3.2.2 奇偶性（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性，系统讲解定义、图像特征及判断方法。课堂导入通过展示轴对称与中心对称图片，从美学角度联系函数图像对称，搭建从直观到代数规律的学习支架，衔接函数图像知识，引出奇偶性探究。 其亮点在于以互动探究为核心，通过小组观察图像、填表抽象特征，结合数学眼光（几何直观）和数学思维（逻辑推理）。典例覆盖定义判断、分段函数、含参数等类型，小结用表格和口诀强化记忆。帮助学生提升数形结合能力，教师可直接使用系统教学流程和典型例题，提高教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.2.2 奇偶性 3.2函数的基本性质 学 习 目 标 1 2 3 理解奇函数、偶函数的定义；掌握奇偶函数的图像特征 能运用定义判断函数的奇偶性；能利用奇偶性求函数解析式 培养数形结合思想，提升逻辑推理能力 新课引入 同学们，请看大屏幕，我给大家展示两组图片 从美学角度看，第一组图片有统一的名字叫‘轴对称’，第二组叫‘中心对称’。这种对称美，在数学的函数图象中同样存在！ 新课引入 今天，我们要帮数学把这种‘看得见的对称’变成‘算得出的规律’。想象一下，如果我们在数轴上放一面镜子，原点就是镜子。镜外的“我”和镜内的“我”，在函数这条曲线上，会有怎样的对应关系呢？这，就是今天我们要探究的【函数的奇偶性】。” 目标一：偶函数的概念 互动探究 小组观察，抽象特征 奇偶性 画出并观察函数 f(x)= 和 g(x)=2-|x| 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 这两个函数的图象都关于 y 轴对称。 互动探究 观察图表 奇偶性 不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表。 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 对于函数g(x)=2-|x|， 有g(-3)=-1=g(3)；g(-2)=0=g(2)；g(-1)=1=g(1)。 实际上，∀x∈R，都有g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x)， 这时称函数g(x)=2-|x|为偶函数。 知识讲解 奇偶性 偶函数定义 偶函数一般定义：设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 偶函数定义解读 ①定义域必须关于原点对称 对定义域内任意一个x，它的相反数-x也必须在定义域里。 例如：D=R、D=[-2,2]、D=(-∞,0)∪(0,+∞) 都关于原点对称。 ②代数条件：f(-x)=f(x) 目标二：奇函数的概念 互动探究 小组观察，抽象特征 奇偶性 观察函数f(x)=x和反比例函数g(x)=的图象，能发现两个函数图象都关于原点成中心对称图形。 这两个函数的图象都关于 原点对称。 互动探究 观察图表 奇偶性 为了用符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，看相应函数值的情况，请完成下表。 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数。 例如，对于函数f(x)=x，有 f(-3)=-3=-f(3)； f(-2)=-2=-f(2)； f(-1)=-1=-f(1)。 实际上，∀x∈R，都有f(-x)=-x=-f(x)，这时称函数f(x)=x为奇函数。 … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 无意义 1 … 知识讲解 奇偶性 奇函数定义 奇函数一般定义：设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 奇函数定义解读 ①定义域必须关于原点对称 对定义域内任意一个x，它的相反数-x也必须在定义域里。 例如：D=R、D=[-2,2]、D=(-∞,0)∪(0,+∞) 都关于原点对称。 ②代数条件：f(-x)=-f(x) 知识讲解 奇偶性 常见函数的奇偶性汇总 函数类型 表达式 奇偶性结论 一次函数 当时是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数 反比例函数 奇函数 二次函数 当时是偶函数；当时既不是奇函数也不是偶函数 四类函数划分（任意函数必居其一） 偶函数：定义域对称，且f(-x)=f(x)； 奇函数：定义域对称，且f(-x)=-f(x)； 既奇又偶：定义域对称，同时满足f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)， 联立得f(x)=0（常数0函数，定义域关于原点对称）； 非奇非偶： ① 定义域不关于原点对称； ② 定义域对称，但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)。 目标三：图象的特征和重要性质 知识讲解 奇偶性 图像特征和性质 类型 对称性 图像特征 偶函数 关于 y轴 对称 左右镜像重合 奇函数 关于 原点 对称 旋转180°与自身重合 重要性质 性质 说明 奇函数在原点有定义时 偶函数 奇±奇=奇，偶±偶=偶 同类型相加减不变 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 乘除法则类似正负数 复合函数 内偶则偶，内奇同外     目标四：典型示例 典例分析 类型一、定义法判断奇偶性 定义域 例1 表达式 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=； (2)f(x)=； 解： (1)函数f(x)=的定义域为R。 因为∀x∈R，都有-x∈R， (2)函数f(x)=的定义域为R。因为∀x∈R，都有-x∈R， f(-x)，所以，函数f(x)=为偶函数。 f(-x)==-f(x)， 所以，函数f(x)=为奇函数。 第1步：看定义域 → 是否关于原点对称？ 第2步：算 f(-x) 与 f(x) 的关系 典例分析 类型一、定义法判断奇偶性 A 例2 B 下列函数中既是奇函数又是增函数的是( ) A.y=3x　B.y=　C.y=2　D.y=-x 解析： A选项，y=3x为奇函数，且单调递增，故A正确； B选项，y=是奇函数，在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减，故B错误； D选项，y=-x是奇函数，且单调递减，故D错误，故选A。 C选项，y=2是偶函数，故C错误； 不是证明题，可以画个图象，既能判断奇偶又能判断增减。 C D 典例分析 类型一、定义法判断奇偶性 定义域 例3 表达 判断 f(x)= 的奇偶性 解：定义域为 R，关于原点对称 ✓ 取 x=1：f(1)=2，f(-1)=0 - f(-1)≠f(1) 且 f(-1)≠-f(1) - 结论：非奇非偶函数 说明：分段函数用定义判断或证明奇偶性要领： 首要前提：定义域必须关于原点对称 2. 核心操作：对 x 分类讨论（取相反数） 分段函数的难点在于：当把 x 换成 -x 时，-x 会落在不同的分段区间里，导致解析式发生变化。 说明 1、画个图象，根据对称情况也能解题。 2.这里是反例，判为非奇非偶，一般还是分类讨论，判断f(-x)与f(x)的关系。 说明：分段函数用定义判断或证明奇偶性要领： 1. 首要前提：定义域必须关于原点对称 这是所有函数判断奇偶性的“入场券”。 分段函数各段区间的并集必须关于原点对称（例如 [-3,-1]∪[1,3] 对称，[-2,0)∪(0,2] 对称）。 若不对称，直接判定为非奇非偶函数，无需进行下一步。 2. 核心操作：对 x 分类讨论（取相反数） 分段函数的难点在于：当把 x 换成 -x 时，-x 会落在不同的分段区间里，导致解析式发生变化。 说明：判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：一般地，当函数给出解析式时常用定义法判断 对于分段函数和抽象函数，在使用定义时，有特殊要求。 （2）图象法：在函数图象已知或易画出的情况下使用 （3）验证法：求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，利用奇偶性所满足式子的等价形式判断，即判断 f(-x)±f(x) 是否为 0 或 是否为 ±1。 （4）性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断。 典例分析 类型二、含参数的奇偶性 定义域 例4 表达式 已知函数 f(x)=a+cx+d 是定义在 R 上的奇函数，求 a,b,c,d 应满足的条件。 不考虑用特殊方法的时候，奇偶性定义的两个要点一路走下去，只是后面要求参。 解：第一步：利用定义域条件 定义域为 R，关于原点对称 求参 第三步：比较系数 对应项系数相等结论： b=0 且 d=0，a,c 为任意实数。 典例分析 类型二、含参数的奇偶性 定义域 例5 表达式 已知函数 f(x是定义在 R 上的偶函数，求 a,b 的值。 不考虑用特殊方法的时候，奇偶性定义的两个要点一路走下去，只是后面要求参。 解：第一步：检查定义域 分母 +1≥1>0，定义域为 R，关于原点对称 ✓ 求参 第三步：化简求解。上式对任意 x∈R 恒成立，故：a=0, b 为任意实数 典例分析 类型三、利用奇偶性求解析式 例6 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x≥0 时，f(x)=-2x，求 x<0 时的解析式 (1)未知区间：求哪个区间上的解析式，就设 x 属于那个区间（2）转嫁已知区间 （3）利用奇偶性回代： 解： 典例分析 类型三、利用奇偶性求解析式 例7 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)=2-x+1。求 f(x) 在 R 上的解析式。 (1)未知区间：求哪个区间上的解析式，就设 x 属于那个区间（2）转嫁已知区间 （3）利用奇偶性回代： 解答： 1. 先求负半轴：令 x<0，则 -x>0。 代入已知解析式 f(0)=0（这是必考点，极易遗漏） 目标五：针对训练 举一反三 1.判断下列函数的奇偶性 解：偶函数 既是奇函数又是偶函数 — f(-x)=0=f(x)=-f(x)，唯一满足此条件的函数 举一反三 2. 若 f(x是偶函数，求 m 的值。 解： ⇒-mx=mx⇒m=0 3. 已知 f(x) 是奇函数，当 x>0 时，f(x)=x(1+x)，求 x<0 时的解析式。 解：设 x<0，则 -x>0 举一反三 4. 设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上单调递增，若 f(a)<f(2)，求实数 a 的取值范围。 解：由偶函数性质：f(a)=f(|a|),又 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增 f(|a|)<f(2)⇒|a|<2,∴-2<a<2 5. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，f(1)=2，且对任意 x,y∈R，有 f(x+y)=f(x)+f(y)，求 f(-2)。 解：令 x=y=0：f(0)=2f(0)⇒f(0)=0 令 y=-x：f(0)=f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)（验证奇函数）f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=4 f(-2)=-f(2)=-4 目标六：小结 学海拾贝 核心要点 要点 内容 定义域优先 判断奇偶性第一步必须是检查定义域是否关于原点对称 定义是根本 判断奇偶性只能用 与 的关系，不能凭感觉 数形结合 偶函数→y轴对称；奇函数→原点对称 特殊值法 可用特殊值快速排除非奇非偶的情况 学海拾贝 易错警示 忘记检查定义域 — 如 f(x)=,x∈[-1,2]，定义域不对称，非奇非偶 混淆 f(-x) 与 -f(x) — 前者是代入 -x，后者是取负号 f(0)=0 的逆用 — f(0)=0 不能推出奇函数，但奇函数在原点有定义时必有 f(0)=0 既是奇又是偶的函数 — 只有 f(x)=0（定义域关于原点对称） 分段函数判断 — 必须对每一段分别验证，或利用对称性整体判断 记忆口诀 定义域对称是前提， f(-x) 与 f(x) 比一比； 相等是偶，相反是奇， 都不满足非奇非偶记心里。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $