12.1.2 定理与证明（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“定理与证明”核心知识点，通过复习命题的定义、结构及分类导入，逐步引出基本事实、定理的概念及证明的推理过程，构建从已知到新知的学习支架。 其亮点在于通过概念辨析题、补全证明过程、完整几何证明等分层练习，结合例题示范规范书写步骤，培养学生的推理意识和数学语言表达能力。核心考点总结帮助学生梳理知识体系，既让学生掌握严谨逻辑推理，也为教师提供梯度化教学资源，提升教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 12.1.2 定理与证明 第12章 全等三角形 12.1.2 定理与证明 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册12.1.2定理与证明知识点，紧扣基本事实、定理、证明的定义与区别、几何证明步骤、推理依据书写等核心考点。题型梯度清晰，覆盖概念辨析、基础填空、推理判断、完整几何证明书写，针对性解决学生混淆基本事实与定理、证明步骤混乱、漏写推理依据等高频问题，规范几何推理书写格式。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 人们长期实践总结出来，作为原始依据的真命题叫做________，也叫公理。 2. 经过________得到的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理的依据。 3. 根据条件、定义、基本事实、定理等，经过________来判断一个命题是否正确的过程，叫做证明。 4. 证明的每一步推理都要有________，不能凭空臆断。 5. “两点确定一条直线”属于________。（填“基本事实”或“定理”） 6. “对顶角相等”是________，需要通过推理证明得出。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列属于基本事实的是（） A. 对顶角相等 B. 两点之间，线段最短 C. 同角的余角相等 D. 两直线平行，内错角相等 2. 下列说法正确的是（） A. 定理不一定是真命题 B. 基本事实不需要证明 C. 真命题一定是基本事实 D. 假命题也可以作为推理依据 3. 下列属于定理的是（） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 以上都是 4. 几何证明过程中，每一步推理的依据不能是（） A. 已知条件 B. 个人猜测 C. 基本事实 D. 已证定理 5. 下列关于命题、定理、基本事实说法错误的是（） A. 基本事实是真命题 B. 定理是经过证明的真命题 C. 所有真命题都是定理 D. 命题有真有假 三、解答题（共50分） 1. 概念辨析（每题5分，共20分）：判断下列语句是基本事实、定理、一般命题。 （1）同角的补角相等 （2）两点确定一条直线 （3）相等的角是对顶角 （4）垂线段最短 2. 补全证明过程（14分）：已知：$$\angle1=\angle2$$，求证：$$\angle1$$与$$\angle2$$的补角相等。补全每一步推理依据。 3. 基础证明题（16分）：求证：同角的余角相等。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 基本事实 2. 证明推理 3. 推理 4. 依据 5. 基本事实 6. 定理 选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 解答题解析：1.（1）定理 （2）基本事实 （3）假命题 （4）基本事实 2. 证明：设$$\angle1$$的补角为$$\angle3$$，$$\angle2$$的补角为$$\angle4$$。 ∵$$\angle1+\angle3=180^\circ，\angle2+\angle4=180^\circ$$（补角定义） 又∵$$\angle1=\angle2$$（已知） ∴$$\angle3=\angle4$$（等角的补角相等） 3. 已知：$$\angle1+\angle2=90^\circ，\angle1+\angle3=90^\circ$$，求证：$$\angle2=\angle3$$。 证明：∵$$\angle1+\angle2=90^\circ$$，$$\angle1+\angle3=90^\circ$$（已知） ∴$$\angle2=90^\circ-\angle1，\angle3=90^\circ-\angle1$$（等式性质） ∴$$\angle2=\angle3$$（等量代换） 核心考点总结：基本事实（公理）：无需证明，直接作为推理基础；定理：经过严格证明的真命题，可用于推理；证明核心：步步有依据（已知、定义、公理、定理）；几何证明必须逻辑严谨、步骤完整、依据准确，是后续几何大题书写的核心基础。 学习目标 1.理解基本事实、定理等概念.（重点） 2.理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点） 学习目标 复习回顾 问题1：什么是命题？命题的结构是什么？ 定义：判断一件事情的语句. 构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成. 命题常写成“如果……那么……”的形式. 问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 真命题和假命题 举反例 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义. 例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义. 讨论：你能举出其他类似的例子吗? 定义、定理与证明 1 讨论：判断下列命题哪些是真命题? 哪些是假命题? (1) 内错角相等,两直线平行； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 (4)(5)是公认的真命题. (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 基本事实：我们将这些命题视为基本事实，它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点. 思考：你能举例说出几个学过的基本事实吗? 2. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1. 两点之间线段最短. 3. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). (1) 内错角相等,两直线平行 定理： 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 真命题 “内错角相等,两直线平行”这条定理就是在“同位角相等，两直线平行”这个基本事实的基础上推理而出的，它又可以作为判定平行线的依据. （1）一位同学在钻研数学题时发现： 2 + 1 = 3， 2×3 + 1 = 7， 2×3×5 + 1 = 31， 2×3×5×7 + 1 = 211， 于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数 2 开始，排在前面的任意多个质数的乘积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？ 试一试：计算一下 2×3×5×7×11 + 1 与2×3×5×7×11×13 + 1，你发现了什么？ 结果都是质数. 思考 (2) 如图，一位同学在画图时发现：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部. 他的结论正确吗？ 不正确. 如钝角三角形. （3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论：n 边形的内角和等于(n - 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一规律？ 实际上，这是一个正确的结论. 上面的几个例子说明了什么问题？ 通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 探讨归纳 命题 真命题 假命题 基本事实 一般举一个反例即可 定理 基本事实是定理推导的起点，无需证明但被广泛接受为真. 定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题. 定义，命题，基本事实，定理之间的区别与联系： 定义是命题、基本事实和定理的基础，明确了它们的讨论范围. 定义 归纳总结 证实其他命题的正确性 推理 推理的过程叫证明 经过证明的真命题叫定理 定义、基本事实 一些条件 ＋ 归纳总结 例1 证明命题：直角三角形的两个锐角互余. 已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 求证：∠A +∠B = 90°. 证明：∵∠A + ∠B + ∠C = 180°， (三角形的内角和等于 180°)， 又∵∠C = 90° (已知)， ∴∠A +∠B = 180° -∠C = 90°(等式的性质). A B C 典例精析 此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理. 方法归纳：演绎推理是研究数学的一个重要方法.除了基本事实与已知的定理外，等式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据. 例2　两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. b a ( 2 ) 1 ) 3 你能根据图写出此定理的已知和求证吗？ 证明：我们将∠1的同位角记为∠3. ∵ a∥b (已知)， ∴∠1 =∠3 (两直线平行，同位角相等).　 已知：如图，直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角. 求证：∠1 + ∠2 = 180°. ∴ ∠1 + ∠2=180°(等量代换). 又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)， 典例精析 练 习 1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小题（1）所示的定理： （1）同旁内角互补，两直线平行； 解：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； 结论：这两条直线平行. 随堂练习 已知：如图，直线a、b被直线c所截，∠1+∠2=180°. 求证：a∥b. 证明：∵∠1+∠3=180°(平角的定义)， ∠1+∠2=180°(已知)， ∴∠2=∠3(同角的补角相等)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 随堂练习 （2）三角形的外角和等于360°. 解：如果三个角分别是一个三角形的三个外角，那么这三个角的和等于360°. 条件：三个角分别是一个三角形的三个外角； 结论：这三个角的和等于360°. 随堂练习 已知：如图，△ABC中，∠DAC，∠EBA，∠BCF为△ABC 的外角． 求证：∠DAC+∠EBA+∠BCF=360°． 证明：由题意，可得∠BAC+∠CAD=180°， ∠ABC+∠EBA=180°，∠BCA+∠BCF=180°， ∴∠BAC+∠CAD+∠ABC+∠EBA+∠BCA+ ∠BCF=540°． 由三角形内角和定理知：∠BAC +∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DAC+∠EBA+∠FCB=540°−180°=360°． 即三角形外角和等于 360°． 随堂练习 2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由. 解：假命题.理由：如图，直线AB、AC被直线BC所截，∠2与∠1是内错角，但∠2≠∠1. 随堂练习 3.如图，已知∠B=50°，∠C=70°，点D、E分别在AB、BC上，且∠ADE=120°.求证：DE∥AC. 对于上述问题，请将下列证明过程补充完整. 证明 ∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等 于180°)， ∠B=50°(已知) ，∠C=70°(已知)， ∴∠A=60°(等式的性质). ____________________________________， ____________________________________， ____________________________________. ∵∠ADE=120°(已知) ∴∠A+∠ADE=180° ∴DE∥AC(同旁内角互补，两直线平行) 随堂练习 返回 1．下列属于定义的是(　　) A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 D 考试考法 24 返回 2．“两点之间线段最短”是(　　) A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理 C 考试考法 25 返回 3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 考试考法 26 返回 4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为∠A＝∠C(已知)； ②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)； ③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)； ④所以∠B＝∠D(等量代换)； ⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)． 正确的顺序是________________． ②③①⑤④ 考试考法 27 5. 完成下面的推理填空： 已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G. 求证：AB∥CD. 证明：∵AF⊥CE(已知)， ∴∠CGF＝90°(垂直的定义)． ∵∠1＝∠D(已知)， ∴________∥________(_____________________________)， AF DE 同位角相等，两直线平行 考试考法 28 返回 ∴∠4＝∠CGF(____________________________)， ∴∠4＝90°. 又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°. 又∵∠2与∠C互余(已知)， ∴∠C＝∠3(同角的余角相等)， ∴AB∥CD(____________________________)． 两直线平行，同位角相等 90 内错角相等，两直线平行 考试考法 29 6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据 图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG， 可以添加的条件是________________________________； (2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明． 条件：________________________，结论：___________.(填序号) ∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一) (答案不唯一)①③ ② 证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD. ∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC. 返回 考试考法 30 7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________； 互相垂直 共线(或在一条直线上) 互相平行 互相平行 互相垂直 考试考法 31 【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性； ∥ 考试考法 32 【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的． ∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的． 返回 考试考法 33 定义、定理与证明 基本事实 定理的概念 证明 步骤：(1) 根据题意作出图形； (2) 写出已知和求证； (3) 写出证明的过程 概念 定义 课堂小结 证明：∵AB∥CD，∴∠GEB＝∠EFD. ∵EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD， ∴∠GEM＝∠GEB，∠EFN＝∠EFD， ∴∠GEM＝∠EFN，∴EM∥FN. $