高三一轮复习 第三讲 复数的概念及四则运算

该高中数学高考复习学案系统梳理了复数的概念、四则运算、几何意义及三角形式等核心考点，按“概念-运算-几何意义”逻辑架构构建知识网络，通过问题链和任务驱动引导学生自主梳理复数分类、运算律及模长性质，形成完整认知体系。 亮点在于诊断性自测与题型化真题演练设计，开篇设置覆盖加减乘除、实部虚部等题型的诊断题，学生通过错题定位薄弱环节，结合“核心知识点+高考真题”模块强化运算能力与推理意识，培养数学思维。每个题型配有反思总结表，帮助学生个性化构建知识体系，教师可通过学情数据精准指导，支持因材施教。

高三数学一轮复习 第三讲 高考复数的概念及四则运算 【学习目标】1.知道复数的概念、复数相等的概念及复数的分类； 2．会进行复数的四则运算，掌握复数加法乘除的运算律； 3．理解复数加、减法运算的几何意义，并能利用“数形结合”思想解题． 【学习重点】复数的四则运算及其加、减法运算的几何意义． 【学习难点】复数加、减法运算的几何意义． 必掌握知识点 一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 三、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 四、复数的三角形式 1.复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 2.辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． 3.三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 4.复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 5.复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 必考题型全归纳 题型一：复数基础加减运算 核心知识点：依据复数运算法则，进行实部、虚部分离加减化简，基础运算求值。 1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 题型二：复数乘法运算化简 核心知识点：利用²=-1，开展复数整式乘法运算，化简复数表达式。 2．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 题型三：复数除法运算（分母实数化） 核心知识点：掌握复数除法核心方法——分母实数化，熟练化简分式型复数。 6．（2026·全国II卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 7．（2025·全国II卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 8．（2026·天津·高考真题）化简__________． 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 题型四：复数虚部、实部识别 核心知识点：明确复数实部、虚部定义（虚部为实数不含i），根据虚部条件求参数。 10．（2025·全国I卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 题型五：共轭复数性质与运算 核心：熟记共轭复数定义与性质，利用共轭复数运算求解复数表达式。 11．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 12．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 题型六：复数模长计算与性质 核心知识点：掌握复数模长公式，利用模的运算性质，求解单个复数、复数运算式的模。 14．（2024·新课标II卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 15．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 16．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 17．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 知识点8：复数几何意义与距离最值 核心知识点：复数对应复平面内点，将模长问题转化为平面内动点距离问题，结合圆的几何性质求最值。 19．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习 第三讲 高考复数的概念及四则运算 【学习目标】1.知道复数的概念、复数相等的概念及复数的分类； 2．会进行复数的四则运算，掌握复数加法乘除的运算律； 3．理解复数加、减法运算的几何意义，并能利用“数形结合”思想解题． 【学习重点】复数的四则运算及其加、减法运算的几何意义． 【学习难点】复数加、减法运算的几何意义． 必掌握知识点 一、复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 三、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 四、复数的三角形式 1.复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 2.辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． 3.三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 4.复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． 5.复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 必考题型全归纳 题型一：复数基础加减运算 核心知识点：依据复数运算法则，进行实部、虚部分离加减化简，基础运算求值。 1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【详解】由题意，则. 题型二：复数乘法运算化简 核心知识点：利用²=-1，开展复数整式乘法运算，化简复数表达式。 2．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得.故选：C. 3．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以.故选：C. 4．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 【答案】、 【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，故.故答案为：. 5．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】.故答案为：. 题型三：复数除法运算（分母实数化） 核心知识点：掌握复数除法核心方法——分母实数化，熟练化简分式型复数。 6．（2026·全国II卷·高考真题）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 7．（2025·全国II卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以.故选：A. 8．（2026·天津·高考真题）化简__________． 【答案】 【详解】. 9．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以.故答案为： 题型四：复数虚部、实部识别 核心知识点：明确复数实部、虚部定义（虚部为实数不含i），根据虚部条件求参数。 10．（2025·全国I卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C. 题型五：共轭复数性质与运算 核心：熟记共轭复数定义与性质，利用共轭复数运算求解复数表达式。 11．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故.故选：D 12．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则.故选：A 题型六：复数模长计算与性质 核心知识点：掌握复数模长公式，利用模的运算性质，求解单个复数、复数运算式的模。 13．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以，故选：B. 14．（2024·新课标II卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则.故选：C. 15．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 16．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知，所以.故答案为： 17．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】，故．故答案为：. 18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则，，，解得，故答案为：2. 知识点8：复数几何意义与距离最值 核心知识点：复数对应复平面内点，将模长问题转化为平面内动点距离问题，结合圆的几何性质求最值。 19．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为，又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得.故答案为：3. 学科网（北京）股份有限公司 $