12.3.2 等腰三角形的判定（6大基础题型+4大巩固提升）（题型专练）数学华师大版2024八年级上册

12.3.2 等腰三角形的判定 题型一：根据“等角对等边”证明等腰三角形 1．(2024·陕西省西安市·模拟预测)已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．(24-25八下·广东佛山南海区灯湖中学·月考)如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要是全等三角形判定与性质以及等腰三角形的判定问题； 先运用全等三角形的判定方法可得； 再运用全等三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】证明：∵的高相交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 3．(23-24九下·陕西榆林高新中学·期末)如图，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【来源】陕西省榆林市高新中学2023-2024学年九年级下学期开学摸底考试数学试题 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，先根据题意，利用证明，推出，得到，即可判断的形状． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 4．(24-25八下·陕西汉中·期末)如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题，牢固掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定等几何知识点是解题的基础和关键．首先运用定理证明，进而得到，运用等腰三角形的判定定理即可解决问题； 【详解】证明：∵是 的边的中点，，， ∴、 均为直角三角形， 在中 ， ， ， ∴是等腰三角形． 5．(24-25八上·四川泸州泸县·期末)如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的判定与性质． （1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可； （2）利用平分线的定义和平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明： ， ， 是的外角的平分线， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ，， 平分交于点N， ， 为等腰直角三角形． 6．(24-25八上·新疆阿克苏库车·月考)如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到为等腰三角形． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 7．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据，得到，再根据即可得到； （2）由，得到，由，得到，从而得到，可得，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型二：根据“等角对等边”证明边相等 1．(24-25八·宁夏银川第十五中学·期中)如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，证明是本题的关键． 利用“”可证，由全等三角形的性质可得出，利用等角对等边即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴； ∴， ∴． 2．(25-26九上·陕西西安新城区·月考)如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．由，可得，由，可得，结合已知条件，可证，从而题目可解． 【详解】证明：， ， ， ， 在与中， ， ． ． 3．(24-25八上·内蒙古鄂伦春自治旗旗大杨树第一中学·期末)如图中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】证明：平分，平分， ， ， ， ， ∴， ． 4．(24-25八下·河南许昌东城区新时代精英学校·期末)如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质．首先根据角平分线的定义和平行线的性质进行角之间的等量代换，得到，，根据等角对等边得到是等腰三角形，然后进行边之间的等量代换即可证明结论． 【详解】证明：、是与的角平分线， ，． ， ，， ，， ， ． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥中学·模拟)如图，已知和均为等边三角形，且 ，的延长线交的延长线于点． 求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，三角形外角性质等知识，过作，则，由和均为等边三角形，得，，证明，再由等边三角形性质可得，，则有，因为，所以，可得，然后通过外角性质得，由等角对等边，从而可证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∴， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴，是等边三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三：根据“等角对等边”求边长 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图,中，角平分线交于交于E，若，  ，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质推出等腰三角形，进而得到线段相等的线段． 由是角平分线可得角相等，结合平行于，利用平行线的性质得到另一组角相等，从而判定是等腰三角形，得出，最后根据计算的长度． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·模拟)如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，即可得到结论． 【详解】解：是的平分线， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 故选：B． 3．(24-25八下·江苏宿迁泗阳县·期中)如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行线性质和角平分线定义推出，根据等腰三角形的判定推出，然后运用等量代换得． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， 故选；D． 4．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 【详解】解：平分交于， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 5．(24-25八上·陕西延安延长县·期末)如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（   ） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行得到，继而等量代换得到，则，再由线段和差计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．(24-25七上·河南商丘·期中)如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线和平行线可以构造出等腰三角形，得出，，即可求解． 【详解】解：如图，标记， 由题意知，平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 故选：C． 题型四：利用等腰三角形的判定求角度 1．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设，根据得，根据得，再根据得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， ， 即． 故选：． 2．如图，在中，点D，E在边上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理来求解，通过设未知数，根据上述性质和定理列出方程求解角度. 【详解】解：设 ∵， ∴ ∵， ∴ 在 中： ∵， 在中，内角和为：其中 ， 故选：C. 3．(2024·甘肃省定西市·模拟预测)如图，在中，，将绕点B逆时针旋转后得到（点A的对应点是点，点C的对应点是点），连接，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 利用旋转的性质得出相等的角和线段，证明为等腰直角三角形，得出，然后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∵，且旋转， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 4．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)如图，在中，于点，为上的点， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，由已知条件可得出是等腰直角三角形，再利用证明，由全等三角形的性质得出，由角的和差关系得出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解： ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， 又， ． 即， 故选B． 5．(24-25八上·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/95度 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 6．(24-25八上·上海民办上宝中学·期末)如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出，根据旋转可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕C按逆时针方向旋转角后得， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故答案为． 7．(2025·湖南省株洲市天元区株洲市·期末)如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，关键是由三角形内角和定理得到关于x的方程．由平行线的性质推出，，由角平分线定义得到，因此，推出，得到，推出，由对顶角的性质得到，因此，推出，得到，于是，由三角形外角的性质得到，设，然后可列方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型五：利用等腰三角形的判定求周长 1．(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由平分，平分，则，，通过平行线的性质可得，，所以，，得到，，然后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长 ， 故答案为：． 2．(2025九·宁夏回族自治区银川市·三模)如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，等角对等边，由平行线的性质可得，，又平分，平分，则，，所以，，从而可得，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 3．(24-25八上·辽宁大连第八十中学·月考)如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 5．(2025·甘肃省天水市·一模)如图，O为三个内角平分线的交点，，将向下平移得到，分别与相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质．连接，由平分，得到，由平行线的性质推出，从而得到，推出，同理，得到阴影部分的周长． 【详解】解：连接， ∵O为三个内角平分线的交点， ∴平分， ∴， 由平移的性质得到：， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴阴影部分的周长． 故答案为：6 6．(24-25七下·上海杨浦区存志学校·月考)如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，得到，是解题的关键．由，分别是的和的平分线和，可推出，，根据的周长即为的长度，即可求解． 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 的周长， 故答案为： 7．(24-25七下·山东威海荣成实验学校（五四制）·期末)如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 题型六：等腰三角形的性质和判定综合解答题 1．如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 【答案】3 【分析】证明即可解答．本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 【详解】解： 是等腰直角三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 2．(24-25八上·陕西西安蓝田县·期末)如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再证明，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再证明，结合等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴为的平分线，即：平分． 3．(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键， （1）由，，可得，再利用三角形内角和定理计算即可得到答案； （2）连接，利用等腰三角形的性质可得，，从而得到，进而得证． 【详解】（1）∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵，F是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，理解等腰三角形的性质定理和判定定理是解题关键． （1）先证明，再根据等腰三角形三线合一即可证明． （2）连接，先证明，再证明，得出，结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴F为线段中点； （2）解：，理由如下： 连接， 在中，，D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 5．(23-24八上·浙江宁波余姚姚江中学“中和杯”·期末)如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的计算，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的知识． （1）根据角平分线定义和平行线的性质，证明，得出，根据，得出，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质，三角形内角和求出，根据平行线的性质得到，根据平分得到，根据等边对等角得到，，进而计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴． 6．(23-24八上·浙江台州海山教育联盟·期末)如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平分，，可知，所以，从而可知是等腰三角形； （2）根据三角形内角和定理与平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ． 7．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； 【详解】（1）证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可知：， ∵； ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 9．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)吗？请说明你的理由； (2)试说明． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明是等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）证明得出，由（1）得，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形． ． 在和中，，， 又， ． ，， ∴． ． （2）解：在和中， 平分， ． ，， ． ． 由（1）得， ． 题型一：找出网格中等腰三角形的个数 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 2．(24-25七下·上海杨浦区存志学校·月考)如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查格点作等腰三角形，根据等腰三角形的判断即可得到结论，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为腰时，如图， 当为底边时，点无格点， 综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个， 故选：C． 3．(24-25八上·福建福州仓山区·期末)如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 4．(23-24七下·河北保定清苑区·期末)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个， ； 如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个， ； 综上所述，使为等腰三角形的点有个， 故选：B． 5．(23-24八上·河南南阳镇平县·期末)如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】以三边分别为底的三种情况进行讨论，即可求解，本题考查了等腰三角形的存在性问题，解题的关键是：掌握确定等腰三角形的方法． 【详解】解：当为底时，作线段的垂直平分线，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 当为底时，以为圆心，长为半径，画圆，点满足条件， 故选：． 题型二：利用等腰三角形的判定求面积 1．如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，连接，证明即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，，点是边的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 2．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和等腰三角形的判定，掌握折叠的性质和等角对等边是解题的关键． 首先根据平行线的性质得出，然后根据折叠的性质得出，通过等量代换得出，从而得出，最后利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， ∵点到距离为， 则． 故答案为：12． 3．如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查邻补角，等腰直角三角形，不规则图形的面积． 延长，，交于点，可得等腰直角三角形和等腰直角三角形，从而可得和的面积，相减即可得四边形的面积． 【详解】解：延长，，交于点， ∵为直角， ∴， ∴， ∵为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道里区第一一三中学·模拟)如图，四边形中，，于点E，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，作于点F，交于点G，作于点H，可以证明，再证，从而．再证明，所以，即可求四边形的面积． 【详解】解：作于点F，交于点G，作于点H， ∵，设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 故答案为：16． 5．(24-25八·辽宁大连中山区·期末)如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；过作于，过作于，由“三线合一”得，再由“”可判定，从而由全等三角形的性质得，再，即可求解；掌握性质及判定方法，能根据题意作出恰当的辅助线，构建是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 故答案为16． 6．如图，大小不一的两个等腰直角三角形用两种方法摆放，其中设两个三角形的直角边长分别为x和y（），则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了列代数式、因式分解，解题的关键是数形结合正确列出代数式． 根据大直角三角形的面积减去小直角三角形的面积等于阴影部分的面积，进行解答便可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴． 故答案为：30 ． 7．(24-25七下·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，过A作于H，过D作于E，过A于F，则四边形是长方形，得出，，证明，得出，，设，，则，，求出，，得出，解方程即可求解． 【详解】解∶如图，过A作于H，过D作于E，过点A作于F， 则四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵以为斜边作等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．(24-25八下·四川成都成华区·期末)如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 9．(24-25七下·四川成都邛崃·期末)如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，从而得到重叠部分四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∵点M是斜边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积． 故答案为： 题型三：等腰三角形的性质与判定综合最值问题 1．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，由轴对称的性质得出，根据等边对等角得出，，结合已知条件可得出是等腰直角三角形，即可得出，即可得出四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值，根据时，最小，根据三角形面积公式求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∴， 要使四边形面积有最大值，则要有最小值，即有最小值， ∵点D是上一点（点D不与点B，C重合）， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， 故答案为： 2．(24-25七下·江苏扬州·期末)如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，等腰三角三角形的性质和判定， 连接，作，根据三角形的面积求出，再根据对称性可得，从而得出，然后根据三角形的面积公式得，可知当点P与点H重合时，取最小值，的面积最小，由此可得答案． 【详解】解：连接，过点O作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点是，点P关于的对称点是， ∴． ∵， ∴， ∴. 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，取最小值，即， ∴的面积最小值为． 故答案为：18． 3．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，根据等腰三角形三线合一，得出，所以， 当的值最小时， 即过点作交于点， 此时的值最小，根据三角形的内角和求出答案即可． 【详解】解：如图， 过点作， 垂足为， ∵， 于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 当的值最小时， 即的值最小， ∴此时、、共线， 且， ∴， 故答案为：． 4．(2025·陕西省西安市·一模)如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线与面积关系，等腰三角形的判定与性质，如图，延长交的延长线于，过作于，证明，可得，证明，可得，进一步可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，过作于， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形面积最大值为， 故答案为： 5．(24-25七下·四川达州渠县第三中学·月考)如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】将绕着点顺时针方向旋转，得，连接，可得，，证（）可得，当、、三点共线时，有最小值，此时，是等腰直角三角形，可求，进一步即可求出答案 【详解】解：将绕着点顺时针方向旋转，得，连接， 则，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， （）， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， 此时，是等腰直角三角形， ∴， ∵．， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，掌握面积等积式，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，关键是当、、三点共线时，有最小值． 题型四：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 1．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，，见解析 (3)存在，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）； （3）解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ①当时， ∴， 即， ∴； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 2．(24-25七下·陕西西安高新逸翠园初级中学·月考)问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 【答案】（）；；（）四边形的周长为；（）满足条件的建设费用元． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的应用，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）先求出，进而得，再依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出答案； （）延长到，使，连接，证明是等边三角形，得，，再根据是等边三角形得，，由此得，进而依据“”判定和全等得，则，由此即可得出四边形的周长； （）过点作交于点，连接，则和都是等腰直角三角形，进而得，，，，由此得，继而依据“”判定和全等得米，，则，再求出平方米，即可得出种植草坪的费用，据此可得满足条件的建设费用． 【详解】解：（）在中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，的度数为， 故答案为：；； （）延长到，使，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形的周长为； （）过点作交于点，连接，如图所示， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴（米），， ∴，即， ∴（平方米）， ∴在内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元， ∴在内部种植草坪的费用为：（元）， 又∵在区域内安装健身器材需元， ∴满条件的建设费用为（元）， 答：满足条件的建设费用元． 3．(25-26八上·辽宁丹东第五中学·期末)如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； (2)【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．      B．   C．      D． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②1 (3)ABC 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，合理添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，证明，即可得出结果； （2）①在上截取，连接，推出，进而推出，证明，得到，角的和差关系，求出，即可得出结论； ②过点D作于点F，证明，得到，设，分割法求面积，列出方程进行求解即可； （3）分点在线段上，点在线段的延长线上，在的延长线上三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点D作于点F，则， ∵， ∴， 由旋转有， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴，即点D到的距离为1； （3）解：分三种情况讨论： ①当点在线段上时， 由（2）①可知：， ∴， 即：； ②当点在线段的延长线上时， 由（2）②可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在的延长线上时，如图：作，连接， 与（1）同理可得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上：或或． 故选：ABC 4．(24-25八下·吉林长春第一O三中学校·月考)如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，合理的分类讨论是解决问题的关键． （1）根据当将的面积二等分，知，列方程求解即可； （2）根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （3）根据列方程求出t的值，进而可得长度，则面积可求，注意要根据P在B点左、右两侧进行分类讨论； （4）分四类，，，进行讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 当将的面积二等分时， ， ， ； （2）∵动点从点出发，速度为每秒4个单位长度， 当时，， 当时，； （3）∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止， ∴ 当时，，， ，， ， 当时，，， ，， ， 综上所述，或； （4）当时，如下图，， ，， ， ， ， 则为等腰直角三角形， ， ； 当时，如下图，可得为等腰直角三角形， ， ； 当时，此时P与B重合，， 当时，如下图，此时，舍去． 综上所述，或或． 5．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)【问题情境】在等边的两边，上分别有两点M，N，点为外一点，且，，． 【特例探究】如图①，当时， （1）______度；______度； （2）与，之间的数量关系为______； 【归纳证明】如图②，当时，其他条件不变，猜想与，之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】的周长与的周长的比为______． 【答案】特例探究：（1），；（2）；归纳证明：，证明见解析；拓展应用： 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 特例探究：（1）由等边三角形的性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，即可得出，证明为等边三角形，得出，证明，得出，即可得解； （2）由（1）可得：，，，，从而可得，，，即可得解； 归纳证明：延长至点，使得，连接，由特例探究（1）可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得解； 拓展应用：由等边三角形的性质可得，从而可得的周长为，由归纳证明可得，表示出的周长为，即可得解． 【详解】特例探究：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）由（1）可得：，，，， ∴，，， ∴， ∴； 归纳证明：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ， 由特例探究：（1）可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：∵为等边三角形， ∴， ∴的周长为， 由归纳证明可得：， ∴的周长为， ∴的周长与的周长的比为． 6．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团·期末)【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）的长为6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键. 对于（1），先说明，再根据“边角边”可得答案； 对于（2）①，先说明，可得，再根据得出答案；②作，证明，可得，再根据等腰三角形的性质得，进而求出，最后根据得出答案； 对于（3），连接，同（2）得：，接下来说明，可得.进而得，然后根据，可得，则此题可解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， 同（1）得：， ∴， ∴； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ∴. ∵点F为中点， ∴. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴. 即的长为6． 7．(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）垂直，见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． （1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）根据全等三角形的判定得出，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【详解】解：（1）垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9．已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积不变．见解析 (3)仍为等腰直角三角形．见解析 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大． （1）连接，可通过证和全等来求本题的结论． （2）可将四边形的面积分成和的面积和求解，由（1）证得和全等，因此四边形的面积可转化为的面积，由此得证． （3）与（1）题的思路和解法一样． 【详解】（1）证明：连接 ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形； （2）解：四边形面积不变． 理由：∵由（1）可知， ∴， 而， ∵D为的中点， ∴， ∵面积不变， ∴不会发生变化； （3）解：仍为等腰直角三角形． 理由：连接， ∵，D为中点 ∴，平分，，， ∴， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴ 即： ∴为等腰直角三角形． 1．如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则以，，三岛为顶点组成一个（   ） A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了方位角的理解，等腰三角形的判定，合理分析出方位角是解题的关键． 根据方位角求出的各个角即可求解． 【详解】∵岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向， ∴， ∵岛在岛的北偏东方向， ∴岛在岛的北偏西方向， ∵岛在岛的北偏西方向， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 故选：A． 2．如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，利用平行线的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 3．如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，角平分线的定义，解决此题的关键是合理利用各个知识点之间的联系；先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义算出角度，再根据等角对等边判断等腰三角形即可； 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∴，，是等腰三角形，共3个； 故选：B． 4．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：． 5．(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得，从而判断①；可证明，得，即可判断②；由②的判断可判断③；由得，而，由此即可判断④，从而可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，， ∴， 故①正确； 由题意知：，且， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 由②知，， ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B． 6．(24-25八上·辽宁鞍山海城西部、北部集团·期中)如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据  是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点 P 在上，或点 P 在上；然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：如图，当点 P 在上，时，是等腰三角形，      ∵，，   ∴当时，，解得；   如图，当P在上，时，是等腰三角形，   ∵，，   ∴当时，，解得；   综上可得：当或5秒时，是等腰三角形， 故选：D．   7．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道·期末)如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，而，即可根据“”证明 ，得，，因为，，，所以，，推导出，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点，使，连接， 在中，为边的中线， ， 在和中， ， ， ，， 为上一点，连接并延长交于点，，，， ，， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处，此时灯塔在处的北偏西方向上，从灯塔望点的视角，则处到灯塔的距离为 海里． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边． 先求出海里，根据三角形外角的性质求出，可知，根据等角对等边即可求出海里． 【详解】∵一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处， ∴（海里）， ∵灯塔在处的北偏西方向上， ∴， ∵， ∴， 即， ∴海里． 故答案为：30． 9．如图，四边形中，平分，若，，．则 ． 【答案】 【分析】在上截取，连接，由角平分线的定义，结合已知可证，对应边相等，对应角相等，由等角的补角相等可得，根据等角对等边，等量代换，即可得． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，等角的补角相等，等角对等边． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)在中，，为的角平分线，过C点作的垂线交于点F，垂足为E，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，三角形外角性质，等腰三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 连接，结合角平分线定义证明，进而推出，得到，再结合三角形外角性质，以及等腰三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】解：连接， 为的角平分线， ， ，垂足为E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 11．(23-24八上·浙江宁波余姚姚江中学“中和杯”·期末)如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确添加辅助线是解题的关键． 延长交于点，先证明，则，，而，则，再由即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，继而推导出是等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：在等腰直角中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故答案为：10． 13．如图，在等边中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，合理证明全等是解题的关键． 利用等腰三角形的性质证出，得到，由为等边三角形，证出为等边三角形，再利用等边三角形的性质求解即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ∴为等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14．(24-25八上·山东青岛北区·期末)将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它构建出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)DC与BE有怎样的关系？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ，即 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 15．(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点D坐标为 (2) (3)存在，，或 【分析】本题主要考查长方形的性质、三角形面积计算以及等腰三角形的存在性问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据题意得，，求得长方形的面积为24，根据直线能否将长方形的面积分为两部分，分别求出两部分的面积分别为8和16，设，根据三角形面积公式列式求出的面积为8和16，即可解答问题； （2）分点在上、上和上三种情况结合的面积讨论求解即可； （3）分点在上、上和上三种情况结合等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，且， ∴，， ∴长方形的面积为， 若直线将长方形面积分为两部分，则两部分面积分别为8和16． 设，则的面积为． 当的面积为8时，， 解得， 此时 当的面积为16时，， 解得（舍去）， 所以直线能将长方形面积分为两部分，点D坐标为； （2）解：当D在上时，的面积， 此时没有这样的； 当D在上时，设D运动的路程为t，则，则： 的底为，高为， 所以，面积为． 令， 解得， 所以，； 当D在上时，的面积为0，不符合要求． 综上，点D的坐标为； （3）解：∵， ∴； ①当时，，则，因为D在长方形边上，所以； ②当时，，，则． ③当时，则点在边的中点，即, 综上，点的坐标分别为，或． 16．在中，，，D是的中点，交于点G． (1)如图①，E为线段上任意一点，点F在线段上，且，连接与，过点F作，交直线于点H． ①试说明； ②判断与的数量关系并加以证明． (2)若E为线段的延长线上任意一点，点F在射线上，（1）中的其他条件不变，借助图②画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）②中得出的结论是否发生改变，请直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)画图见详解，，不变， 【分析】此题主要考查了全等三角形的证明以及利用已知画出图形，熟练掌握全等三角形的判定以及利用已知条件画出几何图形是考查重点． （1）①根据已知首先得出，进而求出，得出； ②利用已知首先得出与，再利用得出，进而得出； （2）根据题意画出图形，再利用②中方法即可得出． 【详解】（1）解：①证明：∵， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又是中点， ∴， ∴， ②由①知， 又 ∵， ∴， 即， 由①， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又中，， ∴， 在和中 ， ， ． （2）解：如图所示，不变，，． ， 证明：∵， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 又是中点， ∴， ∴， 又 ∵， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中 ， ， ． 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.3.2 等腰三角形的判定 题型一：根据“等角对等边”证明等腰三角形 1．(2024·陕西省西安市·模拟预测)已知：如图，，点E、F在线段上，且，．求证：是等腰三角形． 2．(24-25八下·广东佛山南海区灯湖中学·月考)如图，的高，相交于点且，求证：为等腰三角形． 3．(23-24九下·陕西榆林高新中学·期末)如图，试判断的形状，并说明理由． 4．(24-25八下·陕西汉中·期末)如图，是的边上的中点，，，垂足分别为，，且，求证：是等腰三角形． 5．(24-25八上·四川泸州泸县·期末)如图，在中，，于点D，是的外角的平分线． (1)求证：； (2)若平分交于点N，证明为等腰直角三角形． 6．(24-25八上·新疆阿克苏库车·月考)如图，在等边三角形中，点分别在上，且， 过 点作，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 7．(24-25八上·上海崇明区（五四制）·期末)如图，在，点是上一点，，，，，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形 题型二：根据“等角对等边”证明边相等 1．(24-25八·宁夏银川第十五中学·期中)如图，，．求证：． 2．(25-26九上·陕西西安新城区·月考)如图，在中，，点E在边上，连接，过点C作，连接，，求证：． 3．(24-25八上·内蒙古鄂伦春自治旗旗大杨树第一中学·期末)如图中，的平分线交于点P，过点P作，分别交于D，E．求证：． 4．(24-25八下·河南许昌东城区新时代精英学校·期末)如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区虹桥中学·模拟)如图，已知和均为等边三角形，且 ，的延长线交的延长线于点． 求证：． 题型三：根据“等角对等边”求边长 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·模拟)如图,中，角平分线交于交于E，若，  ，则等于(    ) A． B． C． D． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第一一三中学校·模拟)如图，中，是角平分线，交于E，交于D，若，，则等于（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．(24-25八下·江苏宿迁泗阳县·期中)如图，在△中，O是上的任意一点（不与点A、C重合）过点O平行于的直线l分别与、的外角的平分线交于点E、F．若，则的长是（    ） A．4 B． C．8 D．9 4．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·陕西延安延长县·期末)如图，在中，，分别交于点，连接，且．若，则的长为（   ） A．16.5 B．15.5 C．14 D．13 6．(24-25七上·河南商丘·期中)如图，在中，的角平分线与的外角平分线交于点D，过点D作，交于E，交于F，若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 题型四：利用等腰三角形的判定求角度 1．(24-25八下·安徽宿州第二初级中学·月考)如图，在中，，点，在上，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E在边上，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．(2024·甘肃省定西市·模拟预测)如图，在中，，将绕点B逆时针旋转后得到（点A的对应点是点，点C的对应点是点），连接，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·浙江台州路桥区·期末)如图，在中，于点，为上的点， ，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．(24-25八上·浙江温州苍南县·期中)如图，在中，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 6．(24-25八上·上海民办上宝中学·期末)如图，在中，．将绕C按逆时针方向旋转角后得，此时点B在上，交AB于点D．则的度数为 ． 7．(2025·湖南省株洲市天元区株洲市·期末)如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则 ． 题型五：利用等腰三角形的判定求周长 1．(24-25八·湖北襄阳樊城区第五中学·期末)如图，在中，，，，的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 2．(2025九·宁夏回族自治区银川市·三模)如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若，．则的周长是 ． 3．(24-25八上·辽宁大连第八十中学·月考)如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 4．如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 5．(2025·甘肃省天水市·一模)如图，O为三个内角平分线的交点，，将向下平移得到，分别与相交于点D、E，则图中阴影部分的周长为 ． 6．(24-25七下·上海杨浦区存志学校·月考)如图，中，，与的平分线交于点O，过O作，，分别交于点E、F，则的周长为 ． 7．(24-25七下·山东威海荣成实验学校（五四制）·期末)如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 题型六：等腰三角形的性质和判定综合解答题 1．如图，在三角形中，过点作交于点，若，求线段的长度． 2．(24-25八上·陕西西安蓝田县·期末)如图，和是等腰三角形，，，，在上截取，连接，，延长交于点P． (1)吗？请说明理由； (2)试说明平分． 3．(25-26八上·河南信阳罗山县彭新镇一中·月考)如图所示，中，，于点E，于点D，交于F． (1)若，求的度数； (2)若点F是的中点，求证：. 4．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·期末)如图，在中，，点D是边上一点，，交于点E，过点E作于点F． (1)求证：F为线段中点； (2)若D是中点，试说明与的数量关系，并说明理由． 5．(23-24八上·浙江宁波余姚姚江中学“中和杯”·期末)如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：等腰三角形； (2)若，求的度数． 6．(23-24八上·浙江台州海山教育联盟·期末)如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 7．如图，△中，，将△沿着翻折使点恰好落在上点处，且． (1)求证：； (2)延长交延长线于点，求证：； 8．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 9．如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点G． (1)吗？请说明你的理由； (2)试说明． 题型一：找出网格中等腰三角形的个数 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．(24-25七下·上海杨浦区存志学校·月考)如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．(24-25八上·福建福州仓山区·期末)如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 4．(23-24七下·河北保定清苑区·期末)如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（    ）个 A．2个 B．5个 C．3个 D．1个 5．(23-24八上·河南南阳镇平县·期末)如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，，两点都在格点上，点也是一格点，并且是等腰三角形，那么满足条件的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：利用等腰三角形的判定求面积 1．如图，在中，是边的中点，交于点交于点，若，则四边形的面积为 ． 2．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 3．如图，在四边形中，线段长，为直角，为，而且点到边的垂线段的长为，线段的长为，则四边形的面积为 ． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道里区第一一三中学·模拟)如图，四边形中，，于点E，若，，则四边形的面积为 ． 5．(24-25八·辽宁大连中山区·期末)如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 6．如图，大小不一的两个等腰直角三角形用两种方法摆放，其中设两个三角形的直角边长分别为x和y（），则图中阴影部分的面积为 ． 7．(24-25七下·辽宁沈阳浑南区·期末)如图，在中，，在的左侧，以为斜边作等腰直角，连接，若，则的面积为 ． 8．(24-25八下·四川成都成华区·期末)如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是 ． 9．(24-25七下·四川成都邛崃·期末)如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含的三角尺，即等腰直角和等腰直角做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设，此时重叠部分四边形的面积为 ． 题型三：等腰三角形的性质与判定综合最值问题 1．(24-25八下·重庆大渡口区·期末)如图，在中，，，的面积为，点D是上一点（点D不与点B，C重合），点E是点D关于的对称点，点F是点D关于的对称点，连接、、、、、，则四边形面积的最大值为 ． 2．(24-25七下·江苏扬州·期末)如图，，点、分别在射线、上，，的面积为24，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 3．(24-25八下·贵州毕节大方县·期末)如图，在等腰中，于点分别为上的动点，连接，当的值最小时，的度数为 ． 4．(2025·陕西省西安市·一模)如图，四边形中，，对角线平分，且，则四边形面积最大值为 ． 5．(24-25七下·四川达州渠县第三中学·月考)如图，，于点，点、分别为、上的动点，且，．当取得最小值时，的度数是 ． 题型四：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 1．(24-25七下·上海民办至德实验学校·期末)在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰 纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时， ； (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在 是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 2．(24-25七下·陕西西安高新逸翠园初级中学·月考)问题提出 （1）如图，在和中，，，（），将绕点顺时针旋转，连接．当点落在边上且三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是_______，的度数为____________； （2）如图，已知等边三角形，，是其外一点，且，，求四边形的周长； 问题解决 （3）某市园林绿化部门在某小区门口的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为三角形，如图所示，段临街道有足够长度，是小道上某小区的入口（点不在点处），且米，设计人员准备将公园分成，两大部分，是内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计，，内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约元，留出适当大小的区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费） 3．(25-26八上·辽宁丹东第五中学·期末)如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【特殊情形，整体感知】 通过观察图1，线段与的数量关系是___________； (2)【转化应用，类比迁移】 在中，，，点O是直线上一动点（不与点C，B重合），线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接． 如图2，点O在边上时，猜想与的位置关系并说明理由； ②如图3，点O在的延长线上，若，当四边形的面积为18时，求点D到的距离； (3)【积累经验，拓展延伸】 若，，直接选出此时对应的α与β的数量关系___________． A．      B．   C．      D． 4．(24-25八下·吉林长春第一O三中学校·月考)如图，在中，，，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，到点停止，若点、点同时出发，当点到达终点时，点也停止运动，设点运动的时间为（秒）． (1)连结，当将的面积二等分时，求的值； (2)用含的代数式表示的长； (3)当时，求的面积； (4)当所在的直线与的某一边平行或垂直时，直接写出的值． 5．(24-25八上·吉林松原宁江区·期末)【问题情境】在等边的两边，上分别有两点M，N，点为外一点，且，，． 【特例探究】如图①，当时， （1）______度；______度； （2）与，之间的数量关系为______； 【归纳证明】如图②，当时，其他条件不变，猜想与，之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【拓展应用】的周长与的周长的比为______． 6．(23-24八上·湖南长沙雅礼教育集团·期末)【基础巩固】（1）如图1，在与中，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在与中，，与交于点F，，的面积为18，求的长． 7．(24-25七下·陕西咸阳渭城区底张镇·期末)如图，在等腰直角中，，点在的延长线上，连接．过点作，使，连接． 【问题提出】 （1）请判断与是否垂直，并说明理由； 【问题探究】 （2）如图2，若点为的中点，连接并延长至点，使，连接，，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 8．已知在中，，D为的中点． (1)如图，E、F分别是上的动点，且，求证：为等腰直角三角形； (2)在（1）的条件下，四边形的面积是否变化，证明你的结论； (3)若E、F分别为延长线上的点，仍有，其他条件不变，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 1．如图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则以，，三岛为顶点组成一个（   ） A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，平分，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．(25-26八上·重庆六校联考·月考)如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．(24-25八上·辽宁鞍山海城西部、北部集团·期中)如图， ， 点 A 是 延长线上的一点， ， 动点P 从点 A 出发沿 以的速度移动，动点Q从点O出发沿 以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间， 当t等于多少时，是等腰三角形？（      ） A．10 B．2.5 C．5 D．2.5 或5 7．(24-25七下·广东佛山南海区桂城街道·期末)如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 8．如图，一艘轮船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，2小时后到达处，此时灯塔在处的北偏西方向上，从灯塔望点的视角，则处到灯塔的距离为 海里． 9．如图，四边形中，平分，若，，．则 ． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨南岗区工大附中·期末)在中，，为的角平分线，过C点作的垂线交于点F，垂足为E，若，则 ． 11．(23-24八上·浙江宁波余姚姚江中学“中和杯”·期末)如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）． 12．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 13．如图，在等边中，，为上一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，求证：． 14．(24-25八上·山东青岛北区·期末)将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它构建出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC． (1)请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)DC与BE有怎样的关系？请说明理由． 15．(24-25八上·四川泸州合江县第五片区·期中)如图，在平面直角坐标系中，长方形的点坐标为，边在轴上，边在轴上，点从运动，速度为1单位长度/秒，到达点停止运动． (1)当在上运动时，直线能否将长方形的面积分为两部分，若能，求点的坐标，若不能，请说明理由； (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？并求此时点的坐标． (3)是否存在点，使以点、点、点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．在中，，，D是的中点，交于点G． (1)如图①，E为线段上任意一点，点F在线段上，且，连接与，过点F作，交直线于点H． ①试说明； ②判断与的数量关系并加以证明． (2)若E为线段的延长线上任意一点，点F在射线上，（1）中的其他条件不变，借助图②画出图形．在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）②中得出的结论是否发生改变，请直接写出结论，不必证明． 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $