专题06 概率（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 概率专题期末试题汇编，涵盖有限样本空间、古典概型等6大考点，精选陕西、山西等多地区期末真题，注重基础概念与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|约30题|事件关系、概率性质等基础概念|结合“掷硬币”“抽奖”等生活情境| |多选|约10题|互斥与对立事件、独立性判断|设计电器元件测试等复杂场景| |填空|约10题|样本空间、古典概型计算|融入“抛掷骰子”“卡片抽取”模型| |解答题|约10题|分层抽样、频率估计概率等综合应用|包含算盘计数、电路连通等跨学科问题|

专题06 概率 高频考点概览 考点01有限样本空间与随机实验 考点02事件的关系和运算 考点03古典概型 考点04概率的基本性质 考点05 事件的相互独立性 考点06 频率与概率 ( 考点01 有限样本空间与随机实验 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任取一个数为质数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）下列事件是随机事件的是（    ） ①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上； ②异性电荷相互吸引； ③在标准大气压下，水在时结冰； ④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（24-25高一下·青海西宁·期末）有下列事件： ①在标准大气压下，水加热到时会沸腾； ②实数的绝对值不小于零； ③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖． 其中必然事件是（    ） A．② B．③ C．①②③ D．②③ 5．（24-25高一下·宁夏青铜峡·期末）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 二、多选题 6．（24-25高一下·山西长治·期末）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（    ） A． B．事件和事件互为互斥事件 C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品” D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品” 7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 三、填空题 8．（24-25高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 四、解答题 9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？ ( 考点0 2 事件的关系和运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 3．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（    ） A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 4．（24-25高一下·陕西省西安市·期末）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 5．（24-25高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 6．（24-25高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 7．（24-25高一下·山西晋城·期末）记， 分别为事件， 的对立事件，如果事件， 互斥，那么（   ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定互斥 二、多选题 8．（24-25高一下·宁夏银川市·开学考试）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与不是互斥事件 C． D． 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（    ） A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点 C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 ( 考点0 3 古典概型 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西运城·期末）从这10个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高一下·陕西·期末）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中随机抽取1个球，此球恰好为红球的概率是_____ 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于3”的概率是___________. 6．（24-25高一下·山西忻州·期末）从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为__________________. 三、解答题 8．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计40个男生成绩样本数据的平均值； (2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； 9．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 10．（24-25高一下·青海西宁·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 ． 2．（24-25高一下·山西吕梁·期末）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 4．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 5．（24-25高一下·青海西宁·期末）下列叙述错误的是(　　) A．若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1 B．互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 C．两个对立事件的概率之和为1 D．对于任意两个事件A和B,都有P(A∪B)=P(A)+P(B) 6．（24-25高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 三、填空题 8．（24-25高一下·山西临汾·期末）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________. 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人下中国象棋，和棋的概率为0.3，甲获胜的概率为0.2，则乙不输的概率为______. 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． (1)求，的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． ( 考点0 5 事件的相互独立性 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球､2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（    ） A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“都是白球”与“都是黑球”是对立事件 C．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 D．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 2．（24-25高一下·青海海东·期末）一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球.记事件为“取出的球都是白球”，事件为“取出的球都是红球”，事件为“取出的球中至少有一个白球”，则下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是对立事件 D．与是互斥事件，但不是对立事件 二、多选题 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）设随机事件，发生的概率分别为，，则以下说法正确的有（    ） A．若，为互斥事件，则 B．若，互相独立，则 C．若，则，互相独立 D． 5．（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 三、填空题 6．（24-25高一下·宁夏银川·期末）电路从A到上共连接着个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到连通的概率是 _________.    7．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 8．（24-25高一下·陕西榆林·期末）甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 9．（24-25高一下·山西大同·期末）乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为________． 四、解答题 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 11．（24-25高一下·青海西宁·期末）在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率； （Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率. 12．（24-25高一下·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． ( 考点0 6 频率和概率 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 3．（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 二、多选题 4．（24-25高一下·山西太原·期末）下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 6．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 三、填空题 7．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________. 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）某种福利彩票的中奖概率为0.1％，若某人买这种彩票999次，均未中奖，则此人第1000次买这种彩票中奖的概率为__________． 四、解答题 9．（24-25高一下·宁夏银川·期末）为了解市民对A，B两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用A，B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人，对这两个品牌的单车进行评分，满分60分．根据调查，得到A品牌单车评分的频率分布直方图，和B品牌单车评分的频数分布表：      根据用户的评分，定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下： 评分 满意度指数 （1）求对A品牌单车评价“满意度指数”为的人数； （2）从对A，B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率； 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率 高频考点概览 考点01有限样本空间与随机实验 考点02事件的关系和运算 考点03古典概型 考点04概率的基本性质 考点05 事件的相互独立性 考点06 频率与概率 ( 考点01 有限样本空间与随机实验 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据随机事件的概念直接判断即可. 【详解】一质点从平面直角坐标系的原点开始，等可能地向上、下，左、右四个方向移动是随机的等可能，每次移动一个单位长度，观察该点移动3次后的位置，则事件“该点位于第一象限”是随机事件. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）有下列事件：①篮球运动员罚球命中；②在自然数集中任取一个数为质数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数.上述事件中为随机事件的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据随机事件以及必然事件的概念，进行判断，可得答案. 【详解】①篮球运动员罚球命中,是随机事件； ②在自然数集中任取一个数可能为质数，也可能不是质数，故属于随机事件； ③在标准大气压下，水在100 ℃时一定沸腾，是必然现象，故为必然事件； ④设为偶函数，它们的公共定义域为集合M,当时，， 则，即任意两个偶函数之和在公共定义域上必为偶函数， 为必然事件， 故随机事件有2个， 故选：C 3．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）下列事件是随机事件的是（    ） ①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上； ②异性电荷相互吸引； ③在标准大气压下，水在时结冰； ④任意掷一粒均匀的骰子，朝上的点数是偶数. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据事件的定义判断各选项中事件的类型，可得出结论. 【详解】①④中的事件为随机事件，②中的事件为必然事件，③中的事件为不可能事件. 故选：D. 4．（24-25高一下·青海西宁·期末）有下列事件： ①在标准大气压下，水加热到时会沸腾； ②实数的绝对值不小于零； ③某彩票中奖的概率为，则买100000张这种彩票一定能中奖． 其中必然事件是（    ） A．② B．③ C．①②③ D．②③ 【答案】A 【分析】根据必然事件一定发生逐一判断即可. 【详解】事件分为随机事件、必然事件和不可能事件，必然事件是一次试验中必然发生的事件. 因为在标准大气压下，水加热到才会沸腾，所以①不是必然事件； 因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件； 因为某彩票中奖的概率为，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件． 故选：A． 5．（24-25高一下·宁夏青铜峡·期末）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性，从而选出正确答案. 【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象 故选：D 二、多选题 6．（24-25高一下·山西长治·期末）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（    ） A． B．事件和事件互为互斥事件 C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品” D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品” 【答案】BD 【分析】根据题意逐项分析即可判断出结果. 【详解】A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以，故A错误； B：事件为前两次均测试出次品，事件为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确； C：事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误； D：事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确. 故选：BD. 7．（24-25高一下·陕西汉中·期末）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【答案】AB 【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可. 【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确， 在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品， 则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误； 在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误. 故选：AB 三、填空题 8．（24-25高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【答案】 【分析】按照表示“第枚硬币正面朝上”， 表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上” ，表示“第枚硬币反面朝上”写出即可． 【详解】事件空间： . 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高一下·山西吕梁·期末）某学校有1200名学生，随机抽出300名进行调查研究，调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全相同的10个红球，10个绿球和10个白球的袋子.调查中有两个问题： 问题1：你的阳历生日月份是不是奇数？ 问题2：你是否抽烟？ 每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出后再放回袋中）.若摸到红球就如实回答第一个问题，若摸到绿球，则不回答任何问题；若摸到白球，则如实回答第二个问题.所有回答“是”的调查者只需往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的被调查者什么也不用做.最后收集回来53个小石子，估计该学校吸烟的人数有多少？ 【答案】36 【解析】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是，从而可得回答各个问题以及不回答问题的人数，进而可得回答第一个问题是“是”的人数，根据石子数得出100人中抽烟的人数，从而估计出该学校吸烟的人数. 【详解】由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个红球，绿球，白球的概率都是. 即我们期望大约有人回答了第一个问题， 人不回答任何问题， 人回答了第二个问题. 在回答阳历生日月份是奇数的概率是. 因而回答第一个问题的100人中，大约有50人回答了“是”. 所以我们能推出，在回答第二个问题的100人中，大约有3人回答了“是”. 即估计该学校大约有3%的学生抽烟，也就是全校大约有36人抽烟. 【点睛】本题考查了概率的应用，解题的关键是理解题干各个量之间的关系，属于基础题. ( 考点0 2 事件的关系和运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念可得结果. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西渭南·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（    ） A．甲与丙是互斥事件 B．乙与丙是对立事件 C．甲与丁是对立事件 D．丙与丁是互斥事件 【答案】D 【分析】根据对立事件以及互斥事件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则两次取球的情况有， 所以事件甲丙可能同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，是互斥不对立的事件，B错误； 对于C，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则两次取球的情况有等，所以甲丁可能同时发生，不是互斥事件，C错误； 对于D，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”， 丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，两个事件不会同时发生，是互斥事件，D正确； 故选：D． 3．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是（    ） A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 【答案】A 【解析】概率的事件可以认为是概率为的对立事件． 【详解】事件“2张全是移动卡”的概率是，由对立事件的概率和为1，可知它的对立事件的概率是，事件为“2张不全是移动卡”，也即为“2张至多有一张是移动卡”． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查对立事件，解题关键是掌握对立事件的概率性质：即对立事件的概率和为1，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题. 4．（24-25高一下·陕西省西安市·期末）2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（    ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件 【答案】A 【分析】事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解. 5．（24-25高一下·山西大同·期末）打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【答案】B 【分析】理解题意即可选出正确答案. 【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 故选：B. 6．（24-25高一下·山西长治·期末）已知事件，互斥，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件，互斥 D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义及性质判断A、B、D，利用反例说明C. 【详解】对于A：因为事件，互斥，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：如抛掷一枚质地均匀的骰子，事件，事件，满足，互斥， 但是，，显然，不互斥，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：C 7．（24-25高一下·山西晋城·期末）记， 分别为事件， 的对立事件，如果事件， 互斥，那么（   ） A．是必然事件 B．是必然事件 C．与一定互斥 D．与一定互斥 【答案】B 【详解】由题意事件， 互斥，则，∴为必然事件，故选B． 二、多选题 8．（24-25高一下·宁夏银川市·开学考试）在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是（    ） A．与为对立事件 B．与不是互斥事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】通过分析事件，从而判断事件的关系. 【详解】从中任意抽出3件产品，共有4种情况：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品. 事件的可能情况有：3件产品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品， 事件的可能情况有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件产品都是正品. 与为对立事件，故A正确； {2件次品1件正品，1件次品2件正品}，则与不是互斥事件，故B正确； ，，故C正确； 由上知，故D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的随机事件不可能是（    ） A．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点 B．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点 C．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点 D．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点 【答案】ABC 【分析】根据随机事件的相关概念逐一判断各个选项即可. 【详解】因为记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为， 所以第一枚掷出5点，第二枚掷出2点时，， 第一枚掷出3点，第二枚掷出3点时，， 第一枚掷出1点，第二枚掷出2点时，， 第一枚掷出6点，第二枚掷出2点时，， 所以表示的随机事件不可能是A,B,C，可能是D. 故选：ABC ( 考点0 3 古典概型 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可. 【详解】对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是偶函数； 对于定义域为， 令，则， 是非奇非偶函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙、丙准备在茶话会上表演节目，假设他们三人出场先后的可能性相等，则乙比丙先出场的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】甲、乙、丙三人出场顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种， 其中乙比丙先出场为甲乙丙，乙甲丙，乙丙甲共3种， 所以乙比丙先出场的概率为， 故选：B 3．（24-25高一下·山西运城·期末）从这10个数中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用列举法求解出古典概型的概率. 【详解】， 其中个位数字是的有，共2个， 所以所求概率为， 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高一下·陕西·期末）已知甲盒中有3个红球和2个黄球，乙盒中有2个红球和1个黄球．现从甲盒中随机抽取1个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中随机抽取1个球，此球恰好为红球的概率是_____ 【答案】/ 【分析】分从甲盒中取出的球是红球和黄球两种情况求概率，然后相加可得. 【详解】若从甲盒中抽到黄球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为， 若从甲盒中抽到红球放入乙盒，则从乙盒中抽到红球的概率为， 所以从乙盒中抽到红球的概率为. 故答案为： 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于3”的概率是___________. 【答案】 【分析】根据古典概型概率公式即可求出抛掷一次出现“正面向上的点数小于3”的概率. 【详解】由题意，在一枚质地均匀的六面体骰子中， 骰子共6个面，上面的6个数字为， 点数小于3的数字有和2，共2个面， ∴将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次， 出现“正面向上的点数小于3”的概率是：， 故答案为：. 6．（24-25高一下·山西忻州·期末）从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 【答案】 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【详解】10，11，12，13，14，15这6个正整数中质数有11和13两个， 则从中任取两个数，所有样本点构成的空间为，共15个样本点， 记事件“从中任取两个数，恰有1个质数”， 则共有8个样本点， 所以从中任取两个数，恰有1个质数的概率为. 故答案为： 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为__________________. 【答案】 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】，设事件“两张卡片上的数字之和为奇数”，则 ， 所以. 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计40个男生成绩样本数据的平均值； (2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得的值，根据平均数的计算公式计算得平均数即可； （2）先根据分层抽样求出男女生人数，再由古典概率计算可得. 【详解】（1）由图形可得，解得， 估计40个男生成绩样本数据的平均值； （2）男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人， 则抽取男生人数为，女生人数为3人， 设男生为，女生为， 抽取两人的情况为：，共10种， 再从中抽取2人，这2人中男生女生各1人的情况为： 所以概率为. 9．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 【答案】(1) (2)84分钟 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解. （2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解. （3）先根据分层抽样的方法确定位于分组，和的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以，解得. （2）因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以第75百分位数落在. 设第75百分位数为m， 由，解得， 故第75百分位数为84， 所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟. （3）由题意，阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为， 所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为， 则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为. 则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点. 设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”， ，含有6个样本点. 所以， 所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为. 10．（24-25高一下·青海西宁·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： (1)用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； (2)估计这40名同学周末学习时间的分位数. 【答案】(1)； (2)8.75小时. 【分析】（1）借助分层抽样的性质得出在和中分别抽取的人数后，借助列举法得出所有的基本事件及符合要求的基本事件后即可得解； （2）借助百分位数定义计算即可得. 【详解】（1）由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 周末的学习时间在的人数为人， 从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为； 周末的学习时间在的有2人，记为； 则再从中选派3人接受检测的基本事件有， ，共有20个， 其中检测的3人来自同一区间的基本事件有，共有4个， 所以检测的3人来自同一区间的概率； （2）学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以分位数在区间内， 则， 所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时. ( 考点0 4 概率的基本性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西大同·期末）袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概率为（　　） A．0.64 B．0.72 C．0.76 D．0.82 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率公式即可求解. 【详解】设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， 所以，即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76． 故选C． 2．（24-25高一下·山西吕梁·期末）甲，乙两人下棋，甲不输的概率是0.7，两人下成平局的概率是0.5，则甲胜的概率是（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】将甲不输棋的事件进行分拆，再利用互斥事件概率的加法公式即可得解. 【详解】甲不输棋的事件A是甲胜乙的事件B与甲乙下成平局的事件C的和，显然B，C互斥， 而，又，于是得， 所以甲胜的概率是0.2. 故选：A 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（   ） A．恰有1名同学是女生 B．恰有两名同学是女生 C．至少有1名同学是男生 D．至少有1名同学是女生 【答案】C 【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得. 【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 4．（24-25高一下·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【答案】D 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断. 【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 5．（24-25高一下·青海西宁·期末）下列叙述错误的是(　　) A．若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1 B．互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件 C．两个对立事件的概率之和为1 D．对于任意两个事件A和B,都有P(A∪B)=P(A)+P(B) 【答案】D 【详解】概率的加法公式的适用条件是事件A,B必须是互斥的,选项D中事件A和B是任意的,没有说明是互斥的,所以选项D是错误的,故选D. 6．（24-25高一下·宁夏固原·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，由对立事件的性质求解即可. 【详解】因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立， 所以甲获胜的概率为. 故选：. 二、多选题 7．（24-25高一下·山西运城·期末）已知、是随机事件，则下列结论不正确的是（    ） A．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若、是两个随机事件，且，，则 【答案】BCD 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A选项；取可判断BC选项；举特例可判断D选项. 【详解】对于A选项，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，A对； 对于B选项，当时，事件与事件中至少有一个发生的概率一定和与中恰有一个发生的概率相等，B错； 对于C选项，当时，事件与事件同时发生的概率一定与与中恰有一个发生的概率相等，C错； 对于D选项，抛掷骰子一次，记事件向上的点数不小于，记事件向上的点数不大于， 则，所以，D错. 故选：BCD. 三、填空题 8．（24-25高一下·山西临汾·期末）乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________. 【答案】 【分析】先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果 【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分 所以概率为 【点睛】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题. 9．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人下中国象棋，和棋的概率为0.3，甲获胜的概率为0.2，则乙不输的概率为______. 【答案】0.8 【分析】乙不输即是甲不胜，从甲获胜的对立面进行考虑即可． 【详解】乙不输即是甲不胜，甲获胜的概率为0.2， 所以甲不胜的概率为1-0.2=0.8，即乙不输的概率为0.8． 故答案为：0.8． 四、解答题 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了名学生作为样本，将他们每周的运动时长（单位：小时）分成，，，，，六组．根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在样本中，运动时长在内的学生比在内的学生少10人． (1)求，的值； (2)求样本学生运动时长的中位数； (3)若在，内的样本学生运动时长的平均数分别为10和14，方差分别为5和1，求在内的样本学生运动时长的方差． 【答案】(1)， (2)11.2 (3)7.25 【分析】（1）分别算出已知组别的频率，利用频率之和为1算出未知组别的频率，再用频率除以组距算，用分别表示出运动时长在内的学生人数和在内的学生人数，结合已知条件算； （2）明确中位数所以组别，列方程求解中位数即可； （3）先计算出在内的样本学生运动时长的平均数，再利用相关公式计算方差即可. 【详解】（1）运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：，运动时长在内的频率：， 由频率之和为1知，运动时长在内的频率为：， 故， 运动时长在内的学生人数为：，运动时长在内的学生人数为：， 依题意，，解得. 综上，，. （2）前两组和的频率之和为，前三组，，的频率之和为， 故样本学生运动时长的中位数出现在第三组，设为， 则，解得. 综上，样本学生运动时长的中位数为11.2. （3）在内的样本数为，在内的样本数为， 所以在内的样本学生运动时长的平均数为， 根据公式，在内的样本学生运动时长的方差为： . ( 考点0 5 事件的相互独立性 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个白球､2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则（    ） A．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“都是白球”与“都是黑球”是对立事件 C．“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”相互独立 D．“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件，对立事件与相互独立事件的定义逐个判断即可 【详解】对A，“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”均包含“一个白球一个黑球”的情况，故A错误； 对B，“都是白球”与“都是黑球”不能同时发生，但是可以都不发生，故为互斥事件，但不是对立事件，故B错误； 对C，事件“第一次摸到的是白球”的概率， 事件“第二次摸到的是黑球”的概率， 又， 因为，故“第一次摸到的是白球”与“第二次摸到的是黑球”不相互独立，故C错误； 对D，“至少有一个白球”包含“都是白球”， “一个白球一个黑球”， 所以“至少有一个白球”与“都是黑球”是对立事件，故D正确； 故选：D 2．（24-25高一下·青海海东·期末）一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球.记事件为“取出的球都是白球”，事件为“取出的球都是红球”，事件为“取出的球中至少有一个白球”，则下列结论正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是对立事件 D．与是互斥事件，但不是对立事件 【答案】A 【分析】列出取出3个球的所有可能的情况，根据互斥事件和对立事件的概念逐一排除即可. 【详解】根据题意，一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球，有4种情况： ①全部都是白球，即事件， ②1个红球，2个白球， ③2个红球，1个白球， ④3个红球，即事件， 事件包括①②③， 故与是对立事件，事件是事件的子事件，与是互斥事件，但不是对立事件，则A正确，B、C、D错误. 故选：A. 【点睛】本题考查互斥事件、对立事件的概念，要分清对立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 二、多选题 3．（24-25高一下·陕西汉中·期末）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 【答案】CD 【分析】A利用概率的乘法公式和加法公式计算；B利用对立事件的概率公式计算；C结合AB选项，再利用对立事件的概率公式计算；D解不等式即可. 【详解】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得， 则的取值范围，故D正确. 故选：CD 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）设随机事件，发生的概率分别为，，则以下说法正确的有（    ） A．若，为互斥事件，则 B．若，互相独立，则 C．若，则，互相独立 D． 【答案】AC 【分析】由互斥事件加法公式计算可判断A；由独立事件乘法公式计算可判断B；由条件概率公式及相互独立事件概念可判断C；由随机事件加法公式计算可判断D. 【详解】对于A，若，为互斥事件，则，故A正确； 对于B，若，互相独立，则，故B错误； 对于C，若，则， 因为，所以，故互相独立，故C正确； 对于D，随机事件，发生的概率分别为，， 所以，故D错误. 故选：AC. 5．（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 6．（24-25高一下·宁夏银川·期末）电路从A到上共连接着个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率是，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路．则从A到连通的概率是 _________.    【答案】 【分析】根据条件求出A到连通的概率为；到连通的概率为，即可求出A到连通的概率. 【详解】由题意可知A到连通的概率为； 到连通的概率为， 故D到连通的概率为， 所以A到连通的概率为． 故答案为： 7．（24-25高一下·陕西渭南·期末）在如图所示的电路图中，开关a，b，c正常工作的概率分别为，且是相互独立的，则灯亮的概率是__________. 【答案】 【分析】利用相互独立事件同时发生乘法公式，结合对立事件来求解即可. 【详解】设“开关a，b，c正常工作”分别为事件，由题意可知事件是相互独立的， 则灯亮这一事件为，所以 故答案为：. 8．（24-25高一下·陕西榆林·期末）甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 【答案】0.94 【分析】由对立事件的概念和独立事件的乘法公式可得. 【详解】记“甲、乙击中目标的事件”分别为A，B.则，两人都没有击中的概率， 所以目标被击中的概率为. 故答案为：0.94. 9．（24-25高一下·山西大同·期末）乒乓球比赛一般是11分制，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．则事件“且甲获胜”的概率为________． 【答案】0.1/ 【分析】通过题意推导出事件“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果． 【详解】由题意可知，事件“前两球甲、乙各得1分，后两球均为甲得分”， 所以， 故答案为：0.1. 四、解答题 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”. (1)求事件A，B的概率. (2)求事件、的概率. 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，由个位数是5的数的个数可求；由被3整除三位数的个数可求； （2）根据和事件的概率公式和积事件的性质即可得解. 【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. 由题意要使得组成的三位数能被3整除， 则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以事件发生的概率. 故，. （2）因为表示，组成的三位数既能被3整除，又能被5整除， 555既能被3整除，又能被5整除， 所以. 因为表示，组成的三位数能被3整除或能被5整除， 所以. 故，. 11．（24-25高一下·青海西宁·期末）在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率； （Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率. 【答案】(1);(2). 【分析】（Ⅰ）设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，利用互斥事件以及独立事件的概率公式求解即可；Ⅱ）由，结合，可得，利用，即可的结果. 【详解】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是互斥事件. 由条件可得，， （Ⅰ）由对立事件的概率公式知 ， 所以任取一张，中一等奖的概率为； （Ⅱ）∵，而 ∴， 又，∴ 所以任取一张，中三等奖的概率为. 【点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件的概率，属于简单题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 12．（24-25高一下·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束．根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立． (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示“第场比赛甲获胜”，用表示“打完两场比赛结束”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解； （2）用表示“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”，则，应用独立事件和互斥事件的概率运算公式求解. 【详解】（1）用表示“第场比赛甲获胜”， 则用表示“打完两场比赛结束”， 则. （2）若“比赛结束时，甲获胜的次数大于乙”为事件，则， 所以 . ( 考点0 6 频率和概率 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（    ） A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为，则比赛4场，甲一定胜3场 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．事件，满足，则 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【分析】根据概率的定义及性质判断即可. 【详解】对于A，甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，是指每场比赛，甲胜的可能性为， 则比赛场，甲可能胜场、3场、2场、1场、0场，故A错误； 对于B，随机试验的频率是变化的，概率是频率的稳定值，是固定的，故B错误； 对于C：事件，满足，则，故C错误； 对于D，天气预报中，预报明天降水概率为，是指降水的可能性是，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一下·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 3．（24-25高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 二、多选题 4．（24-25高一下·山西太原·期末）下列结论正确的是（    ） A．任何事件的概率总是在内 B．随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C．抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D．随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 【答案】BD 【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：任何事件的概率总是在内，例如必然事件的概率为1，故A错误； 对于选项B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率， 但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且随机事件中至少有一个发生的概率为， 中恰有一个发生的概率为， 所以随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率，故D正确； 故选：BD. 5．（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可． 【详解】对于A，次品率是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误； 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确； 对于C，“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件”每次投骰子出现1的概率是， 连续10次出现1的概率是，虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误； 对于D，概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果（5次中1次）来直接确定，这只是这次试验的频率，不是概率，故D错误． 本题选择不正确的，故选：ACD． 6．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，故A错误； 对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确； 对于CD，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是，故CD错误. 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为__________. 【答案】0.3 【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算． 【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环， 所以概率为． 故答案为：0.3． 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）某种福利彩票的中奖概率为0.1％，若某人买这种彩票999次，均未中奖，则此人第1000次买这种彩票中奖的概率为__________． 【答案】0.1％ 【分析】根据概率的意义判断各选项即可. 【详解】概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为. 故答案为：0.1％ 四、解答题 9．（24-25高一下·宁夏银川·期末）为了解市民对A，B两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用A，B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人，对这两个品牌的单车进行评分，满分60分．根据调查，得到A品牌单车评分的频率分布直方图，和B品牌单车评分的频数分布表：      根据用户的评分，定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下： 评分 满意度指数 （1）求对A品牌单车评价“满意度指数”为的人数； （2）从对A，B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率； 【答案】（1）20； （2）. 【分析】（1）根据频率分布直方图可以直接求出答案；（2）对A，B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人，列出所有的6种情况，恰有1人是A品牌的有3种，即可求出所求概率． 【详解】（1）由A的频率分布直方图可知，对A评分低于30的频率为，(0.003+0.005+0.012)×10=0.2 所以评分低于30的人数为100×0.2=20. （2）对A评分在[0,10)范围内的有3人，设为； 对B评分在[0,10)范围内的有1人，设为N. 从这4人中随机选出2人的选法为： 共6种. 其中，恰有1人是A的选法为.共3种. 故概率为P(A)=. 【点睛】本题考查了频率分布直方图、概率问题，属于中档题． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $