2.3 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过“观察与猜想”活动引导学生解方程填表发现两根和积与系数的关系，再结合求根公式完成理论推导，衔接已学的求根公式知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以探究式学习为主线，设置基础巩固、能力提升、拓展挑战分层练习，涵盖求对称式值、参数求解、构造方程等应用，融入“设而不求”思想，培养学生的抽象能力、推理能力和应用意识，帮助学生感悟数学对称美与内在逻辑，提升问题解决能力。

2026年新初三数学《苏科版》第二章预习导学案 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 （*本导学案新版苏科版教材和苏科版（2012）均适用*） 1、 学习目标 1. 理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并能用求根公式完成推导。 2. 能运用根与系数的关系，不解方程求关于两根的对称式（如、等）的值。 3. 已知方程的一根，利用根与系数的关系求另一根及参数。 4. 已知两根，会构造以这两根为根的一元二次方程。 5. 体会"设而不求"的代数思想，感受数学内在的对称美。 二、探究发现 2.1 观察与猜想 活动1：解下列方程，并将两根及其和、积填入表中。 答案如下： 观察与猜想：对于一元二次方程，两根与系数有什么关系？ 2.2 理论证明 对于一般形式，当时，由求根公式： 计算两根之和： 计算两根之积： 3、 韦达定理 特殊形式：当时（即时），。 历史链接：法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète，1540—1603）首次系统地用字母表示未知数和系数，并发现了根与系数的这一重要关系，被后人尊称为"代数学之父"。因此，一元二次方程根与系数的关系又称韦达定理。 **注意**：韦达定理的前提是方程有实数根，即。若，方程无实数根，韦达定理在实数范围内无意义。 4、 常见变形（重点） 在不解方程的前提下，利用韦达定理求关于两根的对称式，是中考高频考点。 5、 韦达定理的应用 应用一：已知一根求另一根及参数 例1 已知方程的一个根是，求的值及另一个根。 例2 已知是方程的两根，不解方程，求下列各式的值： （1） （2） （3） 应用三：已知两根构造方程 例3 已知一个一元二次方程的两根分别为3和，求方程。 6、 韦达定理与判别式的综合 常见陷阱：使用韦达定理前，务必先确认方程有实数根（），或题目已说明"有两根"。 例4 关于的方程的两根为，且满足，求m的值。 7、 练习题 A. 基础巩固 1. 方程的两根之和与两根之积分别是（　） A. B. C. D. 2. 若是方程的两根，则=________________。 3. 已知方程的一个根是2，则另一个根为__________，__________。 4. 以1和为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的两根分别为，则 答案如下： 1. A;2. 8;3. ；4. A；5. B. 能力提升 6. 已知是方程的两根，不解方程求的值。 7. 已知是方程的两根，求的值。 8. 关于的方程有2个实数根，且，求k的值。 9. 已知实数满足，求以为根的一元二次方程。 10. 若是方程的两根，求的值。（立方和公式为： ） 答案如下： 6. 7. 8. 9. 10. C. 拓展挑战 11. 已知是方程的两实数根。 （1） 求m的取值范围； （2） 若，求m的值。 12. 设是方程的两个实数根，求的值。 13. 已知是方程的两个实数根。 （1） 求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2） 若等腰三角形的底边长，两腰长恰好是方程的两根，求。 答案如下： 11. （1）m为任意实数。（2） 12. 13. （1）证明略，思路：算可知其≥0；（2） 8、 课堂小结 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $