海南省某校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

试卷第 1页，共 4页 高二第二学期数学期末测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二项式 �� − � ��的展开式中第 5项的系数为（ ） A．C��� B．C��� C．C��� �� ⋅ −� � D．C��� �� −� � 2．已知随机变量�服从正态分布 N �, �� ，且� � < � = �. �，则� � < � < � 等于（ ） A．�. � B．�. � C．�. � D．�. � 3．从一批棉花中随机抽测了 8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为 88，89，76，101，121，89，90，90，则 该组数据的第 60百分位数为（ ） A．89 B．90 C．89.5 D．101 4．点�, �的坐标分别是 −�, � , �, � ，直线��,��相交于点�，且它们的斜率之积是− � � ，则点�的轨迹方程是（ ） A．� � � + � � � = � � ≠± � B．� � � + � � � = � � ≠± � C．� � � − � � � = � � ≠± � D．� � � − � � � = � � ≠± � 5．已知 P是抛物线�� = ��上的一个动点，那么点 P到直线� = � + �的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（ ） A． � B．� � C．� � D．� � 6．一个盒子中装有 4个白色乒乓球和 5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取 3个乒乓球，记取出的 3个乒乓球中颜色为 橘黄色的个数为�，则� � =（ ） A．1 B．� � C．� � D．2 7．某大学学生会安排 5名学生作为“校庆 70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分 为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有 1名志愿者， 则不同的安排方法有（ ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 8．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有�，�，�，�，�，�，�，�共八个点，一枚棋子 起始位置在点�处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为� � = �, �,⋯, � . 则棋子前 进�步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后， 游戏结束.若此时棋子在点�处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ） A． � �� B． � �� C．� � D．� � 试卷第 2页，共 4页 二、多选题 9．某同学根据�, �的 5组数据 ��, �� � = �, �,⋯, � ，绘制了散点图（图 1），并进行回归分析，若在这 5组数据的基础 上又增加了 2组数据（图 2），重新进行回归分析，则下列叙述正确的是（ ） A．决定系数��变大 B．样本相关系数�的绝对值更趋近于 0 C．残差的平方和变大 D．解释变量�与响应变量�的相关性变强 10．点�在圆��：�� + �� = �上，点�在圆��：�� + �� − �� + �� + �� = �上，则（ ） A． �� 的最小值为 2 B． �� 的最大值为 7 C．两个圆心所在的直线斜率为− � � D．两个圆相交弦所在直线的方程为�� − �� − �� = � 11．已知 A，B，C是抛物线�:�� = ���上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线 l为抛物线W的准线，AB的中 点为� �, � ，则（ ） A．当� = �时， �� 的最大值为 32 B．当� = �时， �� + �� 的最小值为 22 C．当� = �时，直线 AB的斜率为�� � D．当�� //�� 时，点 P到直线 l的距离的最小值为 14 三、填空题 12．已知随机变量 X服从两点分布，且�(� = �) = �. �，设� = �� − �，那么�(�) = . 13．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽 取了男生 20人，其平均数和方差分别为 170和 12，抽取了女生 30人，其平均数和方差分别为 160和 17，则估计出总 样本的方差为 . 14．1911年 5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描 述 了用α粒子轰击 0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟 福 希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔 上 反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的 离 心率为 ；如果α粒子的路径经过� �, � ，A和 B三点，记直线 PA，PB的斜 率 分别为���，���，且满足��� + ��� = �，则直线 AB的斜率��� = 试卷第 3页，共 4页 四、解答题 15．某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查 100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车�款 新能源汽车�款 总 计 男 性 50 10 � 女 性 25 15 40 总 计 � 25 100 (1)求�, �； (2)根据小概率值� = �. ��的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取 3人，设被抽 取的 3人中购买了 B款车的人数为�，求�的数学期望. 附：�� = � ��−�� � �+� �+� �+� �+� ，� = � + � + � + �. � �� ≥ � 0.10 0.05 0.010 0.005 � 2.706 3.841 6.635 7.879 16．市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价�（单位：元）与月销量�（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价�/元 18 19 20 21 22 月销量�/个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验，�与�具有线性相关关系，求�关于�的线性回归方程； (2)若这款拖把的进货价为 14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确 到 0.1元）附：回归直线方程� = �� + �中，� = �=� � ��−� ��−� �=� � ��−� � , � = � − ��. 17．已知椭圆�的两个焦点分别为��( − �, �), ��( �, �)，离心率为 � � ． (1)求椭圆�的标准方程； (2)M为椭圆�的左顶点，直线�与椭圆�交于�, �两点，若�� ⊥ ��，求证：直线��过定点． 试卷第 4页，共 4页 18．在高中数学教材苏教版选择性必修 2的 101页 11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个 细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多 少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为 p，则从一个细胞开始，它有� � 的概 率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是 p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是��，于是我 们得到：� = � � + � � ��，计算可得� = �；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为 p，那么从一 个细胞开始，它有 � � 的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是 p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是(� − �)�，于是我们得到：� = � � � − (� − �)� ，计算可得� = �．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐 标系的�(�, �) � ∈ N* ，他每步走动都会有� ∗的概率向左移动 1个单位，有� − � ∗的概率向右移动一个单位，原点(�, �) 处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以��代表当这个人由�(�, �)开始，最终掉入陷阱的概率． (1)若这个人开始时位于点�(�, �)处，且� ∗= � � ， （i）求他在 5步内（包括 5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率�� � < �� < � ； （iii）已知�� = � � ��−� + � � ��+� � ∈ N* ，若�� = �，求��． (2)已知��是关于� ∗的连续函数，求��关于� ∗的表达式，并作出函数图象． 19．已知椭圆�: � � �� + � � �� = �(� > � > �)的左右焦点分别为��，��上下顶点分别为��，��，△������是面积为 1的直 角三角形，过焦点的直线交椭圆�于�、�两点（�、�分别在第一、四象限）. (1)求椭圆�的离心率； (2)已知点� �,� ，� > �，求椭圆�上的动点�到点�的最大距离； (3)求四边形������面积的取值范围. 高二期末测试题（2）答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，二项式的展开式的通项为：， 当时，二项式的展开式中第5项的系数为：， 2．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，. 3．从一批棉花中随机抽测了8根棉花的纤维长度（单位：mm），其数据为88，89，76，101，121，89，90，90，则该组数据的第60百分位数为（   ） A．89 B．90 C．89.5 D．101 【答案】B 【详解】将该组数据从小到大排列： 76，88，89，89，90，90，101，121， 由，故该组数据的第60百分位数为. 4．点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设，因为，所以， 由已知，，化简得， 5．已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为，因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：，所以只需要求最小即可.当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 6．一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3，其中，，， ，故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 7．某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【详解】5名学生分成三组的情况有或，当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种，所以，一共有种方法. 8．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】举出在点数中能够使得三次数字和为或的有： ，，共有7种组合， 前2种组合每种情况可以排列出种结果，共有种结果； 后5种组合各有3种结果，共有种结果，由分类加法计数原理知，共有种结果； 拋次骰子共有种结果，故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率. 二、多选题 9．某同学根据的5组数据，绘制了散点图（图1），并进行回归分析，若在这5组数据的基础上又增加了2组数据（图2），重新进行回归分析，则下列叙述正确的是（   ） A．决定系数变大 B．样本相关系数的绝对值更趋近于0 C．残差的平方和变大 D．解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】BC 【详解】由图可知：增加2组数据后，回归效果变差，所以决定系数变小，线性相关系数的绝对值变小，残差的平方和变大，解释变量与响应变量的相关性变弱. 10．点在圆：上，点在圆：上，则（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 11．已知A，B，C是抛物线上不同的动点，F为抛物线W的焦点，直线l为抛物线W的准线，AB的中点为，则（   ） A．当时，的最大值为32 B．当时，的最小值为22 C．当时，直线AB的斜率为 D．当时，点P到直线l的距离的最小值为14 【答案】ACD 【详解】 对于A，如图设直线的方程为，代入可得：， 由可得，设，则， 因的中点为，则，故， ，即，则， 于是 ， 故当时，取得最大值为32，故A正确； 对于B，如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为， 设交抛物线于点，因，故， 由图知当且仅当三点共线时取得最小值为长， 因的中点为，则为梯形的中位线，且， 故此时，即的最小值为15，故B错误； 对于C，由A项得到，因，故得， 解得，故直线的斜率为，故C正确； 对于D，由可得直线经过点，可设直线的方程为， 代入可得：，设，则， 仿照B项作图，则点P到直线l的距离为： ， 故当时，点P到直线l的距离的最小值为14，即D正确. 三、填空题 12．已知随机变量X服从两点分布，且，设，那么 . 【答案】0 【详解】因为随机变量X服从两点分布，，所以， 所以，因为，所以 13．在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为 . 【答案】 【详解】总平均数， 则总样本方差. 14．1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图，显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果α粒子的路径经过，A和B三点，记直线PA，PB的斜率分别为，且满足，则直线AB的斜率 【答案】 -2 【详解】设双曲线方程为，根据题意一条渐近线方程为，所以，即， ，即该双曲线的离心率为，又经过，所以， 所以双曲线方程为，设直线的方程为， ， ，解得或， ， ，， 若，则，即， 此时直线过点，不符合题意，所以. 故答案为：，-2. 四、解答题 15．某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： 新能源汽车款 新能源汽车款 总计 男性 50 10 女性 25 15 40 总计 25 100 (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望. 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，；(2)与性别有关(3) 【详解】（1）由题意得，. （2） 零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联.根据列联表中的数据， 可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05； （3）随机抽取1人购买B款车的概率为，X的可能取值有，由题意得， 由二项分布的期望公式得. 16．市场调查员小王统计了某款拖把的销售单价（单位：元）与月销量（单位：个）之间的一组数据如下表所示： 单价元 18 19 20 21 22 月销量个 570 520 420 320 270 (1)根据以往经验，与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程； (2)若这款拖把的进货价为14元/个，根据（1）中回归方程，求该拖把月利润最大时拖把的单价为多少元.（结果精确到0.1元） 附：回归直线方程中，. 【答案】(1) (2)19.6元 【详解】（1）由表中数据求得：，， ， 故关于的回归直线方程为. （2）设每月的总利润， 抛物线的对称轴方程为， 该拖把月利润最大时，拖把的单价为19.6元. 17．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)M为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1); (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意得：，，，故可知，椭圆方程为：. （2）   M为椭圆C的左顶点， 又由（1）可知：，设直线AB的方程为：，， 联立方程可得：， 则，即，由韦达定理可知：，， ，则， ， 又， ， ， 展开后整理得：，解得：或， 当时，AB的方程为：，经过点，不满足题意，舍去， 当时，AB的方程为：，恒过定点.所以直线过定点． 18．在高中数学教材苏教版选择性必修2的101页11题阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个细胞分裂成两个）和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为p，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为p，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，每个细胞繁衍下去的概率都是p，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到：，计算可得．根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的，他每步走动都会有的概率向左移动1个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．    (1)若这个人开始时位于点处，且， （i）求他在5步内（包括5步）掉入陷阱的概率； （ii）求他最终掉入陷阱的概率； （iii）已知，若，求． (2)已知是关于的连续函数，求关于的表达式，并作出函数图象． 【答案】(1)（i）   （ii）  （iii） (2)答案见解析 【详解】（1）（i）这个人必须走奇数步才能进入陷阱， 若1步进入陷阱，则概率为；若3步进入陷阱，则概率； 若5步进入陷阱，则概率为，故5步内进入陷阱的概率为. （ii）由题设从最终进入陷阱，可分成两类， 1.向左一步，进入陷阱； 2.向右一步，然后多步后进入，再进入陷阱； 故，故或（舍）. （iii）因为，故， 所以，而， 故为等比数列，故， 故，故， 当时，符合，故. （2）由（1）中（ii）的解析可得， 若，则或（舍）； 若，则（舍）或， 故， 19．已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. (1)求椭圆的离心率； (2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； (3)求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)答案详见解析 (3) 【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，，所以椭圆的离心率. （2）有第一问知，故椭圆方程为，设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，；当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3）设直线的方程为，联立，消去整理得， 则，.因为点分别在第一、四象限，所以， 即，故，解得， 得到四边形的面积为，， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$