第14讲　导数的几何意义和四则运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的几何意义和四则运算”核心考点，依据高考评价体系梳理了导数定义、几何意义、运算公式及公切线问题等考查要求，通过教材经典题与近五年高考真题分析，明确切线方程、导数运算等高频考点占比，归纳选择、填空、解答题典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧拆解+素养提升”策略，如以2024全国甲卷切线与坐标轴面积题为例，用数学思维剖析导数几何意义应用步骤，培养运算能力与逻辑推理素养。特设“易错陷阱警示”和“母题变式训练”，帮助学生掌握公切线问题通解方法，教师可据此精准定位学生薄弱点，实现高效复习与得分率提升。

第三章 第14讲　导数的几何意义和四则运算 一元函数的导数及其应用 1 1．(教材经典题)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 (　　) A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0 B．0＞f′(3)＞f′(2)＞f′(1) C．f′(3)＞f′(2)＞f′(1)＞0 D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3) 【解析】 　　　　由图象可知函数f(x)是单调递增的，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)均为正．从图中还可以看出函数f(x)切线的斜率是随着自变量x的增大而逐渐减小的，因此该函数的导函数单调递减，所以有f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0． A 2．(教材经典题改编)(多选)下列求导运算正确的是 (　 　) C．y＝sin x在x＝2π处的导数是0 D．y＝ex在x＝0处的导数是1 【解析】 　　　　对于A，因为y＝x5，所以y′＝5x4，所以在x＝3处的导数为5×34＝405，故A正确； 对于C，因为y＝sin x，所以y′＝cos x，所以在x＝2π处的导数为cos 2π＝1，故C错误； 对于D，因为y＝ex，所以y′＝ex，所以在x＝0处的导数为e0＝1，故D正确． AD 【解析】 B 【解析】 150 【解析】 1．概念 2．几何意义 曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是_________________________． 3．物理意义 若物体的位移函数为y＝s(t)，则瞬时速度v＝_________，加速度a＝_________． y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) s′(t) s″(t) 4．运算 (1) 基本公式 ①C′＝0；②(xn)′＝_______； ③(sin x)′＝_________； ④(cos x)′＝_________； ⑤(ax)′＝_________； ⑥(ex)′＝_______； ⑦(logax)′＝________； ⑧(ln x)′＝______． nxn－1 cos x －sin x axln a ex (2) 运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝__________________； ②[f(x)g(x)]′＝_______________________； f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ④复合函数求导法则 [f(g(x))]′＝____________________． f′(g(x))·g′(x) 5．常用结论 (1) 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2) 曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 目标 1 导数的运算 视角1　导数的定义 【解析】 1－1 A．5 cm/s　 B．6 cm/s C．8 cm/s　 D．10 cm/s C 【解析】 1－1 D 视角2　导数的运算 　　　　　(1)(教材经典题)求下列函数的导数． 【解答】 1－2 ④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3x＋1e－3x． 【解析】 1－3 C (1) 求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2) 抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3) 复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 【解析】 B 变式1　(2)(2026·镇江期初)(多选)下列求导结果正确的有 (　 　) 【解析】 BD 目标 2 导数的几何意义 视角1　求切线方程 2－1 【解析】 【答案】A 【解析】 2－1 y＝4x －4或y＝x＋2 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解． 【解析】 y＝2x 【解析】 2 视角2　求参数值(或范围) 　　　　　(1)(2025·新高考Ⅰ卷) 若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝_____． 【解析】 　　　　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，所以令y′＝ex＋1＝2，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝5，所以切点坐标为(0，5)． 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，解得a＝4． 4 2－2 　　　　　(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________． 【解析】 2－2 又切线有两条，即方程(*)有两个不等实根，则Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0． (－∞，－4)∪(0，＋∞) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． 变式 2－2　(1)(2025·阳泉期末)若直线y＝3x＋a与曲线y＝ln x＋2x相切，则实数a的值为_______． 【解析】 －1 变式 2－2　(2)(2025·芜湖期末)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是________________． 【解析】 (ln 2，＋∞) 微探究 公切线 3 【解析】 方法二：设直线l：y＝2x＋m与曲线y＝f(x)＝e2x的切点坐标为(x0，y0)．由于f′(x)＝2e2x，则f′(x0)＝2e2x0＝2，解得x0＝0，y0＝e2x0＝1，则切点坐标为(0，1)，直线l：y＝2x＋1． 【答案】 8 　　 　(2)(2025·郑州调研)若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2x＋a(x＜0)有公切线，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－ln 2－1，＋∞) B．[－ln 2－1，＋∞) C．(－ln 2＋1，＋∞) D．[－ln 2＋1，＋∞) 【解析】 3 【答案】 A 曲线f(x)和g(x)的公切线问题： 设切点 设曲线f(x)的切点A(x1，f(x1)) 设曲线g(x)的切点B(x2，g(x2)) 求公切线的斜率 k＝f′(x1) k＝g′(x2) 写出并整理切线方程 y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)， 整理得y＝f′(x1)x－f′(x1)x1＋f(x1) y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)， 整理得y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2) 联立已 知条件 消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程)，从而得到公切线方程 变式3　(2025·黄冈调研)若过原点的直线l与曲线y＝ex，y＝ln(x＋a)都相切，则实数a等于 (　　) 【解析】 D 1．(2024·全国甲卷文)曲线f(x)＝x6＋3x－1在点(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为 (　　) 【解析】 A 2．(2025·莆田二模)若曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为 (　　) 【解析】 C．(1，e－1)　 D．(1，2e－1) B 3．(2025·保定质检)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切 线，则实数a的值为______． 【解析】 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 A．1　 B．－1 C．ln 2　 D．－ln 2 【解析】 D 2．下列求导运算正确的是 (　　) 【解析】 　　　　对于A，(e3x)′＝e3x·(3x)′＝3e3x，故A错误； 对于C，(3－2sin x)′＝－2cos x，故C错误； D 3．(2025·安庆三模)曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和 y＝x围成的三角形的面积为 (　　) 【解析】 A 【解析】 【答案】 C 5．(2025·威海质检)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为 (　　) A．1　 B．±e C．1或e　 D．1或e2 【解析】 C 二、多项选择题 6．(2025·洛阳质检)下列函数在点x＝0处有切线的是 (　　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x ABD 【解析】 BCD 8．已知函数f(x)＝ex，下列结论正确的是 (　 　) A．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f(x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0，0)且与曲线y＝f(x)相切的直线有且只有2条 【解析】 　　　　由题意知f′(x)＝ex．对于A，令f′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f(x)的切线斜率可以是1，故A正确； 对于B，令f′(x)＝ex＝－1，无解，所以曲线y＝f(x)的切线斜率不可以是－1，故B错误； 【答案】AC 三、填空题 9．(2025·漳州二模)若曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，则实数a＝_____． 【解析】 由题意得曲线y＝ln x在x＝1处的切线也是曲线y＝x2＋3x－2＋a的切线，联立y＝x－1，y＝x2＋3x－2＋a，得x2＋2x－1＋a＝0，则Δ＝4－4(a－1)＝0，解得a＝2． 2 【解析】 12 11．(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________． 【解析】 　　　　由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，则曲线在点(0，1)处切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1． ln 2 四、解答题 12．(2025·苏州期末)已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－ln x． (1) 若a＝1，求f(x)的极小值； 【解答】 12．(2025·苏州期末)已知函数f(x)＝ax2＋(a－2)x－ln x． 【解答】 13．(2025·景德镇三模节选)已知函数f(x)＝x2－asin x＋axcos x． (1) 当a＝4时，求f(x)在(0，π)上的单调区间； 【解答】 13．(2025·景德镇三模节选)已知函数f(x)＝x2－asin x＋axcos x． (2) 若存在经过坐标原点的直线与f(x)的导函数图象相切，求切线方程及其切点的横坐标． 【解答】 　　　　设g(x)＝f′(x)＝x(2－asin x)，g′(x)＝2－asin x－axcos x，过点(x0，g(x0))的切线方程为y＝g′(x0)(x－x0)＋g(x0)． 当切点为原点O(0，0)时，g′(0)＝2，此时切线方程为y＝2x； B组　能力提升练 【解析】 －1 【解析】 $