12.4.3 角平分线（8大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学华师大版2024八年级上册

12.4.3 角平分线 题型一：角平分线的性质定理求线段长度 1．如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的面积公式，角平分线的性质定理，作交于，由角平分线的性质定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ， ∵平分交于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．(25-26八上·广东深圳部分学校·开学考)如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点D到边的距离． 故选：B． 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P到与的距离之和为， 故选：D． 4．如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，根据，平分，，得出，证明，得出，证明，得出，即可得，从而求出． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 5．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 【答案】3 【分析】连接、，作于，由角平分线的性质得出．证明，得出，同理，得出，进而得出答案． 【详解】解：连接、，作于，如图所示： 点在的垂直平分线上， ， 点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，   ， ； 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 题型二：角平分线的性质定理求角度 1．如图，在中，平分，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，合理作出辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，证出，通过角的等量代换求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（   ） ​​​​​​​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质． 设，根据平分得到，进而得到，再根据平分得到，由三角形的外角的性质可得出，求出，进而可求出即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，，，点D是外角平分线上的一点，连接，若，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，作出适当辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 过点D作于点E，作于点G，先根据角平分线的性质得到，然后得到，得到，然后根据等边对等角得到的度数即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E，作于点G，则 ∵点D是平分线上的一点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ∴， ， 故答案为：25． 6．(24-25七下·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期末)如图，在中，是角平分线， 交于点E，若，则 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查角平分线的性质，平行线的性质定理；根据角平分线的性质得到，再结合平行线的性质定理得到，即可求出． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． 题型三：角平分线的性质定理求面积 1．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（    ） A．9 B．15 C．12 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵平分，，， ， 的面积， 故选：B． 2．已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是，所以面积之比就是 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ，，是的三条角平分线， ， 的三边，，长分别是， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作于点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作于点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 4．如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比为 ． 【答案】 【分析】由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到与的面积之比 本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出 【详解】解：过D作于H， 是的角平分线，， ， 的面积的面积， 与的面积之比 故答案为： 5．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 过点作，垂足分别为点，连接，根据角平分线的性质得出，利用直角三角形全等得出相等边，然后根据三角形的周长得出，最后利用作差法求出三角形的面积即可． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足分别为点，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴四边形的面积为， 五边形的面积为， ∴的面积为， 故答案为：6． 6．如图，已知的周长是，分别平分于点，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，于，连接，根据角平分线的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于，于，连接， 平分，，， ， 同理，， 的面积， 故答案为：． 7．(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键。 如图：过点O作于M，作于N，于D，连接，根据三角形面积可得，再根据角平分线的性质可得；然后根据角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，则，进而得到，即，最后根据的面积以及三角形的面积公式求解即可。 【详解】解：如图：过点O作于M，作于N，于D，连接， ∵，的面积是7， ∴,即，解得：， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∵在中，的平分线与的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的面积． 故答案为：17． 题型四：角平分线的实际应用 1．(24-25八下·河南郑州中牟县·期末)某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 2．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等成为解题的关键． 由角平分线的交点到角边的距离相等，则两同旁内角平分线的交点满足条件；据此作图即可解答． 【详解】解：如图所示： ∵和的平分线的交点到距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到AB、MN、PQ距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个． 故选：C． 3．(24-25八上·江苏无锡宜兴·期中)某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据“要建一个加油站，使它到三条公路的距离相等”可知物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上． 故选A． 4．(24-25八上·江苏扬州江都区·期末)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 5．(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质． 根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置． 【详解】解：如图所示：点即为中转站． 作线段的垂直平分线， 两条公路的夹角的平分线， 两条线相交于点． 题型五：角平分线与尺规作图（选填） 1．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质． 作于点，由角平分线的性质，可得，即可得点到 的距离． 【详解】解：作于点， 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点到 的距离为． 故选：D． 2．(2025·湖北省宜昌市·调研)如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作图，以及角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 可根据所给的作图步骤，结合角平分线的性质和判定定理来逐一分析选项． 【详解】解：由题意可知，平分， 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意； 平分， ，因此选项符合题意； 不一定等于， 不一定等于，因此选项不符合题意． 故选：． 3．(24-25七下·江苏盐城盐都区第一共同体·月考)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由作图可知：是的平分线，根据角平分线的定义推出，进而得到，，得到点在的垂直平分线上，过点作于点，证明，得到即可． 【详解】解：由作图可知：是的平分线， 故说法正确； ，， ， ， ， 故说法正确； 过点作于点， ， ∴， 点在的垂直平分线上， 故说法正确； 是的平分线，， ， 在和中 ≌， ， 在和中 ≌， ， ， ， 故说法正确． 正确的说法有个， 故选：D． 4．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（   ）． A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由作法可知，平分，由垂线段最短可知，当时有最小值，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法可知，平分， 由垂线段最短可知，当时有最小值， ， ，即的最小值为2， 故选：C 5．(24-25八下·陕西榆林高新区第一中学·月考)如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．(24-25六·山东威海荣成16校联盟（五四制）·月考)如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴． 故选：C． 7．(24-25八下·辽宁沈阳·月考)如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于M，如图，先利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：作于M，如图，    由作法得平分， 而，， ∴， ∴． 故选：B． 题型六：角平分线与尺规作图（解答） 1．(24-25八上·福建福州台江区福州华伦中学·期末)如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 2．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，尺规作角平分线，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （2）利用尺规作角平分线的方法作的平分线，交于点H，即可作答． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵，,， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图，的平分线和点H即为所求： 3．(24-25八下·河南郑州西一中学·调研)如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，余角的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握基本以上知识是解题的关键． （1）根据作已知角的角平分线的作法，画出图形即可； （2）根据角平分线的定义可得，再由余角的性质可得，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所求． （2）解：为等腰三角形，证明如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 5．(2025·江苏省常州市·一模)如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 6．(24-25八上·广东江门鹤山昆仑学校·期末)如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；理解角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定及性质是解的关键． （1）由作法得平分，结合平行线的性质，即可求解； （2）由等角对等边得，由等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解： ， ， ， 由作法得， 平分， ； （2）证明： ， ， 平分， ， ， ， ． 7．(24-25八上·广东肇庆某校·期末)如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的平分线，交边于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查了尺规作图-作已知角的角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）以点B为圆心，以任意长度为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点P，连接并延长，交于点D，即为所求； （2）首先根据三角形内角和定理解得，再证明，由等腰三角形的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求；    （2）∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七：角平分线的性质与判定简单证明 1．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，连接，根据角平线的性质定理得到，根据垂直平分线的性质，结合斜边直角边的判定方法得到，即可求解． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 2．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 3．如图，，，O是的平分线和的平分线的交点，的延长线交于点D．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，关键是得到．根据平行线的性质和角平分线的定义得到，再根据等角对等边得到，从而得到，再根据等边对等角得到是的平分线，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】证明：∵， ∴． ∵CO是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵BO是的平分线， ∴， ∴． 4．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E． 求证： (1)是等边三角形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，等角对等边的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键， （1）利用等边三角形的判定定理即可得证； （2）利用角平分线定理和平行线的性质可得，，再根据是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴，， ∴，． 由（1）知是等边三角形， ∴． 5．(24-25八上·北京十一学校·期中)如图，为的平分线，于，，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以求出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵为的平分线，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 55．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【来源】人教版2020年八年级上学期数学第十二章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 专题2 与全等三角形有关的线段和角的证明及计算 【分析】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论． 【详解】证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 6．如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题侧重考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点P作于点E，于点F，则，根据平分可知，根据图中各角的数量关系可得，可证明；利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：过点P作于点E，于点F，如图． ，． ． ， ． ． ． 平分，， ． 在和中 ， ． 题型八：角平分线的性质与判定理综合解答题 1．如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)的周长是20． 【分析】本题考查了角平分线性质和全等三角形的判定和性质． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再由角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明结论； （2）由角平分线的性质可知，进而证明，由此可得，进而证明． 【详解】（1）证明：，F为的中点， ． 平分，， ． （2）解：，，平分， ， ， ， ， ． 2．(24-25八上·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义和性质，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键． （1）先根据，结合，等量代换得到，可证明，得到，根据得，进而等量代换得，由此根据角平分线的定义即可得出结论； （2）根据是的角平分线， 设，则，根据得，则，再根据平分得到，然后根据即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； （2）解：由（1）可知：是的角平分线， 设，则， ， ， ， 平分， ， ． 3．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，代数计算，即可作答． （2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得，根据三角形面积公式进行列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∵的面积是， ∴， 解得； （2）解： ∵为的平分线，于点E，于点F． ∴， 则， ∴， 故． 4．(24-25八上·河北保定定州·期中)如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 5．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·期中)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 6．(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据角平分线性质定理得到，再证明，则，再由等腰三角形性质即可证明； （2）先证明，则，那么，再代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分，于E，交的延长线于F， , 在和中， ， ∴， ， 是中点， ； （2）解：由(1)知： 在和 中， ， , ，，， ． 题型一：角平分线的性质与判定最值问题 1．(24-25七下·河北沧州青县第三中学·月考)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点E作于P，此时的值最小，得出，根据角平分线的性质求出，求出的长即可． 【详解】解：过点E作于P，此时的值最小， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值是4， 故选：C． 2．(24-25八上·湖北武汉汉南区武汉经开外国语学校·月考)如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的面积公式等知识，构造辅助线，并判断出当A点与H点重合时达到最大，是解答本题的关键．延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，证明，即有，进而有，根据，有△AGC的面积为，当A点与H点重合时，即时，可得，此时达到最大，则的最大面积为：；根据，可得，则的最大面积可求． 【详解】解：延长，交于点G，过G点作，交的延长线于点H，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴的面积， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，是直角三角形，斜边为， ∴， ∵， ∴， 当A点与H点重合时，即时，可得， 此时达到最大， ∴则的最大值为3， ∴的最大面积为：， ∵， ∴D点为中点， ∴， ∴的最大面积为：， 故选：C． 3．(24-25七下·江苏无锡港下中学·期中)如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形性质，角平分线等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短路径问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故选：C． 4．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查角平分线，熟练掌握角平分线性质是解题关键． 过D作于E，即为 长的最小值，由平分，即得到的长度． 【详解】解：如图，过D作于E， 则长即为 长的最小值， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 5．(23-24八上·安徽芜湖弋江区·期末)如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 6．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·月考)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 在上取一点，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，最后用面积法，进行解答，即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴， ∴， 当点，，在同一条直线上且时，有最小值，即最小，其值为， ∵， ∴， ∴最小值为． 故答案为：． 题型二：角平分线的性质与判定多结论问题 1．(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·期中)如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据角平分线定义得出，根据平行线性质得出，从而得出，由等腰三角形的判定定理即可得到结论；②根据已知条件，不能得出全等；③由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到、、的距离相等，从而得出为外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论；⑤根据，于是得到，推出，即可得到结论；④由，，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 同理， ②与不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误； ③过点E作于N，于D，于M，如图， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 设，，，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； ④∵， ∴， ∴， 即，故⑤正确； ⑤∵，， ∴．故④正确． 综上，①③④⑤正确，一共4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．(24-25八上·陕西西安周至县·期末)如图，，，平分，平分，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据垂直定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可得平分，即可判断③；根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得 ，进而可得，即可判断①④；最后根据直角三角形的两个锐角互余可得，而，即可判断②，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①④正确； ∵， ∴， 而， 故②不正确； 所以，上列结论，其中正确的有3个， 故选：C． 3．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 4．(24-25八上·广东兴宁沐彬中学·月考)如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质与判定定理、垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由角平分线的性质可得，再结合等边对等角可得，即①正确；②易证，可得，即②正确；③由角平分线的判定定理可判定③；④由垂直平分线的定义可知垂直平分，即④错误． 【详解】解：①∵平分，，E，F为垂足， ∴， ∴，即①正确； ②∵， ∴， ∴，即②正确； ③∵，， ∴平分，即③正确； ④∵， ∴垂直平分，而不是垂直平分，即④错误； 综上，说法正确的个数是3个． 故选C． 5．(24-25八上·江苏启东建新中学·)如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，①②③④均正确， 故选：A． 6．(25-26八上·浙江杭州拱墅区观成实验学校·月考)如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ①根据角平分线，可知，，根据外角，可知，，推出，即可得到结论；②过作于，于，于，根据角平分线的性质，证明，和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ②过作于，于，于，如图所示： ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ，而不一定等于， ∴不一定等于，故②错误； ③，平分， 垂直平分，故③正确； ④， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④错误． 综上分析可知，①③正确， 故选：B． 题型三：角平分线的性质与判定解答应压轴 1．(24-25八上·四川泸州江阳区·期末)如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，见解析． 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明是解本题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形内角和定理求出，进而得到，作，全等三角形的性质，推出，得到平分，求出； （3）由全等三角形的性质可得，由“”可证，由全等三角形的性质得出，证明△是等边三角形，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：△与△都是等边三角形， ，，， ， 在△与△中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ∴； ∴， 作， ∵，， ∴， ∴平分， ， （3）解：， 证明：如图，在线段上截取，连接， ， ， 在△与△中， ， ， ，， ， △是等边三角形， ， ， ． 2．(24-25八上·江苏南通海门·期末)如图，，平分，点为上一定点，四边形的顶点分别在射线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点F在射线上，且，请探究：线段之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是全等三角形判定与性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质， （1）先证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于H，于N，证明 即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点C作于H，于N， 平分，，， ，， 又，， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 3．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 【答案】（1）①等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角）；两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或）；②见解析；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． （1）①由等腰三角形的性质和全等三角形的判定可求解； ②由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得； 问题再探： （2）由等腰三角形的性质可得是的平分线，由角平分线的性质可得，由面积的和差关系可求； （3）通过证明，可得结论． 【详解】（1）①解：依据1：等腰三角形的两个底角相等（或等边对等角） 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（或角角边或） ②证明：如图，连接． ∵，D是的中点， ∴是的平分线． ∵，， ． （2）解：， 连接， ∵，D是的中点， ∴是的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）证明：选择①：∵分别是和的中线， ，． ∵， ． 又∵D是的中点， ． 在和中， ， ∴． 选择②：∵，D是的中点， ， ． 又∵分别是和的角平分线， ． 在和中， ． 4．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）直接根据角平分线的性质可判断； （2）过D点作于E点，于F点，如图2，先根据角平分线的性质得到，再利用等角的补角相等得到，然后证明得到； （3）过D点作于E点，于F点，如图3，先根据角平分线的性质得到，再根据“”判断，所以，然后根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： 过D作于点E，作交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （3）过D作交延长线于点M，作于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 5．(24-25七下·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质即可得出答案； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，，进而得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）过点作，交的延长线于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 6．如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，以及全等三角形的判定与性质，需熟练掌握分类讨论思想，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据角平分线的性质可得，在由三角形面积公式计算即可； （2）根据三角形面积公式得到，再根据点E和点G的运动速度可表示，，由此可证明； （3）先证明，在分类讨论点M在线段上，点M在线段延长线上两种情况由此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵动点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动， ∴，． ∴， ∴， ∴在运动过程中，不管t取何值，都有； （3）解：∵在与中， ， ∴， ∴， ∵点E以的速度从A点向F点运动， 且动点G以的速度从C点向A点运动， 又∵当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，运动时间为t， ∴，． ∴， ∴， ①当M在线段上时，， 当时，与全等， ∴， 解得； ②当M在线段延长线上时，， 当时，与全等， ∴， 解得：， ∴当或时，与全等． 1．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握等腰三角形的性质是关键，根据等腰三角形的三线合一得到是角平分线，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：已知是等腰底边上的高， ∴是等腰中的角平分线， ∵点F到直线的距离为3， ∴点F到直线的距离为3， 故选：C ． 2．如图，D是的中点，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 根据线段垂直平分线性质得出，根据边边边证出，根据全等三角形的性质推出，根据以上结论判断即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴， ∴，， 即平分， 故选项B、C不符合题意； ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选项A不符合题意； 由，得出，只有时，， 故选项D符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·辽宁本溪实验中学·月考)如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 4．如图，在中，是的角平分线，，垂足为点．若的周长为4，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，证明，得出，证明和为等腰直角三角形，得出相等的边，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ， 在与中 ∴， ∴， ∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， ∵的周长为4， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 5．(24-25八上·广东佛山石门实验学校·期中)如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，交的延长线于，由角平分线的性质可得，，再分别证明和，得到，，即可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．(2023·贵州省遵义市·一模)如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④． 【详解】解： ， 在和中， ， ， ，故正确； 且， 平分，故正确； ∵， ， 又， ， 而， 结论错误； 在和中， ， ， ， ， ， 即，故正确； 综上所述，正确的有①②④． 故选：B． 7．(24-25八上·广东中山华辰实验中学·月考)如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．利用角平分线的性质，找到点M到的距离，从而确定的最小值． 【详解】解：过点M作于点F． ∵点M是平分线上一点，，， ∴ ∵垂线段最短， ∴线段的最小值是 故答案为： 8．(24-25八上·湖北襄阳四中义教部·月考)如图，中，，若点O到三角形三边的距离相等， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用这些定理和性质是解题的关键． 先根据已知条件得点O是三角形三内角平分线的交点，即，，根据三角形内角和定理，即，最后在中运用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵点O到三角形三边的距离相等，即点O是三角形三内角的角平分线的交点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为：． 9．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出． 过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到． 【详解】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若的周长为16，，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 由角平分线的性质定理可得，再证明得出，最后由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，的平分线交于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的周长为16，， ∴， ∴， ∴， 即的周长为， 故答案为：． 11．如图，O是到的三条边距离相等的点，连接．若的面积分别为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．过点O作，垂足分别为E、F、D，根据，即可求出结论． 【详解】解：过点O作，垂足分别为E、F、D，如图所示， ∵O是到的三条边距离相等的点， ∴， ∵的面积分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25八上·辽宁抚顺抚顺县·期中)在中，是的平分线，交于点E，，． (1)求各内角的度数； (2)如果过D作，猜想吗？说明理由． 【答案】(1)各内角度数分别是，， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，与角平分线有关的定义，三角形内角和性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余，得，根据是的平分线，则，故，即可作答． （2）根据平行线的性质得，因为，则，即不垂直，结合，是的平分线，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ ， ∴各内角度数分别是，，； （2）解：，理由： 如图所示： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴不垂直， ∵，是的平分线， ∴． 13．(24-25八上·湖北襄阳第二十一中学·月考)如图，于，于，，. (1)求证：平分； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，根据角平分线判定定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，由线段的和差关系求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：由（1）知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 14．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识， （1）根据角平分线的性质判断即可； （2）作三角形两个内角平分线的交点或两个外角平分线的交点都得到图形． 【详解】（1）解：如图： ∵外角平分线的交点有3处，内角平分线的交点有1处， ∴满足条件的点有4处， 故答案为：4； （2）解：如图，点即为所求， 15．(25-26八上·江苏如皋外国语初级中学·月考)已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由点P为平分线上一点，，，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）证明，得到，由，得到，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 16．(24-25七下·四川达州达川区渡初级中学·月考)如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)（2）中所得结论成立，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据角平分线的性质可得，可证明，即可解答； （3）过点F作于M．作于N，连接，角平分线的性质可得，再由四边形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理可得，从而得到，进而得到，可证明，即可解答． 【详解】（1）证明：∵是直角，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：（2）中所得结论成立，证明如下： 如图，过点F作于M．作于N，连接， ∵分别是的平分线， ∴也是角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4.3 角平分线 题型一：角平分线的性质定理求线段长度 1．如图，平分交于点，于点，，，，则的长是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 2．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 3．(25-26八上·广东深圳部分学校·开学考)如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接，，若，则的长为 ． 5．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点D，过D作于点E，若，，则 ． 题型二：角平分线的性质定理求角度 1．如图，在中，平分，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，的外角平分线和内角平分线相交于点P，若，则（   ） ​​​​​​​ A． B． C． D． 3．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．(25-26八上·广东珠海香洲区·开学考)如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 5．如图，在中，，，点D是外角平分线上的一点，连接，若，则 度． 6．(24-25七下·黑龙江佳木斯富锦三江区域联合体学校·期末)如图，在中，是角平分线， 交于点E，若，则 °． 题型三：角平分线的性质定理求面积 1．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（    ） A．9 B．15 C．12 D．30 2．已知的三边，，长分别是，其三条角平分线交于点O，则 ． 3．如图，在直角中，是的角平分线，若的面积为6，则的长为 ． 4．如图，是的角平分线，，，那么与的面积之比为 ． 5．如图，的外角和的平分线相交于点，于点，且，若的周长为，，则的面积为 ． 6．如图，已知的周长是，分别平分于点，且，则的面积是 ． 7．(24-25八上·江苏南通如皋·期中)如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，的周长为10，，的面积是7，则的面积是 ． 题型四：角平分线的实际应用 1．(24-25八下·河南郑州中牟县·期末)某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 2．如图是某校的局部平面图，学校有三条小路和，已知与相交．学校计划修建一个亭子，使其到小路的距离均相等，则亭子可以选择的修建位置有（   ） A．4处 B．3处 C．2处 D．1处 3．(24-25八上·江苏无锡宜兴·期中)某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 4．(24-25八上·江苏扬州江都区·期末)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是 ． 5．(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹） 题型五：角平分线与尺规作图（选填） 1．(24-25八上·辽宁铁岭西丰县·期中)如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（   ） A． B． C． D． 2．(2025·湖北省宜昌市·调研)如图所示，在中，按以下步骤作图： ①在，上分别截取，； ②分别以点D，E为圆心，大于，两弧相交于点F； ③作射线交于点M； ④过点M作于点N． 下列结论一定成立的是（　　）    A． B． C． D． 3．(24-25七下·江苏盐城盐都区第一共同体·月考)如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④． A． B． C． D． 4．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、大于为长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，若，P为上一动点，则的最小值为（   ）． A．1 B． C．2 D．4 5．(24-25八下·陕西榆林高新区第一中学·月考)如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 6．(24-25六·山东威海荣成16校联盟（五四制）·月考)如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 7．(24-25八下·辽宁沈阳·月考)如图，中，，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一为半径作弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，于H，，则的面积为（    ）    A．4 B．5 C．9 D．10 题型六：角平分线与尺规作图（解答） 1．(24-25八上·福建福州台江区福州华伦中学·期末)如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 2．如图，，． (1)延长到E，使，延长到F，使，连接，求证：． (2)在（1）的条件下，作的平分线（尺规作图，保留痕迹），交于点H． 3．(24-25八下·河南郑州西一中学·调研)如图，中，，垂足为D． (1)求作的平分线，分别交于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)判断的形状，并证明． 5．(2025·江苏省常州市·一模)如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 6．(24-25八上·广东江门鹤山昆仑学校·期末)如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 7．(24-25八上·广东肇庆某校·期末)如图，在中，，．    (1)尺规作图：作的平分线，交边于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的长． 题型七：角平分线的性质与判定简单证明 1．如图，在中，的平分线与边的垂直平分线相交于点P，过点P作（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：． 2．如图，，垂足分别为，．求证：平分． 3．如图，，，O是的平分线和的平分线的交点，的延长线交于点D．求证：． 4．如图，已知等边三角形中，，的平分线相交于点O，，，分别交于点D，E． 求证： (1)是等边三角形； (2)． 5．(24-25八上·北京十一学校·期中)如图，为的平分线，于，，，试说明：． 55．如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 6．如图，P为定角的平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与相交于M，N两点，求证：． 题型八：角平分线的性质与判定理综合解答题 1．如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 2．(24-25八上·陕西汉中勉县·期末)如图，，，点是边上一点，连接，连接并延长交的延长线于点．点是边上一点，连接，使得． (1)试说明是的角平分线； (2)若的角平分线交于点，，求的度数． 3．如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)若的面积是，求的长； (2)求证：． 4．(24-25八上·河北保定定州·期中)如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 5．(24-25八下·甘肃临夏回族永靖县·期中)如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 6．(2025·湖南省长沙市·模拟)如图，在中，平分，是中点，连接，过点作于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型一：角平分线的性质与判定最值问题 1．(24-25七下·河北沧州青县第三中学·月考)如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．(24-25八上·湖北武汉汉南区武汉经开外国语学校·月考)如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 3．(24-25七下·江苏无锡港下中学·期中)如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．5 4．如图，在四边形中，，连接．若平分，P是边上一动点，则长的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．(23-24八上·安徽芜湖弋江区·期末)如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．(25-26八上·甘肃武威天祝藏族自治县第二中学·月考)如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 题型二：角平分线的性质与判定多结论问题 1．(24-25八上·陕西咸阳渭城区底张晋公庙中学·期中)如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论，①；②；③；④，⑤其中正确的结论是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(24-25八上·陕西西安周至县·期末)如图，，，平分，平分，则下列结论：①，②，③平分，④，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 4．(24-25八上·广东兴宁沐彬中学·月考)如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(24-25八上·江苏启东建新中学·)如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 6．(25-26八上·浙江杭州拱墅区观成实验学校·月考)如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，交于点F，交于点G，连结，有下列结论：①；②；③垂直平分；④，其中一定正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 题型三：角平分线的性质与判定解答应压轴 1．(24-25八上·四川泸州江阳区·期末)如图，△与△都是等边三角形，和相交于点，连接． (1)求证：； (2)求，的度数； (3)探索，，之间的数量关系，并说明理由． 2．(24-25八上·江苏南通海门·期末)如图，，平分，点为上一定点，四边形的顶点分别在射线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若点F在射线上，且，请探究：线段之间的数量关系，并加以证明． 3．【问题情境】数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 【问题初探】 （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图①，在中，，D是的中点，，，垂足分别为E，F．经过探究讨论，该小组的同学们得出的结论是，他们的证法如下： 证明：∵，， ． ∵， （依据1）． ∵D是BC的中点， ． 在和中， （依据2）， ∴． ①请写出依据1和依据2的内容： 依据1： ， 依据2： ； ②请你写出另一种证法； 【问题再探】 （2）未来小组的同学们经过探究又有新的发现，如图②，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，作腰上的高，则与有确定的数量关系．请你直接写出这个数量关系： ； 【类比探究】 （3）奋斗小组的同学们认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①如图③，在中，，D为的中点，若分别为和的中线，那么仍然成立；②如图④，在中，，D为的中点，若分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论证明． 4．(25-26八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·月考)（1）如图1，平分．当时，根据角平分线的性质，我们可知与之间的数量关系为______； （2）如图2，平分．当时，试说明与之间的数量关系； （3）如图3，平分，若，，求的度数． 5．(24-25七下·陕西咸阳武功县普集街道办南仁初级中学·期末)【问题呈现】 （1）如图1，是的平分线，是上的任意一点，于点，于点，则线段和的数量关系是_____． 【知识应用】 （2）如图2，在中，，平分交于点，于点，为上一点，连接，且．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，为的中点，交于点，连接．试说明． 6．如图，在中，，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有； (3)当t取何值时，与全等． 1．已知是等腰底边上的高，若点F到直线的距离为3，则点F到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．72 2．如图，D是的中点，，那么下列说法不一定成立的是（    ） A． B． C．平分 D． 3．(24-25八上·辽宁本溪实验中学·月考)如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，在中，是的角平分线，，垂足为点．若的周长为4，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．(24-25八上·广东佛山石门实验学校·期中)如图，四边形中，，平分，于点．，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．(2023·贵州省遵义市·一模)如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 7．(24-25八上·广东中山华辰实验中学·月考)如图，点是平分线上一点，于，，如果是上一动点，则线段的最小值是 ． 8．(24-25八上·湖北襄阳四中义教部·月考)如图，中，，若点O到三角形三边的距离相等， 则 ． 9．(24-25七下·四川成都龙泉驿区·期末)把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则 用含m的式子表示 10．如图，在中，，的平分线交于点，于点，若的周长为16，，则的周长为 ． 11．如图，O是到的三条边距离相等的点，连接．若的面积分别为，则 ． 12．(24-25八上·辽宁抚顺抚顺县·期中)在中，是的平分线，交于点E，，． (1)求各内角的度数； (2)如果过D作，猜想吗？说明理由． 13．(24-25八上·湖北襄阳第二十一中学·月考)如图，于，于，，. (1)求证：平分； (2)若，，求的长. 14．如图，有3条公路a，b，c两两相交，现在要修建加气站，使得加气站到3条公路的距离都相等． (1)满足条件的加气站共有______处； (2)请你找出一处加气站P的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 15．(25-26八上·江苏如皋外国语初级中学·月考)已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 16．(24-25七下·四川达州达川区渡初级中学·月考)如图①，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F，且于G，于H． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角， ，分别是的平分线，相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $