黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学校2026年下学期期末考试 高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.数据2,3,8,5,4,2的中位数和平均数分别为（ A.3.5和2 B.3和4 C.4和2 D.3.5和4 2.已知复数z满足：=2+1 1-i 则z在复平面内对应的点所在的象限为() A.第一象限 B,第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a与6的夹角为写同=2，月=1，则a-=() A.3 B.√5 C.7 D.√7 4.若，n为两条不同直线，，B为两个不同平面，则下列结论中正确的是() A.若/a,nca,则/n B.若/n,Ca,则/a C.若lCa,m⊥B,则a⊥B D.若ca,a⊥B,则m⊥B 5.已知某圆锥的底面积为3π，母线长为2√3，则该圆锥的体积为() A.6π B.5π C.4π D.3π 6.位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶V 发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔() B.√3mile C.3nmile D.2v3nmile 7.已知四面体S-ABC的4个顶点都在球O的表面上，若SA⊥平面ABC,AC⊥BC, A=AC=3,BC=4,则球O的表面积为() A.17π B.25元 C.34π D.50元 8.棱长为2的正方体ABCD-ABCD,点E在棱BB上，满足AE+CE最小，则三棱锥E-ACD 的体积为() C. D.1 个选项 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.设复数z的共轭复数为三，为虚数单位，则下列命题正确的是() A.复数：=3-4i的共轭复数的模国=5 B.若复数(m2+3-4)+(-1)i是纯虚数，则得m=1或m=-4 C.若复数==3-4i对应的向量为OA,1+i对应的向量为OB,则向量4B对应的复数为-2+5i D.若复数二=3-4i是关于x的方程x+px+q=0(P,q∈R)的一个根，则p+q=19 10.下列说法中正确的有（) A.平面向量1=（-2,3)，e=(4,2)可以作为基底 B.已知正AABC边长为2，则AB.BC=2 C.模为0的向量与任意非零向量共线 D.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+乃夹角为锐角，则2的取值范围是 11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，F是线段AB,的中点， 则() D 6nmile, A.存在点P使得AP⊥AC B B.若点P满足AP⊥BF,则动点P的轨迹长度为2√5 C.若点P满足PF∥平面ACD时，动点P的轨迹是正六边形 D --- D.当点P在侧面B,BCC,且满足FP=√2时，二面角 B A-CD-P的最大角的正切值为2 数学第1页，共2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某校有高级教师90人，中级教师150人，其他教师若干人.为了了解教师的健康状况，从中 抽取60人进行体检.已知高级教师中抽取了18人，则从中级教师中抽取的人数是 13.直三棱柱ABC-A,B,C1的所有棱长都相等，D,E分别为棱AB,A4的中点，则异面直线DE 与AC所成角的余弦值是 14.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为 顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 某校统计了高二年级1000名学生的身高数据，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间)，画出 了如下图所示的频率分布直方图， 频率 组距 0.06 (1)求身高在170,180)区间的人数： 0.05 0.04 (2)求这组样本数据的80%分位数. 0.03 0.02 0.01 16.（本小题满分15分) 0155160165170175180185身高/cm 已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足bcos A=(2c-ad)cosB,且b=√万， S.ABC=3. (1)求角B的大小： (2)求a+c的值. 17.（本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA垂直于 底面，AD=AP,点E、F分别是AB、PC的中点. F (1)求证：EF∥平面PAD: (2)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值. B 数学第2 18.(本小题满分17分) 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AE⊥CD,AB=AE=1,CD=3,把三角形DAE沿着AE翻折， 得到如图所示的四棱锥D-ABCE,记二面角D-AE-C的平面角为60. (1)求点D到底面ABCE的距离： (2)设M是侧棱DC上一动点，是否存在点M, D E 使得D-BE-M的余弦值为V2 ,若存在， 7 求DY的值 B B DC 19.（本小题满分17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体「的一个顶点，定义多面体T在点P处的离 散曲率为Φp=1-1(∠QP四+∠0，P0++∠01PQ.+QPg),其中Qi=12,,k,k23)为多 2元 面体T的所有与点P相邻的点，且平面2P,平面Q2P93,…,平面O-1PO,平面2P9为多面 体厂的所有以P为公共点的面.已知平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图 ①，且AB=AB=√2CD=2,将△EAD沿AD翻折到△PAD如图②，连接PB,PC. A B B 图① 图② (1)求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和； (2)已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为√6 ①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率： ②设9为线段PD上的动点（不包括端点），OA与平面ABCD所成角为&，二面角P-AC-D的 电a,B∈0， 平面角为P,其中ap2求ta(B-四)的最大值 页，共2页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C D C C B ACD AC 题号 11 答案 ACD 12．30 13．/ 14． 15．（1）身高在区间的频率为， 频数为，所以身高在区间的人数为550人. （2）由， ， 得样本数据的分位数，由，解得， 所以样本数据的分位数为177. 16．（1）已知，由正弦定理得， 整理得. 因为，故，又，，约去得， 结合，得. （2）由面积公式，代入、，得，解得. 由余弦定理，代入、，得， 将代入得，把代入得， 因，故. 17．(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 18．（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 由，，，平面， 平面，又平面， 故平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （2）由（1）知，如图建立空间直角坐标系，   故，，，，设， 设，，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19．（1）因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； （2）① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $