第13讲 随机事件的独立性（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高二数学辅导讲义（沪教版2020必修第三册）

第13讲 随机事件的独立性 【知识梳理】 1、随机事件独立性的定义 （1）一般地，当时，就称A与B相互独立（简称独立），事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率. （2）如果事件A与B相互独立，则 与B，A与，与也相互独立. （3）对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2、独立事件的概率乘法公式 （1）若A与B相互独立，则，同时，， ; (2)若两两独立，则. 【例题解析】 例1．甲、乙两人各掷一个骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：甲得到的点数为2，B：乙得到的点数为奇数. （1）求，判断事件A与B是否相互独立； （2）求 解：如果用表示甲得到的点数，乙得到的点数，则样本空间可以记为： 而且这个样本空间可用如图直观表示. （1）不难看出，图中橙色框中的点代表事件A，绿色框中的点代表事件B 因此，可以算出 又因为， 所以 因为，所以A与B相互独立. (2)由A与B相互独立可知，与B也相互独立，因此： 【解题方法】 有两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立． 【变式练习】 坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　) A．互斥的事件 B．相互独立的事件 C．对立的事件 D．不相互独立的事件 解析：∵P(A1)＝.若A1发生了，P(A2)＝＝；若A1不发生，P(A2)＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，∴A1与A2不是相互独立事件． 答案：D 例2．. (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 (2)掷一颗骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互独立 B．相互独立但不互斥 C．互斥且相互独立 D．既不相互独立也不互斥 解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件． (2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件． [答案]　(1)A　(2)B 【解题方法】 随机事件互斥的区别与联系 （1）二者都是刻画随机事件的关系 （2）两事件互斥是指两个随机事件不会同时发生，此时 两事件独立是指两个事件不相互影响，此时 【变式练习】 已知下列各对事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”． (2)一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”． (3)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”． 其中为相互独立事件的有(　　) A．(1)(2)　 B．(1)(3) C．(2) D．(2)(3) 答案：B 例3．.已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8 （1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少？ （2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少？ 解：（1）记事件A：甲投中，B：乙投中，因为A与B相互独立，所以 即都命中的概率为0.56 （2）记事件：甲第i次投中，其中，则 恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次没投中，也可能是第一次没投中且第二次投中，即 注意到与相互独立，且互斥，因此： 【变式练习】 甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是(　　) A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1) C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2) 解析：恰好有1人解决可分为：甲解决乙