海南省海南中学2025-2026学年度高二下学期期末考试数学试题卷

海南中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题卷 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 一、单选题 1．若命题，，则该命题的否定是（ ）． A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 3．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）． A． B． C． D．或 4．“”是“直线与圆相切”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 5．下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）． A． B． C． D． 6．手电筒、探照灯的反光镜面都是旋转抛物面（如图1），是利用抛物线的光学性质原理设计的．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图2所示，从直线和发出的两条光线经抛物线两次反射后，两条反射光线之间的宽度为（ ）． A． B． C． D． 7．已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（ ）． A． B． C． D． 8．设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为，则椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列说法正确的为（ ）． A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）． A．曲线关于直线轴对称 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．该曲线围成的图形的周长为 D．该曲线围成的图形的面积为 11．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且左、右焦点分别为，，它们在第一象限的交点为，若椭圆离心率记为，双曲线离心率记为，则下列结论正确的是（ ）． A．若，则的面积为 B．若，，则 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线与圆交于、两点，若，则_________． 13．已知，．则的最小值为_________________． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）如图，矩形的对角线经过矩形的顶点，且，． （1）设，矩形的面积为，请写出关于的关系式，并说明理由； （2）求矩形面积的最小值． 16．（本小题15分）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． （1）求椭圆的离心率． （2）已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 17．（本小题15分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． （1）求抛物线的标准方程和线段的长． （2）求的值． 18．（本小题17分）如图，椭圆（，，为常数），动圆，．点，分别为的左，右顶点，与相交于，，，四点． （1）若，，，求与的四个交点的坐标． （2）求直线与直线交点的轨迹方程． （3）设动圆与相交于，，，四点，其中，．若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值． 19．（本小题17分）已知双曲线的离心率为，过上的动点作曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为和，的面积为． （1）求曲线的方程． （2）如图，曲线的左顶点为，点位于原点与右顶点之间，过点的直线与曲线交于，两点，直线过且垂直于轴，直线，分别与交于，两点，若，，，四点共圆，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $海南中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题卷（教师版） 第I卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 一、单选题 1.D 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 7.C 8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.AD 10.ABD 11.ACD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1或-1 13.2V2 14.V2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， MN DN 15.【详解】(1)方法一：根据相似的性质可得BADA, 10 DN DN=60 所以10+xDN+6,解得 -0r69）-1206+>0 所以 BP PM AD=6r+10) 方法二：根据相似的性质可得BAAD,则x+10AD,得 X S=4B.AD=6(x+10 所以 x(x>0) S=120+6x+600≥120+2,6x.60 =240 600 6x= (2)由(1)得 ,当且仅当x,即x=10时，等号 成立，故矩形ABCD面积的最小值为240， e=-= 16.【答案】(1)a2(2)x+2y-4=0 x2,y2 【详解】1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为云+方1(a>b>0)】 2a=8,c=26.e==目 a2. 一c6卫4回的保方他为合 设A(,乃)，B(x,2) +龙=2+业=1 因为N是AB的中点，所以2 ，2 即：x+=4,y+2=2 +上=1，() 164 发+生=1，(2) 点A和B都在椭圆上： (164 将(1)和(2)相减： X-龙+-及=0 161 4 s-xs++-0y+%）=0 即： 16 代入+五=4和乃+少=2 s-)小40=)2=0 16 4 即：片-5=26-5) k=少-业=-1 因此，直线AB的斜率：七-为32 、1 直线AB过点V(2,1),斜率为2， 其方程为： -1=20k-2》）,面x+2y-4=0, 案】(1)抛物线的标准方程为y2=4xAB (2)1 【详解】(1)由题意，设抛物线的标准方程为少=2px, 将点卫的坐标代入抛物线方程得2p×1=2,解得P=2, 故该抛物线的标准方程为y=4x, 设点1(x,)、B(:,乃)，易知抛物线的焦点为F(,0),则直线1的方程为y=V5x-V5 y=V3x-/3 联立(2=4x 可得3x2-10x+3=0,△=(-10)-4×3×3=64>0 10 +=3,6=1, 所以 教网=+5+2-92-9 3 1 x2 11+x+2++23 狗阴5+化+切达++5女0 +1 (2) ,w年到哥 x2 y2 (2)a26京=1 (3)证明见解析 +y2=1 4 nx=±26 【详解】1)当Q=2,b=1,4=5时联立x+少2=3，得3x2-8=0解得=士3 ∴四个交点坐标分别为 9引9s- (2)设1(，y),B(,-y),又知A(-a,0),4,(a,0), y-(x+a) 则直线A4的方程为：+a 直线4，B的方程 y=义-@ 1-a 产 由①②得 4a总-1n--到 入③得 x2 y2 6京=l(x<-a,y<0) (2)证明：设4(：），由矩形ABCD与矩形AB'CD的面积相等，得4x=4,故 x=xy好 因为点A,A均在椭圆上，所以， -)=- 由5≠5，知名≠5，所以+号=a.从而+片=b 因此+号=a+b为定值 e=C=2 19.【详解】(1)由a,又c2=a2+b2得：b=V3a,所以渐近线方程为y=±V5x, x2 y2 则双曲线方程为23a=1 ，即3x2-y2=3a2 设M(:,),则M到渐近线的距离分别为 4---5c+ 2 又两渐近线的夹角为60°，且M,A,O,B四点共圆，则∠AMB=60°或120°， ABM的面积 3-a恤a-9-普8-号- 161 x2、y2 =1 ∴曲线C的方程为： 3 (2)如图O,D,P,Q四点共圆， ∠DPO+∠DO0=T→∠DPg=∠NoQ→tan∠DPe=tan∠NO0 ∠NO0+∠DOQ=π tan∠ODP =tan∠NOg→kop'koo=l i设G(x,h).R(,).N(,0),t∈(O,),D(-1,0) y=+， 易得 x2+1 当cR的斜率为0时，不符合题意： 当cR的斜率不为0时，设6R:x=my+t, 君r32罗g=e-r6ag40--0 w-1e0.a-6oi-46e-小水af-小0，日，nf, -6mt 3(2-1 以乃+%=3m2-,出=3m-1, 所 奇装用出四 由 +s.sa6n-. -(t+1)2 yiy2 yy2 3(2-1)3(2-1 3m2-1 -@ t3(2-1 ,符合，