12.3.1 等腰三角形的性质（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的定义、“等边对等角”“三线合一”、轴对称及等边三角形性质，通过情境图片观察和剪纸对折操作，引导学生从直观感知到抽象性质，搭建学习支架，衔接全等三角形知识，为几何证明奠定基础。 其亮点在于以数学眼光（几何直观、空间观念）和数学思维（推理意识、运算能力）为核心，如剪纸对折发现性质培养几何直观，例4设未知数列方程提升推理与运算能力。题型分层且规范书写，小结明确易错点，助力学生提升几何推理与分类讨论能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 12.3.1 等腰三角形的性质 第12章 全等三角形 12.3.1 等腰三角形的性质 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册12.3.1知识点，紧扣等腰三角形的定义、边角性质、三线合一、轴对称性质等核心考点。重点训练“等边对等角”“三线合一”的理解与应用，针对性解决角度计算漏解、混淆三线适用条件、腰底不分等高频易错点，题型由浅入深，覆盖概念辨析、角度计算、基础证明、能力提升，规范几何推理书写。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 有________条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边。 2. 等腰三角形的两底角相等，简写成________。 3. 等腰三角形________、________、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 4. 等腰三角形是________图形，对称轴是底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线。 5. 若等腰三角形的一个顶角为80°，则它的底角为________°。 6. 若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为________°。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 等腰三角形的对称轴有（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 2. 已知等腰三角形的一个角为100°，则其余两个角的度数为（） A. 40°、40° B. 50°、50° C. 100°、20° D. 80°、20° 3. 下列关于等腰三角形“三线合一”说法正确的是（） A. 任意边上的中线、高、角平分线重合 B. 腰上的三线互相重合 C. 底边上的中线、高、顶角平分线重合 D. 以上都不对 4. 等腰三角形一腰与底边的夹角是45°，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为（） A. 70° B. 55° C. 70°或55° D. 40° 三、解答题（共50分） 1. 基础计算题（每题6分，共24分）：求等腰三角形内角度数。 （1）顶角为40° （2）底角为70° （3）一个角为90° （4）一个角为60° 2. 基础证明题（12分）：已知AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。 3. 能力提升题（14分）：已知等腰△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的高，∠ABD=20°，求△ABC的顶角和底角度数。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 两 2. 等边对等角 3. 顶角平分线、底边上的中线 4. 轴对称 5. 50 6. 80 选择题答案：1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 解答题解析：1.（1）底角=(180°−40°)÷2=70°，三角度数：40°、70°、70°；（2）顶角=180°−70°×2=40°，三角度数：40°、70°、70°；（3）90°只能为顶角，底角=45°，三角度数：90°、45°、45°；（4）有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，三角均为60°。 2. 证明：∵AB=AC，AD⊥BC（已知），根据等腰三角形“三线合一”性质，底边上的高平分顶角，∴AD平分∠BAC。 3. 解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°，∠A=180°−90°−20°=70°。又AB=AC，∴底角∠ABC=∠ACB=(180°−70°)÷2=55°。即顶角70°，底角55°。 核心考点总结：等腰三角形两大核心性质：等边对等角、三线合一；三线合一仅针对底边和顶角，腰不适用；角度计算需分类讨论，区分顶角和底角，杜绝漏解；含60°的等腰三角形为等边三角形，是常用推论，为后续几何计算与证明核心基础。 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的探究过程 3.能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点) 学习目标 情境导入 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 等腰三角形的定义与性质 1 如图，AB＝AC， △ABC 是等腰三角形. 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰 AB、AC 重叠在一起，折痕为 AD. 你能发现什么现象吗？ D A B C 做一做 1.等腰三角形是轴对称图形. 我们可以得出结论： A C B D 折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴. 你还有新的发现吗？ ∠B，∠C 是等腰三角形的 . 底角 所以我们可以描述为: 等腰三角形的两个底角相等. 2. ∠B ＝∠C 探究归纳 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 已知：如图，△ABC 中，AB = AC，求证：∠B =∠C . 分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD ≌ △ACD. 证明：作顶角∠BAC 的平分线 AD. 在△ABD 与△ACD 中， ∵AB＝AC，∠1＝∠2， AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C. A B C D ( ( 1 2 知识要点 例1 已知：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 80°， 求∠C 和∠A 的大小. 解： 典例精析 想一想： 刚才的证明除了能得到∠B＝∠C ，你还能发现什么? 重合的线段 重合的角 　 A B D C AB＝AC BD＝CD AD＝AD ∠B＝∠C ∠BAD＝∠CAD ∠ADB＝∠ADC＝90° 性质 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 例2 在△ABC 中 ，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，∠B = 30°. 求：（1）∠ADC 的大小；（2）∠1 的大小. A D C 1 2 B (2)∵∠1 +∠B +∠ADB = 180° ，∠B = 30° ， ∴∠1 = 180° - ∠B - ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°. ∴AD⊥BC. ∴∠ADC =∠ADB = 90°. 解：(1) ∵AB = AC，BD = DC， 典例精析 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？ P Q A B O 思考 在△APQ 和∠BPQ 中， ∵AP = BP，AQ = BQ，PQ = PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ =∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP = BP， ∴ AO = BO 且 PQ⊥AB (等腰三角形的三线合一). 因此直线 PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ 是已知线段 AB 的垂直平分线. 证明：如图，设 AB 与 PQ 相交于点 O，连结 PA、PB、QA、QB. P Q A B O 思考 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点 C 作出已知直线 AB 的垂线 CP. 当点 C 在直线 AB 上时，垂线 CP 即是平角 ACB 的平分线，所在的直线，那么当点 C 在直线 AB 外时，你能证明所作的直线 CP 确实是直线 AB 的垂线吗？ A B C M N P A B C P 点 C 在直线 AB 上 点 C 在直线 AB 外 A B C M N P A B C P 点 C 在直线 AB 上 点 C 在直线 AB 外 相当于作线段 MN 的垂直平分线 就可以证明过点 C 所作的直线 CP 确实是已知直线 AB 的垂线 类似 类似垂直平分线的证明 试写出整个证明过程. 三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？ 因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C， 同理可得 ∠A＝∠B 所以 ∠A＝∠B＝∠C， 又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°， 从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°. A C B 等边三角形的性质 2 也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. 三条对称轴 A C B A B C D 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 图中有哪些等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. 典例精析 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x， 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 练 习 1.填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为_____和______； （2）如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为______. 50° 80° 55° 随堂练习 2. 如图，点E在BC上，AE∥DC， AB=AE. 求证：∠B=∠C. A D C E B 证明：∵AE∥DC， ∴∠C=∠AEB(两直线平行，同位角相等). ∵AB=AE， ∴∠B=∠AEB(等边对等角). ∴∠B=∠C. 随堂练习 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC=∠CEB，∠BCD=∠CBE，BC=CB， ∴△BDC≌△CEB(AAS). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). 随堂练习 4. 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD. 证明：∵AB=AC， ∴∠C=∠B=40°(等边对等角). ∵∠DAC=50°， ∴∠ADC=180°−∠C−∠DAC=90°， 即AD⊥BC. 又∵AB=AC， ∴BD=CD(等腰三角形的三线合一). 随堂练习 返回 1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　) A．70° B．55° C．55°或70° D．40°或55°或70° D 考试考法 24 返回 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　) A．100° B．115° C．130° D．145° B 考试考法 25 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________． 45° 返回 考试考法 26 4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD. (1)试说明∠ABC＝2∠C； 【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C. ∴∠ABC＝2∠C. 考试考法 27 (2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC. 【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE. ∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE， ∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC. 返回 考试考法 28 5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　) A．∠ADB＝∠ADC B．AD⊥BD C．BC＝2AD D．△ABD与△ACD的周长相等 C 返回 考试考法 29 6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________． 6 返回 考试考法 30 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　) A．56° B．58° C．60° D．62° A 【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A. 返回 考试考法 31 C 考试考法 32 返回 考试考法 返回 9. 如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE，OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE＋OF的值为________． 5 考试考法 34 10. 如图，△ABC中，AB＝AC＝13，S△ABC＝65，AD是∠BAC的平分线，E是AD边上的动点，F是AB边上的动点，则BE＋EF的最小值为________． 10 考试考法 35 11. 如图，在△ABC中，BA＝AC＝20 cm，BC＝16 cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2 cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为__________cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 2或2.5 考试考法 36 等腰三角形的性质 等边对等角 等边三角形 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线、底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高、中线和底角的平分线不具有这一性质. 三线合一 有三条对称轴，每个内角等于 60°. 课堂小结 【点拨】设∠A＝x°.∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x°.∵DE＝EB，∴∠EBD＝∠BDE＝x°.∴∠BDC＝∠A＋∠EBD＝x°.∵BC＝BD，∴∠C＝∠BDC＝x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝x°.∴x＋x＋x＝180，解得x＝45.∴∠A＝45°. 8.如图所示，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…，若∠A＝70°，则∠An－1AnBn－1的度数为(　　) A. B. C. D. 【点拨】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An－1AnBn－1的度数．∵在△ABA1中，∠A＝70°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝70°.∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，∴∠B1A2A1＝＝35°＝；同理可得∠B2A3A2＝17.5°＝，∠B3A4A3＝×17.5°＝，∴∠An－1AnBn－1＝.故选C. 【点拨】连结AO，如图．∵AB＝AC＝6，S△ABC＝S△ABO＋S△AOC＝AB·OE＋AC·OF＝15，∴×6×(OE＋OF)＝15，∴OE＋OF＝5. $