12.1.2 定理与证明（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”核心知识点，承接命题知识，通过复习命题定义、结构及分类导入，结合刘徽正负数定义等实例引出公理、定理概念，构建从概念辨析到证明步骤的学习支架，帮助学生理清几何推理体系。 其亮点在于以规范推理和概念辨析为核心，通过补全证明依据、“等角的余角相等”证明等实例培养推理意识，结合中考考点设计分层练习，助力学生掌握逻辑表达，教师可高效开展同步教学与培优。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 12.1.2 定理与证明 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 12.1.2定理与证明 同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕12.1.2定理与证明核心知识点编写，承接上一节命题知识，是几何逻辑推理的核心内容。重点考查基本概念辨析（公理、定理、证明）、公理与定理的区别、几何证明的步骤规范、依据判断、简单几何推理证明。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生理清几何推理体系，掌握证明题书写规范，突破概念混淆、证明依据乱套、步骤缺失等高频易错问题。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列关于公理的说法正确的是（） A. 经过推理证实的真命题 B. 不需要证明，公认的真命题 C. 错误的命题 D. 可以举反例推翻的命题 2. 下列属于定理的是（） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 同角的余角相等 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3. 几何证明的最终目的是（） A. 猜测命题真假 B. 通过推理证实命题为真命题 C. 随便书写步骤 D. 举反例否定命题 4. 下列说法错误的是（） A. 公理一定是真命题 B. 定理一定是真命题 C. 真命题一定是定理 D. 假命题不能作为定理 5. 证明几何命题时，每一步推理的依据不能是（） A. 公理 B. 定理 C. 已知条件 D. 个人猜测 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 不需要证明的真命题叫做________；经过推理证明为真的命题叫做________。 2. 证明是从________出发，一步步推理，最终得出结论正确的过程。 3. “两点之间，线段最短”是几何________（填“公理”或“定理”）。 4. 定理都是________命题，但真命题不一定是定理。 5. 推理过程中，每一步都要有________，不能凭空得出结论。 三、解答题（共20分） 1. 区分下列语句是公理、定理还是一般真命题（8分） （1）对顶角相等 （2）两点确定一条直线 （3）同角的补角相等 （4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2. 补全证明过程，填写推理依据（6分） 已知：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，$$\angle1+\angle3=180^\circ$$，求证：$$\angle2=\angle3$$。 证明：∵ $$\angle1+\angle2=180^\circ$$（已知），∴ $$\angle2$$是$$\angle1$$的补角。 ∵ $$\angle1+\angle3=180^\circ$$（已知），∴ $$\angle3$$是$$\angle1$$的补角。 ∴ $$\angle2=\angle3$$（________）。 3. 简单证明：求证“等角的余角相等”（6分） 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：公理是人们在长期实践中总结出来、无需证明、公认正确的真命题。 2. C 解析：A、B、D均为基本公理，C是经过推理证明得到的定理。 3. B 解析：证明是严谨的推理过程，用于证实一个命题为真命题。 4. C 解析：真命题范围更大，只有经过证明、常用且重要的真命题才称为定理。 5. D 解析：几何推理依据只能是已知、定义、公理、定理，不能主观猜测。 二、填空题 1. 公理；定理 2. 已知条件（题设） 3. 公理 4. 真 5. 依据 三、解答题 1. 解：（1）定理；（2）公理；（3）定理；（4）公理。 2. 解：同角的补角相等（定理）。 3. 证明：已知$$\angle A=\angle B$$，$$\angle1$$是$$\angle A$$的余角，$$\angle2$$是$$\angle B$$的余角。 ∴ $$\angle1=90^\circ-\angle A$$，$$\angle2=90^\circ-\angle B$$。 又∵ $$\angle A=\angle B$$，∴ $$\angle1=\angle2$$。即等角的余角相等。 核心易错总结：1. 公理无需证明，定理必须经过推理证明；2. 定理一定是真命题，真命题不一定是定理；3. 几何证明必须步步有据，依据仅限已知、定义、公理、定理；4. 区分常见公理与定理，避免概念混淆；5. 证明过程书写要规范，逻辑清晰，不能跳步。 理解基本事实、定理等概念.（重点） 理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点 在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释. 刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用. 刘徽与 “正负数” 定义 复习回顾 问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式. 问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例 探究新知 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词. 我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明 “平行线”所包含的意义. 这样的语句叫做这些名词的定义. 想想看，你还学过哪些定义？ 回忆一下，我们学过哪些真命题？ （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短； （3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 这些都是公认的真命题，我们把它们视为基本事实. 基本事实： 公认的真命题视为基本事实. 它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点． 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 基本事实、定理、真命题之间的联系与区别： 命题 真命题 定理 从基本事实或其他真命题出发 可以作为进一步判断其他命题真假的依据 基本事实与定理的联系与区别： 联系：都是真命题，都是我们解决问题的依据. 区别：基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的. （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 =3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211. 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 不正确 计算一下2×3×5×7×11+1和2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？ （2）如图，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？ 不正确 （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 (n−2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实. 根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 证明： 证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等． 证明的依据： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 已知: 如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角. 求证: ∠1 +∠2 =180°. a b 3 2 1 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵a∥b(已知)， ∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， ∴∠1+∠2=180°(等量代换). 证明的一般步骤是： ①审清题意，找出命题中的条件和结论; ②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形; ③用数学语言写出“已知”“求证”; ④找出证明思路; ⑤写出证明过程，每一步都要有理有据; ⑥检查表达过程是否正确、完整． 由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 推论 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据. A 组 1.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明： （1）两个钝角的和大于平角； （2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等． 真命题. 假命题. 反例：如图，直线AC、AB被直线BC所截，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2. 随堂练习 2.判断命题“当a是整数时，a2≥a一定成立”是真命题还是假命题，并说明理由. 解：真命题. 理由：对于整数a， 当a>0时，a2>a；当a=0时，a2=a；当a<0时，a2>a. 综上所述，当a是整数时，a2≥a一定成立. 随堂练习 3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）全等三角形的对应角相等； （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等. 如果等腰三角形有一个角等于60°，那么这个等腰三角形是等边三角形. 随堂练习 4.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点E、F， 直线PQ分别交AB、CD于点S、T. 求证: ∠AST=∠STD. 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整. 证明 ∵AB⊥MN(已知)，CD⊥MN(已知)， ∴AB∥CD(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行). ______________________________________ ______________________________________ ______________________________________ ∴ ∠AST=∠STD(两直线平行，内错角相等). 随堂练习 5.如图，已知直线a、b、m、n，∠1=∠3. 求证：∠2=∠4.请补充完整下列证明的理由. 证明：∵∠1=∠3( )， ∴a∥b( ). ∴∠2=∠4( ). 已知 同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 随堂练习 B 组 6.如图，已知∠BAD+∠DCE=180°，AD//BC. 求证：AB//CD. A D B C E 证明：∵AD∥BC(已知)， ∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠BAD+∠DCE=180°(已知)， ∴∠ABC=∠DCE(同角的补角相等). ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行). 随堂练习 7.如图，已知∠B=∠C，AD//BC，点E在BA的延长线上. 求证：∠EAD=∠CAD. 证明：∵AD∥BC(已知)，∴∠EAD=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠CAD=∠C(两直线平行，内错角相等). ∵∠B=∠C(已知)， ∴∠EAD=∠CAD(等量代换). B C D E A 随堂练习 8.如图，已知∠B=∠E，AB//DE. 求证：BC∥AE. A B E D C 证明：∵AB∥DE(已知)， ∴∠A+∠E=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵∠B=∠E(已知)， ∴∠A+∠B=180°(等量代换). ∴BC∥AE(同旁内角互补，两直线平行). 随堂练习 返回 1．下列属于定义的是(　　) A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 D 中考考法 24 返回 2．“两点之间线段最短”是(　　) A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理 C 中考考法 25 返回 3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 中考考法 26 返回 4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为∠A＝∠C(已知)； ②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)； ③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)； ④所以∠B＝∠D(等量代换)； ⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)． 正确的顺序是________________． ②③①⑤④ 中考考法 27 5. 完成下面的推理填空： 已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G. 求证：AB∥CD. 证明：∵AF⊥CE(已知)， ∴∠CGF＝90°(垂直的定义)． ∵∠1＝∠D(已知)， ∴________∥________(_____________________________)， AF DE 同位角相等，两直线平行 中考考法 28 返回 ∴∠4＝∠CGF(____________________________)， ∴∠4＝90°. 又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°. 又∵∠2与∠C互余(已知)， ∴∠C＝∠3(同角的余角相等)， ∴AB∥CD(____________________________)． 两直线平行，同位角相等 90 内错角相等，两直线平行 中考考法 29 6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据 图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG， 可以添加的条件是________________________________； (2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明． 条件：________________________，结论：___________.(填序号) ∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一) (答案不唯一)①③ ② 证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD. ∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC. 返回 中考考法 30 7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________； 互相垂直 共线(或在一条直线上) 互相平行 互相平行 互相垂直 中考考法 31 【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性； ∥ 中考考法 32 【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的． ∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的． 返回 中考考法 33 证明：∵AB∥CD，∴∠GEB＝∠EFD. ∵EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD， ∴∠GEM＝∠GEB，∠EFN＝∠EFD， ∴∠GEM＝∠EFN，∴EM∥FN. $