第12讲 频率与概率、随机事件的独立性（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（沪教版必修第三册）

第12讲 频率与概率、随机事件的独立性 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：概率与频率 知识点02：事件的运算 知识点03：事件的关系 知识点04：随机事件独立性的定义 知识点05：独立事件的概率乘法公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：计算频率 题型02：辨析概率与频率的关系 题型03：用频率估计概率 题型04：独立事件的判断 题型05：相互独立事件与互斥事件 题型06：独立事件的乘法公式 题型07：独立事件的实际应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 【例1】某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，重复试验500次，正面朝上的次数为248次，求本次试验正面朝上的频率，并说明概率取值。 解：步骤1：根据频率公式计算频率 步骤2：分析概率 硬币质地均匀，正面朝上为古典概型，固有概率为定值：。 结论：本次试验正面朝上频率为，正面朝上概率为，试验次数越多，频率越趋近于概率。 【知识点02】事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 【例2】已知随机事件满足，，，求与。 解：步骤1：计算并事件概率 步骤2：计算对立事件概率 结论：，。 【知识点03】事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 【例3】已知，，且事件互斥，求。若对立，判断是否成立？ 解：步骤1：互斥事件概率计算 互斥，则 步骤2：对立事件判定 若对立，则需满足，而，故A、B不对立。 结论：互斥时，两事件不满足对立关系。 【知识点04】随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 【例4】已知，，，判断事件是否相互独立。 解:根据独立事件定义：若，则两事件独立。 已知： 满足 。 结论：事件相互独立。 【知识点05】独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 【例5】已知事件相互独立，且，，求事件同时发生的概率。 解:步骤1：判定条件 由题可知相互独立，可使用独立事件乘法公式。 步骤2：代入公式计算 结论：。 【题型01】计算频率 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【分析】根据频率的计算公式计算即可. 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【答案】C 【分析】用72乘以每一种球对应的频率可得答案. 【详解】由题意得口袋中红球的数目为个， 黄球的数目为个， 蓝球的数目为个. 故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 【答案】 【分析】求出第一季度出生的男婴数和婴儿总数，计算其比值即可得解. 【详解】由题意第一季度出生的男婴数为64，出生的婴儿总数为， 所以今年第一季度该医院男婴的出生频率为. 【题型02】辨析概率与频率的关系 【典例2-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数为（   ） A．7840 B．160 C．7998 D．1600 【答案】A 【分析】利用概率的意义求解即可. 【详解】，所以估算该厂8000件产品中合格品的件数为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【答案】D 【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误， 对于B，C，太过绝对，故错误， 对于D，符合概率的估算方法，故正确． 故选：D. 【变式2-2】抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案. 【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确； 对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确. 故选：B 【变式2-3】某事件的概率是，下列说法正确的是________． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 【答案】（1）（3） 【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可． 【详解】事件的概率是，发生的可能性是，（1）正确； 通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在10000个试验中，应该事件发生9700次左右，不一定发生9700次，（2）错误； 因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大， 频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动．（3）正确； 故答案为：（1）（3）. 【题型03】用频率估计概率 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论实验多少次，概率始终不变， 故第2021次出现正面朝上的概率是，故D正确. 故选：D 【变式3-1】在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 【答案】16 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 【变式3-2】某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______. 【答案】/0.614 【分析】根据经验概率的定义可求出结果. 【详解】依题意使用药物后胆固醇降低的人数为，又试验总次数为， 所以使用药物后胆固醇降低的经验概率等于. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁及以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁及以上 8 2 10 现从该校教职工中任选1人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历； (2)35岁及以上； (3)35岁及以下且具有研究生学历． 【答案】(1)(2)(3)． 【分析】（1）根据表中的数据求出具有本科学历的人数，从而利用频率来衡量概率； （2）根据表中的数据求出35岁及以上的人数，从而利用频率来衡量概率； （3）根据表中的数据求出35岁及以下且具有研究生学历的人数，从而利用频率来衡量概率. 【详解】（1）由题意得，P（具有本科学历）． （2）由题意得，P（35岁及以上）． （3）由题意得，P（35岁及以下且具有研究生学历）． 【题型04】独立事件的判断 【典例4-1】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 【变式4-1】（2025高二·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概念进行判定. 【详解】不放回地依次取出两个，事件的结果用“”表示，，表示第一次取出的小球的编号， 表示第二次取出的小球的编号，基本事件有，共种， 事件 ，事件 ， 事件 ，事件 . 事件 ，事件 ， 事件 ， 事件 ， 则，，， ，，，， 所以，所以与不相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； ，所以与相互独立； 故选：A 【变式4-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为________． 【答案】③④ 【分析】根据独立事件的概念与性质逐一分析即可. 【详解】①：， ，故事件不是独立事件； ②：事件的发生对事件有影响，故事件不是独立事件； ③：， ，故事件是独立事件； ④：第一次的结果对第二次的结果不影响，故事件是独立事件. 故答案为：③④. 【变式4-3】（25-26高二下·上海·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，：第一次正面，：两次结果相同；验证两个事件的独立性． 【答案】独立． 证明：由题意，事件为两次均为正面，故， 因为，， 故； 故； ∴两事件独立． 【分析】根据积事件的概率与两个事件的概率的乘积是否相等判断独立性即可． 【详解】略 【题型05】相互独立事件与互斥事件 【典例5-1】已知事件A，B满足，，若A与B相互独立，则 （     ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【分析】根据独立事件的性质即可求解. 【详解】当A与B相互独立时，可知也相互独立， 则. 【变式5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 【变式5-2】已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 【变式5-3】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【分析】根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果. 【详解】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 【题型06】独立事件的乘法公式 【典例6-1】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断． 【详解】A与B是独立事件，则与也是独立事件，与，与也是独立事件， 所以，， 由，则不一定成立， 故选：D． 【变式6-1】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为每一关都有两次机会，所以需要计算通过每一关的总概率，包括第一次机会通关的概率和第一次机会没有通关但第二次机会通关的概率，从而可求出能进入第三关的概率. 【详解】因为每一关都有两次闯关机会，所以通过第一关的总概率为： . 通过第二关的总概率为： . 所以选手能进入第三关的概率为： . 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二下·上海·期中）已知事件与相互独立，假设，则__________. 【答案】0.4/ 【详解】因事件与相互独立，则， 故. 【变式6-3】甲､乙两人进行乒乓球决赛，采用五局三胜制.对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互相独立. (1)在乒乓球比赛中，如果一方连胜最终获得比赛的胜利，那么将其形象地称之为“剃光头”.求甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率； (2)在乒乓球比赛中，如果实力较弱的一方最终获得比赛的胜利，那么将其称之为“爆冷门”，求甲､乙的这场乒乓球决赛“爆冷门”的概率. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别计算甲、乙连胜三局的概率，相加即可得到结果； （2）分析可知乙实力较弱，将乙共用三局、四局和五局获得比赛胜利的概率相加即可求得结果. 【详解】（1）甲连胜三局的概率为，乙连胜三局的概率为， 甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率为. （2）甲每局比赛获胜的概率大于乙每局比赛获胜的概率，乙实力较弱， “爆冷门”的概率. 【题型07】独立事件的实际应用 【典例7-1】某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设开出A款的概率为，那么开出B款的概率为. ，解得. 所以. 【变式7-1】某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】/ 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 【变式7-2】俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【答案】 【分析】由题知，俞女士每次投篮结果互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件，即，她至多四次投篮就能结束分篮次数为2次，篮次数为3次，篮次数为4次解决即可. 【详解】由题知，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，每次投篮结果互不影响， 记俞女士每次投篮命中为事件，即， 因为连续两次命中就结束投篮练习， 所以 投篮次数为2次就能结束的概率为， 投篮次数为3次就能结束的概率为， 投篮次数为4次就能结束的概率为， 所以她至多四次投篮就能结束的概率为. 【变式7-3】甲、乙两人下棋，每局胜的可能性一样．某一天两人要进行一次五局三胜的比赛，最终胜者获得160元奖金，第一场比赛甲胜后，因为其他事而中止比赛，问如何分160元奖金才公平?帕斯卡和费尔马均认为应该依两人最终赢的可能性大小按比例来分．按照这种方式请你算一算甲乙两人各分得多少奖金? 【答案】甲110元，乙50元 【分析】讨论比赛三局、四局、五局的情况，由独立事件的乘法公式得出甲，乙最终赢的概率，进而得出甲和乙的奖金. 【详解】当比赛三局分出胜负时，甲一定获胜，其概率为 当比赛四局分出胜负时，甲获胜的概率为 当比赛五局分出胜负时，甲获胜的概率为 即甲最终赢的概率为，乙最终赢的概率为 故甲的奖金为元，乙的奖金为元 知识点01频率与概率 1. 基本概念 在相同条件下进行次重复试验，事件发生的次数为频数。 频率计算公式： 概率定义：当试验次数充分增大时，频率会逐渐稳定在一个固定常数，该常数即为随机事件的概率。 2. 核心性质与区别 （1）频率是随机变量，随试验次数改变，是试验统计结果； （2）概率是固定常数，是随机事件本身的固有属性，与试验无关； （3）概率取值范围：； （4）必然事件：，不可能事件：； （5）大数定律：试验次数越多，事件频率越趋近于事件概率。 知识点02随机事件的基本运算 设为同一样本空间内的两个随机事件 1. 并事件（和事件） 定义：事件发生或事件发生，记作。 通用概率加法公式： 2. 交事件（积事件） 定义：事件与事件同时发生，记作，可简写为。 3. 对立事件（补事件） 定义：样本空间中除去事件的剩余事件，记作，与有且仅有一个发生。 核心公式： 知识点03随机事件的四种关系 1. 包含关系 若事件发生必然导致事件发生，则称，满足。 2. 相等关系 若且，则，满足。 3. 互斥关系（互不相容） 定义：事件不能同时发生，即。 核心结论： 互斥事件加法公式： 4. 对立关系 定义：满足且，两事件对立。 重要结论：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立。 知识点04随机事件的独立性 1. 独立性定义 若事件的发生与否，不会改变事件发生的概率，则事件与事件相互独立。 2. 数学判定条件 （1）条件概率判定（）： （2）乘积判定（通用必考）： 3. 独立事件衍生性质 若相互独立，则： 与、与、与 均相互独立。 补充：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立。 知识点05独立事件概率乘法公式 1. 二元独立公式 若相互独立，则两事件同时发生的概率： 2. 多元独立推广公式 若两两相互独立，则： 知识点06高频易错易混核心辨析 1. 频率与概率：频率是试验所得的可变值，概率是事件固有的固定理论值。 2. 互斥与独立：互斥是“不能同时发生”，满足；独立是“发生互不影响”，满足；非空事件无法同时满足互斥与独立。 3. 互斥与对立：对立事件概率和为1，且非此即彼；互斥事件仅不同时发生，概率和可小于1。 一、填空题 1．如果事件A与B独立，则下列几组事件也独立的是___________. （1）A与；（2）与；（3）与B. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】利用独立事件的概念即得. 【详解】∵事件A与B独立， ∴A与，与，与B，也是独立事件. 故答案为：（1）（2）（3）. 2．（24-25高一下·上海·期末）已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为________． 【答案】 【分析】根据独立事件的概率相乘即可得到结果. 【详解】因为游戏玩家第一关通过的概率为0.9，第二关通过的概率为0.7， 所以游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为： . 故答案为：0.63. 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 4．（25-26高二下·上海·期中）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 【答案】 【详解】由事件与独立可得： ， 代入，， 计算得：. 5．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 【答案】0.51/ 【分析】根据频率公式计算即可. 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 6．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【分析】利用频率估计概率进行分析即可求解. 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 7．在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金_______元． 【答案】9000 【分析】根据前3局打成时，利用独立事件乘法公式求出胜2局者和胜1局者获胜的概率，即可得答案. 【详解】甲乙两队水平相当，故任意一局比赛，甲胜概率为，乙胜概率， 不妨设前三局中甲胜2场，乙胜1场，剩下甲获胜的情况是： 第四局甲胜或者第四局甲输同时第五局甲胜， 此情况下,甲获胜的概率为， 所以乙胜的概率为， 所以前3局打成时，2局胜利者与1局胜利者奖金分配应为， 若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见， 应该发放给已胜两场者奖金为（元）， 故答案为：9000. 8．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 【答案】/ 【分析】先确定出现一次偶数或一次奇数的概率，然后求出两次都是偶数和两次都是奇数的概率，最后相加即可. 【详解】根据题意可得出现偶数的概率为，出现奇数的概率为， 则骰子滚动了两次，两次都是偶数的概率为， 两次都是奇数的概率为， 则两次出现的数字之和为偶数的概率是. 故答案为： 9．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【分析】利用独立重复试验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 10．（24-25高三上·上海·阶段检测）甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为__________. 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.. 【详解】已知甲投中的概率为，乙投中的概率是. 所以两人中恰有一人投中的概率为. 故答案为：. 11．（25-26高二下·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 【答案】/ 【详解】对三个元件进行标号，如下图所示： 设事件表示“元件a接通”，事件表示“元件b接通”，事件表示“元件c接通”，且. 电路接通需要a接通，且b或c接通，即，其中，所以. 故电路接通的概率为. 12．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为________． 【答案】④ 【分析】根据概率的定义即可得解. 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为8 【答案】C 【分析】由事件相互独立的乘法公式，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， ，共18个基本事件，所以， 设事件为“第二次朝上面的数字是奇数”，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为“第二次朝上面的数字是2”，则，所以事件与事件不是独立事件，故B错误； 设事件为“两次朝上面的数字之和是9”，则共4个基本事件，则，因为事件，所以，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件为“两次朝上面的数字之和是8”，则共5个基本事件，则，因为事件，所以，所以，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C． 14．（24-25高二·上海·课堂例题）某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了3个问题就闯关成功的概率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题知选手恰好回答了3个问题就闯关成功的概率为， 故选：B. 15．（24-25高二下·上海青浦·期末）有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（   ）. A．甲与丙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概型的概率求得每个事甲，乙，丙，丁四事件的概，进而利用相互独立事件的定义逐项计算判断即可.. 【详解】分别标有数字从中有放回地随机取两次，总的方法数有种， 其中甲事件包含6种情况， 乙事件包含6种情况， 丙事件包含4种情况， 丁事件包含5种情况， 所以甲，乙，丙，丁. 对于A，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不相互独立，故A不正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不相互独立，故B不正确； 对于C，丙丁，所以丙丁丙丁，所以丙与丁不相互独立，故C不正确； 对于D，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故D正确. 故选：D. 16．（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】对于A，因为，，， 则，故A、B互斥，A错误； 对于B，因为，所以A、D互斥且对立，B错误； 对于C，因为，，A、D对立， 则，C与D不互斥，C错误； 对于D，由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D. 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 【答案】不独立 【分析】根据概率公式求出、、，再由相互独立事件的概率公式判断是否独立． 【详解】答案：，， ， ，所以事件不独立． 18．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 【答案】(1) (2)相互独立，证明见解析 【分析】（1）利用古典概型求解概率即可； （2）根据事件独立的定义计算判断即可； 【详解】（1）因为每次抽取都有4种可能，两次抽取相互独立， 共包含个基本事件 其中事件包含3个基本事件． 所以； （2）一次抽取两张共包含6个基本事件， 事件，所以．． 事件所以． 事件所以， 因为，所以事件C和D相互独立． 19．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 20．国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算满意的总人数，再利用频率公式计算满意率. （2）先确定的取值范围及对应的基本事件总数，再确定满足 “女性顾客不少于男性顾客” 的基本事件数，最后利用古典概型公式计算概率. 【详解】（1）根据题意，，， 所以游客对景区的满意率. （2）因为，，， 所以满意的顾客中，男性和女性的人数对所有可能为：，，，，，，共个数对， 其中的有：，共个数对， 所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率. 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求相应人数和频率，即可得结果； （2）分析可知从该校日均户外活动时长低于1小时、不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为、，结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 频率与概率、随机事件的独立性 （知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：概率与频率 知识点02：事件的运算 知识点03：事件的关系 知识点04：随机事件独立性的定义 知识点05：独立事件的概率乘法公式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：计算频率 题型02：辨析概率与频率的关系 题型03：用频率估计概率 题型04：独立事件的判断 题型05：相互独立事件与互斥事件 题型06：独立事件的乘法公式 题型07：独立事件的实际应用 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】概率与频率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 【例1】某同学抛掷一枚质地均匀的硬币，重复试验500次，正面朝上的次数为248次，求本次试验正面朝上的频率，并说明概率取值。 【知识点02】事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 【例2】已知随机事件满足，，，求与。 【知识点03】事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 常用结论： 1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 【例3】已知，，且事件互斥，求。若对立，判断是否成立？ 【知识点04】随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 【例4】已知，，，判断事件是否相互独立。 【知识点05】独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则 【例5】已知事件相互独立，且，，求事件同时发生的概率。 【题型01】计算频率 【典例1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）某口袋中有大小、质地均相同的红色、黄色、蓝色玻璃球共72个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红、黄、蓝球的频率依次为35%、25%和40%，试估计口袋中三种玻璃球的数目是（    ） A．35个、25个、12个； B．15个、18个、39个； C．25个、18个、29个； D．29个、25个、18个． 【变式1-2】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【变式1-3】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 【题型02】辨析概率与频率的关系 【典例2-1】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数为（   ） A．7840 B．160 C．7998 D．1600 【变式2-1】（25-26高二上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【变式2-2】抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【变式2-3】某事件的概率是，下列说法正确的是________． （1）发生的可能性是； （2）在10000个试验中，事件发生9700次； （3）随着试验次数的不断增大，发生的频率逐渐稳定到，且在它附近摆动． 【题型03】用频率估计概率 【典例3-1】（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 【变式3-2】某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表所示. 胆固醇降低的人数 没有起作用的人数 胆固醇升高的人数 307 120 73 则使用药物后胆固醇降低的经验概率等于______. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课堂例题）某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁及以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁及以上 8 2 10 现从该校教职工中任选1人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历； (2)35岁及以上； (3)35岁及以下且具有研究生学历． 【题型04】独立事件的判断 【典例4-1】（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【变式4-1】（2025高二·上海·专题练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回地依次取出两个球，表示事件“取出的两球不同色”，表示事件“第一次取出的是黑球”，表示事件“第二次取出的是黑球”，表示事件“取出的两球同色”，则下列判断错误的是（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式4-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知下列各组事件： ①抛掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M：出现的点数为奇数，事件N：出现的点数为偶数； ②袋中有除颜色外完全相同的5个白球5个黄球，依次不放回地摸两次，事件M：第1次摸到白球，事件N：第2次摸到白球； ③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：第1枚为正面朝上，事件N：两枚朝上的结果相同； ④一枚硬币抛掷两次，事件M：第一次为正面朝上，事件N：第二次为反面朝上． 其中M、N是独立事件的序号为________． 【变式4-3】（25-26高二下·上海·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，：第一次正面，：两次结果相同；验证两个事件的独立性． 【题型05】相互独立事件与互斥事件 【典例5-1】已知事件A，B满足，，若A与B相互独立，则 （     ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【变式5-1】（24-25高三下·上海·阶段检测）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【变式5-2】已知事件与相互独立，且，则（    ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【变式5-3】抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【题型06】独立事件的乘法公式 【典例6-1】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）如果A与B是独立事件，与分别是A与B的对立事件，那么以下等式中不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·上海松江·阶段检测）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为、．只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二下·上海·期中）已知事件与相互独立，假设，则__________. 【变式6-3】甲､乙两人进行乒乓球决赛，采用五局三胜制.对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果互相独立. (1)在乒乓球比赛中，如果一方连胜最终获得比赛的胜利，那么将其形象地称之为“剃光头”.求甲､乙的这场乒乓球决赛“剃光头”的概率； (2)在乒乓球比赛中，如果实力较弱的一方最终获得比赛的胜利，那么将其称之为“爆冷门”，求甲､乙的这场乒乓球决赛“爆冷门”的概率. 【题型07】独立事件的实际应用 【典例7-1】某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【变式7-2】俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率. 【变式7-3】甲、乙两人下棋，每局胜的可能性一样．某一天两人要进行一次五局三胜的比赛，最终胜者获得160元奖金，第一场比赛甲胜后，因为其他事而中止比赛，问如何分160元奖金才公平?帕斯卡和费尔马均认为应该依两人最终赢的可能性大小按比例来分．按照这种方式请你算一算甲乙两人各分得多少奖金? 知识点01频率与概率 1. 基本概念 在相同条件下进行次重复试验，事件发生的次数为频数。 频率计算公式： 概率定义：当试验次数充分增大时，频率会逐渐稳定在一个固定常数，该常数即为随机事件的概率。 2. 核心性质与区别 （1）频率是随机变量，随试验次数改变，是试验统计结果； （2）概率是固定常数，是随机事件本身的固有属性，与试验无关； （3）概率取值范围：； （4）必然事件：，不可能事件：； （5）大数定律：试验次数越多，事件频率越趋近于事件概率。 知识点02随机事件的基本运算 设为同一样本空间内的两个随机事件 1. 并事件（和事件） 定义：事件发生或事件发生，记作。 通用概率加法公式： 2. 交事件（积事件） 定义：事件与事件同时发生，记作，可简写为。 3. 对立事件（补事件） 定义：样本空间中除去事件的剩余事件，记作，与有且仅有一个发生。 核心公式： 知识点03随机事件的四种关系 1. 包含关系 若事件发生必然导致事件发生，则称，满足。 2. 相等关系 若且，则，满足。 3. 互斥关系（互不相容） 定义：事件不能同时发生，即。 核心结论： 互斥事件加法公式： 4. 对立关系 定义：满足且，两事件对立。 重要结论：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立。 知识点04随机事件的独立性 1. 独立性定义 若事件的发生与否，不会改变事件发生的概率，则事件与事件相互独立。 2. 数学判定条件 （1）条件概率判定（）： （2）乘积判定（通用必考）： 3. 独立事件衍生性质 若相互独立，则： 与、与、与 均相互独立。 补充：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立。 知识点05独立事件概率乘法公式 1. 二元独立公式 若相互独立，则两事件同时发生的概率： 2. 多元独立推广公式 若两两相互独立，则： 知识点06高频易错易混核心辨析 1. 频率与概率：频率是试验所得的可变值，概率是事件固有的固定理论值。 2. 互斥与独立：互斥是“不能同时发生”，满足；独立是“发生互不影响”，满足；非空事件无法同时满足互斥与独立。 3. 互斥与对立：对立事件概率和为1，且非此即彼；互斥事件仅不同时发生，概率和可小于1。 一、填空题 1．如果事件A与B独立，则下列几组事件也独立的是___________. （1）A与；（2）与；（3）与B. 2．（24-25高一下·上海·期末）已知某游戏玩家玩一款过关游戏，第一关通过的概率是0.9，第二关通过的概率是0.7，则该游戏玩家连续通过第一关和第二关的概率为________． 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 4．（25-26高二下·上海·期中）已知事件发生的概率，事件发生的概率，若事件与独立，则______. 5．（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 6．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 7．在某项比赛中，两个水平相当的选手在决赛中相遇，决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金，前3局打成2:1时比赛因故终止．若发放奖金总额为12000元，为公平合理起见，应该发放给已胜两场者奖金_______元． 8．当一个不均匀的骰子滚动的时候，出现偶数的概率是奇数的3倍.骰子滚动了两次则出现的数字之和为偶数的概率是_______. 9．（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 10．（24-25高三上·上海·阶段检测）甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为__________. 11．（25-26高二下·上海·期中）如图所示的电路中，每个元件接通的概率均为且相互独立，则这个电路接通的概率为________. 12．（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为________． 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·阶段检测）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（    ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为8 14．（24-25高二·上海·课堂例题）某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了3个问题就闯关成功的概率等于（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海青浦·期末）有个质地大小相同的球，分别标有数字从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（   ）. A．甲与丙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．丙与丁相互独立 D．甲与乙相互独立 16．（24-25高三上·上海·期中）对于一个古典概型的样本空间和事件、、、，其中，，，，，，，，则（    ）（注：表示集合的元素个数） A．与不互斥 B．与互斥但不对立 C．与互斥 D．与相互独立 三、解答题 17．（25-26高二上·上海·阶段检测）为迎接我校校庆，社团联组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类．校庆当日，志愿者小玲负责在服务点发放纪念品．在做准备工作时，小玲清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向社团联申请补领，其余纪念品的份数如下表所示： 书签 明信片 手绘款 40 普通款 150 120 设每位抵达的校友可以随机抽取1份纪念品，小玲补领了手绘款明信片50张．记事件： “首位抵达的校友抽到手绘款纪念品”，事件：“首位抵达的校友没有抽到明信片”，判断事件是否独立． 18．（25-26高二上·上海·期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片． (1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求； (2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明． 19．（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 20．国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 21．（25-26高三上·上海·阶段检测）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%. 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值. (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； 1 学科网（北京）股份有限公司 $