一次不等式的解法 解析： 去分母（两边同乘6），得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：数轴表示：在数轴上找到的位置，画实心点，向左画折线（表示所有小于等于的数）。 题型3：数轴表示不等式的解集 解析： 解不等式 ，移项得 ，系数化为1得 。 数轴表示：在数字2处画实心点（含等号），向右画折线（表示所有大于等于2的数），故选B。 题型4：一元一次不等式组的解法 解析： 解不等式①：，移项得 ，即 ； 解不等式②：，去括号得 ，移项得，即 ； 不等式组解集：； 整数解：-3、-2、-1、0。 题型5：含参数的一元一次不等式（基础） 解析： 移项得 ，已知解集为 ， 根据不等式性质3，不等号方向改变，说明 ， 且，解得 ，故填-1。 题型6：不等式的实际应用（积分问题） 解析： 设小明答对道题，则答错或不答道题。 根据题意列不等式： 去括号： 合并同类项： 系数化为1： ∵ 为正整数，∴ 最小取13。 答：他至少答对13道题。 题型7：不等式组的实际应用（方案问题） 解析： 设汽车有辆，则货物有吨。 根据题意列不等式组： 解不等式①：，移项得 ，系数化为1得 ； 解不等式②：，移项得 ，系数化为1得； ∴ 解集为 ， ∵ 为正整数，∴ 。 答：汽车有6辆。 题型8：含参数的一元一次不等式组（进阶） 解析： 解不等式①：，得 ； 解不等式②：，得 ； ∴ 不等式组解集为 。 ∵ 不等式组有3个整数解，整数解为2、3、4， ∴ 。 答：m的取值范围是。 题型9：不等式与方程的综合应用 解析： 解关于x的方程 ，移项得 ，系数化为1得 。 ∵ 方程的解是正数，∴ ， 两边同乘2（正数，不等号不变），得 ， 移项得 ，系数化为1（除以负数，不等号变向），得 。 答：k的取值范围是。 题型10：不等式解集的正误判断 解析： A. 不等式的解集是所有大于-3的数，不是单个值，错误； B. 满足，是不等式的一个解，正确； C. 不等式的解集包含正数、0和大于-3的负数，错误； D. 不等式的负整数解为-2、-1，错误； 故选B。 题型11：不等式的实际应用（最值问题） 解析： 设需要售出本笔记本，每本利润为元。 根据题意列不等式：， 系数化为1，得 。 答：至少需要售出40本笔记本。 学科网（北京）股份有限公司 $