导数的几何意义和四则运算 课件-2027届高三数学一轮复习

导数的几何意义和四则运算 0 αxα-1 cos x －sin x ax ln a ex f ′(x)±g′(x) f ′(x)g(x)＋f (x)·g′(x) 瞬时速度 瞬时加速度 B ABD 5x－y＋2＝0 AD x－y－1＝0 C 4 A y＝4x－4或y＝x＋2 D A ln 2 C C B [知识梳理] 1．变化率与导数 (1)定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ . (2)导函数：当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数).y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝ . (3)导数的几何意义 函数y＝f (x)在x0处的导数f ′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线的斜率k，即k＝f ′(x0)＝ . 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝ f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝ f (x)＝sin x f ′(x)＝ f (x)＝cos x f ′(x)＝ f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ex f ′(x)＝ f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝ f (x)＝ln x f ′(x)＝ 3.导数的运算法则 (1)[f (x)±g(x)]′＝ ； (2)[f (x)·g(x)]′＝ ； (3)′＝ (g(x)≠0). 4．复合函数的导数 (1)定义：一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x)). (2)求导法则：一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ y′u·u′x ． 5．设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 ；设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 ． [热身训练] 1．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋3t(t是时间，单位：s，s是位移，单位：m)，则该机器人在时刻t＝2 s时的瞬时速度为( ). A．5 m/s　　　 B．7 m/s C．10 m/s　　　 D．13 m/s 2．(多选)下列导数的运算中正确的有( ). A．(3x)′＝3x ln 3 B．(x2ln x)′＝2x ln x＋x C．′＝ D．(sin x cos x)′＝cos 2x 3．已知函数f (x)＝sin ，则f ′(x)＝ ． 4．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为 ． 5．(易错题)已知函数f (x)＝ln (3－2x)＋e2x-3，则f ′(x)＝ ． 2cos ＋2e2x-3 【解析】f ′(x)＝·(3－2x)′＋e2x-3·(2x－3)′＝＋2e2x-3. 题型1　导数的运算 【例1】求下列函数的导数． (1)f (x)＝sin (2x＋3)； (2)f (x)＝e-2x+1； (3)f (x)＝. 【解析】(1)f ′(x)＝cos (2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos (2x＋3). (2)f ′(x)＝e-2x+1·(－2x＋1)′＝－2e-2x+1. (3)f ′(x)＝ ＝＝－＝－. (1)求函数导数的原则：先化简解析式，再求导． (2)常见形式及具体求导方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和或差的形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 【变式】(1)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足f (x)＝2xf ′(e)＋ln x，则f ′(e)＝ ，f ′(x)＝ ． － －＋ 【解析】因为f (x)＝2xf ′(e)＋ln x，所以f ′(x)＝2f ′(e)＋，所以f ′(e)＝2f ′(e)＋，所以f ′(e)＝－，所以f ′(x)＝2＋＝－＋. (2)(多选)(济南质检)下列求导运算正确的有( ). A．′＝－ B．(x2ex)′＝2x＋ex C．′＝－sin D．′＝1＋ 【解析】′＝－·(ln x)′＝－，故A正确；(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；′＝－sin ×′＝－2sin ，故C错误；′＝1＋，故D正确． 题型2　导数的几何意义 角度1　求切线方程 【例2】已知函数f (x)＝x ln x．若直线l过点(0，－1)，且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的方程为 ． 【解析】点(0，－1)不在曲线f (x)＝x ln x上，设切点坐标为(x0，y0).因为f ′(x)＝1＋ln x，所以直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.由解得所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. 角度2　求切点坐标或参数 【例3】(1)已知曲线f (x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为( ). A．(1，3)　　　 B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3)　　　 D．(1，－3) 【解析】设点P(x0，y0)，由题意得f ′(x)＝3x2－1，因为直线x＋2y－1＝0的斜率为－，所以f ′(x0)＝3x－1＝2，所以x＝1，解得x0＝±1.又切点P(x0，y0)在曲线y＝f (x)上，所以y0＝x－x0＋3，所以当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，所以点P的坐标为(1，3)或(－1，3). (2)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则 a＝ ． 【解析】由y＝ex＋x＋a，得y′＝ex＋1，令y′＝ex＋1＝2，得x＝0，在方程y＝2x＋5中，当x＝0时，y＝5，所以切点坐标为(0，5)，将(0，5)代入y＝ex＋x＋a中，得5＝1＋a，解得a＝4. (1)若已知曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程． ①当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0). ②当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点P′(x1，f (x1))； 第二步：写出在点P′(x1，f (x1))处的切线方程y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． (2)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (3)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”． 【变式】(1)(2025·葫芦岛质测)已知直线y＝ax－1与曲线y＝相切，则a的值为( ). A．1　　　 B． C．　　　 D．2e2 【解析】由y＝，得y′＝，设切点坐标为(x0，y0)，则故得＝－1，则2ln x0＋x0－1＝0.易知函数f (x)＝2ln x＋x－1为增函数，且f (1)＝0，故x0＝1，故a＝＝1. (2)已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为 ． 【解析】设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x，所以切线方程为y－＝x(x－x0)，又点P(2，4)在切线上，所以4－＝x(2－x0)，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝x＋2. 题型3　曲线切线的综合问题 【例4】已知b为正实数，直线y＝x＋a与曲线y＝ex＋b相切，则的取值范围是( ). A．[e，＋∞)　　　 B．[e2，＋∞) C．[2，＋∞)　　　 D．[4，＋∞) 【解析】设直线y＝x＋a与曲线y＝ex＋b的切点为(x0，ex0＋b)，而y′＝(ex＋b)′＝ex＋b，由题意知ex0＋b＝1，所以x0＋b＝0，故x0＝－b①.又因为ex0＋b＝x0＋a②，由①②得a＝b＋1，所以＝＝b＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当b＝1时取等号．故选D． 求解导数的几何意义与函数性质 交汇问题的2个注意点 (1)要注意函数相关性质在解题中的作用． (2)抓住导数的几何意义，利用函数性质或图象求解问题． 【变式】已知点P是曲线C1：y＝x3＋2x2＋x＋1在点(0，1)处的切线上的任意一点，点Q是曲线C2：y＝上的任意一点，则|PQ|的最小值是 ． 【解析】由点P是曲线C1：y＝x3＋2x2＋x＋1在点(0，1)处的切线上的任意一点，可得y′＝x2＋4x＋1，y′|x＝0＝1，所以曲线C1在点(0，1)处的切线方程为y－1＝x.设与直线x－y＋1＝0平行的直线与曲线C2：y＝相切的切点坐标为，可得y′＝，所以＝1，解得m＝1，切点坐标为(1，0)，切线方程为x－y－1＝0，则|PQ|的最小值是直线y＝x＋1与直线y＝x－1之间的距离＝. 两曲线的公切线问题 求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切． 角度1　两曲线的公切线 【例1】(1)(2025·大连高三一模)已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln (－x)的切线，则( ). A．k＝，b＝0　　　 B．k＝1，b＝0 C．k＝，b＝－1　　　 D．k＝1，b＝－1 【解析】(1)设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点为(x1，ln x1)且x1＞0，与曲线y＝－ln (－x)的切点为(x2，－ln (－x2))且x2＜0，又y′＝(ln x)′＝，y′＝[－ln (－x)]′＝－，则曲线y＝ln x在点(x1，ln x1)处的切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1－1，曲线y＝－ln (－x)在点(x2，－ln (－x2))处的切线方程为y＋ln (－x2)＝－(x－x2)，即y＝－x＋1－ln (－x2)，则解得故k＝＝，b＝ln x1－1＝0，故选A． (2)(2024·全国Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝ ． 【解析】由y＝ex＋x，得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切于点(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 角度2　由公切线求参数的值或取值范围 【例2】(1)(青岛高三联考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( ). A．2　　　 B．5 C．1　　　 D．0 【解析】根据题意，设曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，由f (x)＝－2x2＋m，可得f ′(x)＝－4x，则切线的斜率k＝f ′(a)＝－4a.由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)，由g(1)＝－1，得公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)的坐标代入f (x)＝－2x2＋m，可得m＝1. (2)(唐山三模)已知曲线y＝ln x与y＝ax2(a>0)有公切线，则实数a的取值 范围为 ． 【解析】设公切线与曲线y＝ln x和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，ax)，其中x1>0.对于y＝ln x，有y′＝，则切线方程为y－ln x1＝(x－x1)，即y＝＋(ln x1－1)；对于y＝ax2，有y′＝2ax，则切线方程为y－ax＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－ax，所以 所以－＝ln x1－1，即＝x－xln x1(x1>0)，令g(x)＝x2－x2ln x，则g′(x)＝x－2x ln x＝x(1－2ln x)，令g′(x)＝0，得x＝e，当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(e)＝e，故0<≤e，即a≥，所以实数a的取值范围是. 曲线y＝f (x)和y＝g(x)公切线问题的解题步骤： 设切点 设曲线y＝f (x)的切点坐标为A(x1，f (x1)) 设曲线y＝g(x)的切点坐标为B(x2，g(x2)) 求公切 线的 斜率 k＝f ′(x1) k＝g′(x2) 写出并 整理 切线 方程 y－f (x1)＝f ′(x1)(x－x1)，整理得 y＝f ′(x1)x－f ′(x1)x1＋f (x1) y－g(x2)＝g′(x2)(x－x2)，整理得 y＝g′(x2)x－g′(x2)x2＋g(x2) 联立方 程和已 知条件 消去x1得到关于x2的方程(或消去x2得到关于x1的方程) 【变式】(1)(2024·济南高三联考)已知f (x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公切线有( ). A．0条　　　 B．1条 C．2条　　　 D．3条 (2)(2025·南阳三模)已知函数f (x)＝2aex与g(x)＝ln x＋1的图象存在公切线，则实数a的最小值为( ). A．　　　 B． C．　　　 D． $