12.4.3 角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线”核心内容，涵盖性质定理、判定定理及三角形内心等知识点。通过公园建凉亭、交叉公路设中转站等现实情境导入，衔接线段垂直平分线，构建几何轨迹模型的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，动手折叠探究与全等证明发展数学思维，练习题与综合应用强化数学语言。如通过折叠发现性质，用AAS证明定理，解决面积计算问题。助力学生提升推理与应用能力，为教师提供系统教学资源。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.4.3 角平分线 第十二章 全等三角形 华东师大版八上12.4.3 角平分线同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 角平分线的性质定理是（） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 到角两边距离相等的点在角平分线上 C. 角平分线平分对边 D. 角平分线垂直于对边 2. 已知OP平分∠AOB，点P在OP上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=4，则PN的长为（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定 3. 能够判定一条射线为角平分线的依据是（） A. 射线把角分成两个角 B. 射线上任意一点到角顶点距离相等 C. 到角两边距离相等的点在这条角的平分线上 D. 射线过角内部任意一点 4. 三角形三条角平分线的交点的性质是（） A. 到三个顶点距离相等 B. 到三边距离相等 C. 平分三角形三边 D. 垂直三角形三边 5. 下列说法正确的是（） A. 角平分线是线段 B. 角平分线的性质与判定互为互逆定理 C. 到角两边距离相等的点一定在三角形内部 D. 角平分线没有对称性 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的________。 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到________的距离相等。 3. 角平分线判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在________上。 4. 三角形三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的________。 5. 角平分线上一点到角一边的距离为6，则到另一边的距离为________。 6. 角平分线是角的________（填“对称轴”或“对称中心”）。 三、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 判断正误，对的打“√”，错的打“×”。 （1）角平分线上的点到角两边距离一定相等 （2）到角两边距离相等的点一定在角平分线上 （3）三角形内心到三个顶点距离相等 （4）角平分线是线段 2. 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB。 求证：PD=PE。 3. 已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE。 求证：OP平分∠AOB。 4. 简要区分：角平分线、线段垂直平分线的核心作用。 四、综合证明应用题（共 20 分） 1. 已知：在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点P，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC。 求证：PD=PE=PF。（10 分） 2. 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，AB=6，AC=4，DE=2。 求△ABD与△ACD的面积。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 二、填空题 1. 角平分线 2. 角两边 3. 这个角的平分线 4. 内心 5. 6 6. 对称轴 三、解答题 1.（1）√ （2）√ （3）× （4）× 2. 证明： ∵ OC平分∠AOB（已知） 点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB（已知） 根据角平分线的性质定理 ∴ PD=PE。 3. 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），PD=PE（已知） 且点P在∠AOB内部 根据角平分线的判定定理 ∴ OP平分∠AOB。 4. 解： 角平分线：解决点到直线的距离相等，内心到三边距离相等； 线段垂直平分线：解决点到点的距离相等，外心到三顶点距离相等。 四、综合应用题 1. 证明： ∵ BP平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC ∴ PE=PD（角平分线性质） ∵ CP平分∠ACB，PF⊥AC，PD⊥BC ∴ PF=PD（角平分线性质） ∴ PD=PE=PF。 2. 解： ∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DF=DE=2（角平分线性质） S△ABD=$$\dfrac{1}{2}\times AB\times DE=\dfrac{1}{2}\times6\times2=6$$ S△ACD=$$\dfrac{1}{2}\times AC\times DF=\dfrac{1}{2}\times4\times2=4$$ 答：△ABD面积为6，△ACD面积为4。 知识点拓展讲解（约400字） 本节角平分线是几何推理核心考点，与上一节线段垂直平分线并列两大几何轨迹模型，且同样是互逆定理，考试必考辨析与综合应用。核心分为性质、判定两大板块。 核心定理口诀：点在平分线，距离就相等（性质）；距离若相等，点在平分线（判定）。必须牢记：角平分线对应的是点到直线（边）的垂直距离，不是到顶点的距离，这是本节最大易错点。 重点区分两大交点：三角形内心（角平分线交点）到三边距离相等，用于求内切、面积分割；三角形外心（垂直平分线交点）到三顶点距离相等，用于求外接圆、线段相等。考试极易混淆，必须精准记忆。 高频题型：利用角平分线转化垂线段长度、求三角形面积、证明线段相等、综合全等证明。熟练掌握本节，可彻底搞定初中几何“距离类”证明体系，完美收官八上几何推理章节。 学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理 证明意识和能力． 学习目标 情境导入 AB，AC，BC是某公园三条两两相交的小路，管理人员为了方便游人休息，打算修建一个凉亭，使凉亭P到三条小路的距离相等．请同学们帮助选好凉亭P位置． A B C 这要用到角平分线的知识. 怎么用呢？ 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A O B M N Q C 射线OC所在直线就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线. 02 新知导入 如图，a，b，c表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处? b c a 03 新知探究 探究 角平分线的性质 【动手操作】按如图所示的顺序和方法，先将∠AOB对折，再折出一个直角三角形，然后展开. 03 新知探究 探究 角平分线的性质 思考以下几个问题： (1)第一条折痕与∠AOB有什么关系? (2)后两条折痕与∠AOB的两边有什么关系?它们相等吗? (3)你能用一句话叙述上面操作过程中所得到的结论并证明吗? 角平分线上的点到角两边的距离相等. 试着证明这个结论。 03 新知探究 探究 角平分线的性质 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点， PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. 分析：图中有Rt△PDO 和 Rt△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD =PE. 03 新知探究 探究 角平分线的性质 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的任意一点， PD⊥OA，PE ⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. 解：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO，∠POD=∠POE，OP=OP， ∴△PDO≌△PEO. ∴PD=PE. 总结归纳 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 数学语言： ∵OP 平分∠AOB， PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E， ∴PD=PE. 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 【探索】”角平分线上的点到角两边的距离相等“这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢? 条件 结论 性质定理 逆命题 角平分线上的点 到角两边的距离相等 角的内部到角两边的距离相等的点 点在角的平分线上 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上. 证明：如图，过点O、Q作射线OQ . ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO = 90°. 在Rt△QD0 和Rt△QEO 中， ∵ OQ=OQ，QD =QE， ∴ Rt△QDO≌△Rt△QEO(HL). 03 新知探究 探究 角平分线的判定定理 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD= QE.求证：点Q在∠AOB的平分线上. ∴∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 总结归纳 于是就有定理: 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 数学语言： ∵PD⊥OA 于点D， PE⊥OB 于点E，PD=PE， ∴OP 平分∠AOB. 03 新知探究 探究 三角形的三条角平分线相交于一点. 上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能证明： 三角形的三条角平分线交于一点. 从图中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了。 03 新知探究 探究 其思路可表示如下： 试试看，现在你会证明了吗？ 三角形的三条角平分线相交于一点. 03 新知探究 探究 证明：∵AO 是∠BAC的平分线OI⊥AB，OH⊥AC，∴OI=OH，同理可得OI=OG， ∴OH=OG， ∵OH⊥AC，OG⊥BC， ∴点O在∠BCA的平分线上. 即△ABC的三条角平分线相交于点O. 三角形的三条角平分线相交于一点. （第1题） 1. 如图，是 的角平分线，且 ，则与 的面 积之比为( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 18 （第2题） 2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ， 将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 在 的平分线上，则( ) A. 与一定相等 B. 与 一定不相等 C. 与一定相等 D. 与 一定不相等 √ 返回 中考考法 19 （第3题） 3. 如图，是等腰三角形 底边上的 中线，平分,交于点 , ，，则 的面积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 √ 返回 中考考法 20 4.如图，在中，，平分交于点 ， ，垂足为，的面积为5，则 的长为___. 2 （第4题） 中考考法 21 【点拨】过作于 ，如图. （第4题） 平分，， ， . 的面积为5， . 又，， . 返回 中考考法 22 5.如图，点是和的平分线的交点， 于 点，，的周长是36，则 的面积为____. 54 （第5题） 中考考法 23 （第5题） 【点拨】如图，过点作于点 ， 于点，连结 . 点是和 的平分线的交点. ， . 返回 中考考法 24 6.如图，在中，的平分线与的外角 的平分线相交于点,于点，于点 . 中考考法 25 （1）若点到直线的距离是,求点到直线 的距离； 中考考法 26 【解】如图，过点作于点 . 由题意可知 . 平分,，, , 即点到直线的距离为 . 中考考法 27 （2）求证：平分 . 【证明】平分, ， , .由（1）知 , . , , 平分 . 返回 中考考法 28 （第7题） 7. 如图，直线，， 表 示三条公路，现要建一个货物中转站，要 求它到三条公路的距离相等，则可供选择 的地址有( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 √ 返回 中考考法 29 （第8题） 8. ［2025鞍山期中］如图， 是 的角平分线， 于点 ， 的面积是10， ，，则 的长 是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 中考考法 30 【点拨】如图，过点作于 . （第8题） 是中的平分线，， ， 的面积是10， ， , ，解得 . 返回 中考考法 31 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 3.三角形的三条角平分线交于一点. $