3.3 幂函数【重点•题型】精讲-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦幂函数核心知识点，系统梳理定义、特征、图像与性质及常用结论，从基础概念到图像性质分析，再通过求解析式、图像应用等题型构建完整学习支架，帮助学生逐步掌握知识脉络。 资料亮点在于结构化呈现（如表格对比不同幂函数定义域、值域等性质）和分层题型设计，培养学生用数学眼光观察图像特征、用数学思维进行推理运算，例如通过图像判断幂函数类型的实例。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题3.3 幂函数 【知识点一、幂函数的定义】 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 【知识点二、幂函数的特征】 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 【知识点三、幂函数的图像与性质】 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【知识点四、幂函数的常用结论】 幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 重难点题型1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 1．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性求参数、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 2．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的定义域、求幂函数的解析式、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，再结合幂函数图象性质逐项判断即得. 【详解】设幂函数，由的图象经过点，得，解得， 对于A，的定义域为，A正确； 对于B，，所以的值域为，B正确； 对于C，，且定义域为，所以是偶函数，C正确； 对于D，由幂函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，D错误. 故选：D 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 4．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.9 【知识点】求幂函数的解析式 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得. 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1)，奇函数，证明如下： 因为为幂函数，且过点，所以，解得 所以，所以该函数为奇函数. 理由：定义域为，因为都有， 且，所以该函数为奇函数. (2) 函数在上单调递减. ，且，则 ，，又因为，，即. ，即 在上单调递减. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得； （2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得. 6．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数、求幂函数的解析式、函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用幂函数的概念，结合奇偶性即可求解； （2）把不等式转化为一元二次不等式来求解即可； （3）利用的任意性，求出的最大值为4，利用的存在性，求出，从而可求解参数范围. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 当时，为偶函数，符合题意： 当时，为奇函数，舍去. 综上：. （2） 或， 所以的取值范围为. （3）因为对，都存在，使得都成立， ，其中， 函数在上单调递增，所以在时取到最大值为4. 即， 因为存在，使得成立， 又因为是关于的在单调递增函数， 或， 故实数的取值范围为. 重难点题型2 幂函数的图像与性质的应用 1．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用、一次函数的图像和性质 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 2．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 3．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用 【分析】根据①对应的函数图象特点分析. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选题）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.94 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选题）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用幂函数的图象、性质逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，幂函数的定义域为，其图象是直线除去点，故A错误； 对于B，幂函数的图象有三个公共点，这两个函数不相同，B错误； 对于C，幂函数图象一定过点，当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称， 则该幂函数图象必过点，C正确； 对于D，幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点，D正确. 故选：CD 6．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数的图象经过点，则解析式为 C．幂函数一定是奇函数或偶函数 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断、幂函数图象的判断及应用、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】利用幂函数的概念、图象、性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，比如，图象不过点（0，0），故A错误； 对于B，设幂函数为，幂函数的图象经过点，则，解得， 所以，故B正确； 对于C，比如，其定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故C错误； 对于D，任何幂函数的图象都不经过第四象限，故D正确． 故选：BD 7．（25-26高一上·河北·期中）（多选题）已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A．若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B．若的图象只在第一象限，则的值可以是 C．存在，使得的图象经过第四象限 D．当时，是奇函数且是增函数 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若是负偶数，根据幂函数的性质，可得幂函数是偶函数且不经过原点，所以A正确； 对于B，当时，的定义域为，值域为，所以B正确； 对于C，根据幂函数的图象与性质，幂函数的图象不经过第四象限，所以C不正确； 对于D，当时，函数是奇函数且是增函数，所以D正确． 故选：ABD. 重难点题型3 利用幂函数的性质，比较大小 1．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·河北保定·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件、由幂函数的单调性比较大小 【分析】证明等价于，证明等价于或或，根据特例证明充分性不成立和必要性不成立即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以等价于， 因为幂函数在和上单调递减且时，，时， 所以等价于或或， 当，时， 但不能推出或或， 所以充分性不成立， 当，时，但不能推出， 所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 3．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】先对每个数变形，再利用幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，， 所以，又因为， 且幂函数在上单调递增.所以. 故选：B 5．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 6．（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】通过计算，再结合的单调性即可求解. 【详解】因为， ， ， ， 所以， 由幂函数在单调递增， 所以， 故选：A 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据题意结合幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，则， 所以. 故答案为：. 8．（25-26高一·全国·寒假作业）若，则的大小关系为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数性质即可分析求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增，， 所以即，又， 所以. 故答案为： 9．设，则与的大小为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】由幂函数的单调性判断， 【详解】幂函数在上单调递增，而，则， 故答案为： 重难点题型4 利用幂函数的性质，求参数的范围 1．（25-26高一上·河南新乡·期末）“”是“是幂函数且在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由幂函数的单调性求参数 【分析】利用充分条件和必要条件的定义及幂函数的定义和性质求解. 【详解】充分性分析：，， 是幂函数且在上单调递减，故充分性成立； 必要性分析：是幂函数，， ，，或， 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上可知，是幂函数且在上单调递减， 则或，故必要性不成立； 故“”是“是幂函数且在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义可求出参数值，结合幂函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，所以，即，解得，或； 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意； 所以. 故选：C. 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数在上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及在第一象限的单调性求解出的值，代入解析式可求结果. 【详解】函数为幂函数，， ，又在上单调递减，， ，， 故选：D． 5．（25-26高一上·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义得到系数，因为幂函数在上是减函数，则，解出即可． 【详解】∵是幂函数， ， 即或， 若在上是减函数； 若在上是增函数； 故答案为： 6．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 【答案】2或 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的定义得，求出或，进而检验即可. 【详解】由题意，或. 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，满足题意. 所以或. 故答案为：2或. 7．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义求得的值，结合函数的单调性可确定的值. 【详解】由题意得，所以， 所以，解得或， 当时，在上是严格增函数，不符合题意； 当时，在上是严格减函数，符合题意. 故答案为：. 8．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）若幂函数在上是增函数，则实数________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 9．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 重难点题型5 综合应用 1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 不符合题意舍去，所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 2．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 【答案】 且， 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、判断一般幂函数的单调性、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 3．（25-26高一上·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式、由幂函数的单调性求参数 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性来确定的值，进而得到的解析式； （2）先根据命题的真假性得到其否定命题为真命题，再通过换元法将问题转化为求函数的最值问题； （3）根据幂函数的解析式列出不等式，然后求解不等式. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上单调递减，符合题意； 当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去； 所以，的解析式为； （2）因为命题“”为假命题，所以其否定“”为真命题； 由（1）知，则，所以在上恒成立，即在上恒成立； 设，在上单调递增； 则，因为在上恒成立，所以，即实数的取值范围是； （3）由，不等式 即为 ， 由“数轴标根法”求得不等式的解集为：. 4．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 由（1）知，故， 任取， 则. 因为，则有，，且，. 所以，即. 故在上单调递增； (3) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题意设幂函数为，将代入即可求得幂函数的解析式； （2）设，比较与的大小，结合函数单调性即可证明在上的单调性； （3）由（2）知在上单调递增，可解得在上的值域，设，根据题意有，分析二次函数的单调区间即可求其最小值，即的取值范围. 【详解】（1）设幂函数为 ，其图象过点， ，解得， 故幂函数的解析式为； （2）略 （3）由（2）知在上单调递增， 所以，即 令，则不等式有解等价于在上有解， 即，. 令，， 易得在区间上单调递减，在上单调递增， 则有，即. 综上，实数的取值范围是. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义及函数的奇偶性求解即可. （2）根据二次函数的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，此时为奇函数，满足条件； 当时，，此时为偶函数，不满足条件； 所以. （2）由（1）知，，所以，对称轴为. 因为，所以. 结合二次函数的对称性可知， 当时， . 当时，. 综上，当时，函数在上的最大值为8，当时，最大值为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】求幂函数的解析式、求幂函数的值 【详解】由题意得，，则，则. 2．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义及图象特征求出，进而求出函数值. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，因此， 所以. 故选：B 4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值. 【详解】令，解得或1， 若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求， 若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求， 故. 故选：A 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用的正负对幂函数的增减性的影响可分别判定四个选项的正误. 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 6．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义及单调性即可求解． 【详解】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义和性质求，结合函数单调性确定解析式，再利用函数单调性、奇偶性得出的符号情况． 【详解】函数是幂函数， ，解得或，或， 对任意的且，满足， 在上单调递增，则， 为上单调递增的奇函数， ， ， ，故，故B正确． 故选：B． 8．记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【详解】对于A，设，将点代入，则，，则，故A正确； 对于B，因为，所以不是幂函数，故B错误； 对于C，因为幂函数在上单调递减， 所以解得，故C错误； 对于D，幂函数的图象不经过也不经过，故D错误. 10．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数可得，即可对A判断；由幂函数的性质，即可对B判断；由为偶函数且在上单调递减，即可对C判断；要证，即证，化简得，从而可对D判断. 【详解】A：函数是幂函数，则，解得或，经检验符合题意，故A正确； B：幂函数始终经过点和，故B正确； C：函数，， 则为偶函数且在上单调递减，所以在区间上单调递增，故C错误； D：则对于任意的，要证，即证， 即，即，则成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（25-26高一·全国·寒假作业）判断大小：__________．（填“＞”或“＜”） 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数的单调性判定大小即可. 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故答案为： 12．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答. 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 14．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或3 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据二次函数的最值或值域求参数、利用函数单调性求最值或值域、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. （2）由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 15．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 【答案】(1)，. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）利用幂函数的定义和性质求解. （2）利用二次函数的图像和性质求解，分别按照对称轴在区间的左中右讨论求解. 【详解】（1）因为是幂函数，所以. 解得或. 当时，，在上单调递减，不合题意，舍去. 当时，，在上单调递增，符合题意. 所以，. （2）已知， 其图象是开口向上的抛物线，对称轴为. ， ①当，即时，在上单调递增， 则，解得，不满足，舍去； ②当，即时，在处取得最小值， 即， 整理得，解得，因，故； ③当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，舍去. 综上可得，. 16．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数． (1)证明：是偶函数． (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求幂函数的解析式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由待定系数法求得，再结合偶函数定义证明即可； （2）由单调性的定义求证即可. 【详解】（1）因为为幂函数，设， 代入可得，解得，所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ，所以是偶函数. （2）证明：任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 幂函数 【知识点一、幂函数的定义】 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 【知识点二、幂函数的特征】 幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. 【知识点三、幂函数的图像与性质】 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 【知识点四、幂函数的常用结论】 幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 重难点题型1 求幂函数的解析式 幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 1．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 2．（25-26高一上·天津·期中）若幂函数的图象经过点，则下列说法错误的是（   ） A．的定义域为 B．)的值域为 C．是偶函数 D．在上单调递减，在上单调递增 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 4．（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 6．（25-26高一上·湖北十堰·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围. 重难点题型2 幂函数的图像与性质的应用 1．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选题）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 5．（2025·新疆喀什·模拟预测）（多选题）下列关于幂函数的论述正确的是（    ） A．若，则幂函数的图象是一条直线 B．若两个幂函数的图象至少有三个公共点，则这两个函数一定相同 C．若幂函数为奇函数，则图象一定经过点 D．幂函数的图象一定经过点，且一定不经过点 6．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．所有幂函数的图象均过点 B．若幂函数的图象经过点，则解析式为 C．幂函数一定是奇函数或偶函数 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限 7．（25-26高一上·河北·期中）（多选题）已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A．若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B．若的图象只在第一象限，则的值可以是 C．存在，使得的图象经过第四象限 D．当时，是奇函数且是增函数 重难点题型3 利用幂函数的性质，比较大小 1．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北保定·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西大同·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西汉中·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是__________. 8．（25-26高一·全国·寒假作业）若，则的大小关系为______． 9．设，则与的大小为______. 重难点题型4 利用幂函数的性质，求参数的范围 1．（25-26高一上·河南新乡·期末）“”是“是幂函数且在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）若幂函数在上单调递减，则实数（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知幂函数在上单调递减，则（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北邯郸·期末）若幂函数在上是减函数，则的值为多少？__________. 6．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 7．（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，若函数是幂函数，且在上是严格减函数，则________． 8．（25-26高三上·山东淄博·阶段检测）若幂函数在上是增函数，则实数________． 9．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减．的值为_________． 重难点题型5 综合应用 1．（25-26高三上·江苏苏州·阶段检测）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 3．（25-26高一上·河北·期末）已知幂函数在上单调递减． (1)求的解析式； (2)若命题：，为假命题，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集． 4．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 5．（25-26高一上·天津西青·期末）已知幂函数的图象过点，且函数. (1)求幂函数的解析式； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)若，使得不等式有解，求实数取值范围. 6．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值： (2)求函数在上的最大值. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 2．若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 7．（25-26高一上·安徽·期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 8．记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 二、多选题 9．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递减，则 D．幂函数的图象都经过点和 10．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）下列说法正确的是（   ） A．若函数是幂函数，则实数的值是或2 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若函数，则对于任意的，有 三、填空题 11．（25-26高一·全国·寒假作业）判断大小：__________．（填“＞”或“＜”） 12．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 四、解答题 14．（25-26高一上·福建漳州·期末）已知幂函数的图象关于轴对称. (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 15．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知幂函数在上单调递增. (1)求的值及函数的解析式； (2)设函数在区间上的最小值为5，求实数的值. 16．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数． (1)证明：是偶函数． (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $