海南省部分校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 涵盖向量、立体几何等核心知识，通过射箭比赛、芯片生产等真实情境设计，突出数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|向量坐标运算、分层抽样、空间线面关系|第8题以射箭比赛为背景，考查平均数、方差等统计量的实际应用| |多项选择题|3/18|解三角形、复数几何意义|第11题结合正方体动态问题，考查空间体积、轨迹长度等综合能力| |填空题|3/15|三角函数应用、正方体外接球|第14题通过频率分布直方图，考查数据处理与分位数计算| |解答题|5/77|三角函数图象、立体几何证明、统计与概率|第18题以芯片生产为情境，融合平均数、方差计算与方案优化，体现数学建模与数据分析素养|

高一数学 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知向量 ，则 A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 2. A. B. C. D. 3. 一个圆锥的底面积为 ,母线长为 5,则该圆锥的侧面积为 A. 15 B. C. 30 D. 4. 某地区初中、高中的学生人数分别为 6 万、 3 万、教育部门为了解该地区中学生的视力情况， 按照各阶段学生人数比例, 用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行调查. 若样本中高中生有 150 人，则初中生有 A. 600 人 B. 300 人 C. 200 人 D. 150 人 5. 已知 ,则 A. -2 B. 2 C. -3 D. 4 6. 已知 是两条不同的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 7. 在四边形 中， ，设 ，则 A. B. C. D. 8. 射箭比赛中的环数通常为整数，最高 10 环，若一名射箭运动员连续射箭 3 次的环数均不低于 8 环，则称该运动员为“神射手”. 现有甲、乙、丙、丁四名射箭运动员连续射箭 3 次，根据他们的数据, 可以推断一定不是神射手的是 A. 甲:平均数为 9 ，中位数为 9 B. 乙:平均数为 9 ，极差大于 1 C. 丙:中位数为 9 ，众数为 9 D. 丁:众数为 9 ，方差大于 1 二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列选项正确的是 A. B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 是钝角三角形 10. 已知复数 在复平面内对应的点为 ，则下列选项正确的是 A. 若 为实数，则 B. 若 为纯虚数，则 C. 若 ,则 D. 若点 在第一象限，则 的取值范围为 11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中,点 分别为棱 的中点,动点 在线段 上 (含端点),动点 在正方形 内 (含边界),且 ,则下列结论正确的是 A. 三棱锥 的体积为定值 B. 动点 的轨迹长度为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与 总是异面 三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分. 12. 如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在 时相对于平衡位置的高度 由关系式 确定,则当 时, _____. 13. 已知正方体的八个顶点均在同一个球的球面上, 若正方体的棱长为 2 , 则该球的表面积为_____. 14. 某校为了选拔参加数学竞赛的学生, 安排 200 名同学参加预选赛, 所有成绩按照 [60,70), 分组,得到如图所示的频率分布直方图,则图中 _____. 若按分数从高到低选拔出 20 名学生，则划定的分数线大约为_____. (本题第一空 2 分, 第二空 3 分) 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) 已知函数 的部分图象如图所示. (1)求 的最小正周期 ； (2)直接写出 的解析式和单调递减区间； (3) 的图象可以由 的图象经过怎样的变换得到？ 16. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， 分别为 ， 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)若 底面 ，求四棱锥 的体积. 17. (15 分) 在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，且 的面积为 4. (1)求 ； (2)如图，延长 至点 ，使得 ，求 . 18. (17 分) 某芯片厂有甲、乙两条生产线生产用于高速存储的芯片, 且甲、乙生产线的产量相同. 为了检验芯片的某项指标, 从两条生产线上各随机抽取了 10 颗芯片, 得到每颗芯片该项指标的数据如下表: 甲 40 90 60 80 50 40 60 70 80 30 乙 50 80 50 40 50 70 100 90 80 90 记甲、乙生产线生产的芯片该项指标的样本平均数分别为 和 ,样本方差分别为 和 . (1)求 ， . (2)已知 ，估计该芯片厂生产的芯片该项指标的平均数 与方差 . (3)该项指标是影响芯片价格的主要因素, 根据市场调研, 芯片的价格如下表: 等级 该项指标范围 价格(元/颗) 一等品 [80,100] 50 二等品 25 三等品 10 用样本中各等级芯片的频率估计总体中各等级芯片的频率. 某电脑制造厂计划向该芯片厂采购 10000 颗芯片，有以下两种支付方案，若要电脑制造厂支付的费用(芯片价格 + 检测成本)更少，使用哪种支付方案较好？说明理由. 方案①:按照表中标准支付，由芯片厂免费对芯片进行检测分类； 方案②:所有芯片均按二等品的价格支付，电脑制造厂自行检测分类，每颗芯片检测成本为 5 元. 19. (17 分) 如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形， ， 分别是线段 上的动点 (不含端点). (1)证明: ； (2)求二面角 的正切值； (3)求 的最小值. 高一数学・答案 一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 1. 答案 C 命题透析 本题考查平面向量的坐标运算. 解析 . 2. 答案 D 命题透析 本题考查复数的运算. 解析 . 3. 答案 命题透析 本题考查圆锥的侧面积计算. 解析 由底面积为 ,得底面半径 ,又母线长 ,则圆锥的侧面积为 . 4. 答案 命题透析 本题考查分层随机抽样的概念. 解析 设样本中初中生有 人,则 ,解得 . 5. 答案 A 命题透析 本题考查三角恒等变换的应用. 解析 . 6. 答案 C 命题透析 本题考查空间中平行与垂直关系的判断. 解析 选项 A 与 D 中还可能有 ,选项 B 中 还可能相交或异面,选项 C 正确. 7. 答案 命题透析 本题考查平面向量的线性运算. 解析 如图, ,所以 . 8. 答案 D 命题透析 本题考查平均数、中位数、众数、极差、方差等概念及其应用. 解析 甲和乙的环数可能是 8,9,10,符合神射手的定义; 丙的环数可以是 9,9,9,也符合; 对于丁,众数为 9,则至少有 2 次为 9 环，另一次无论是 8 环、9 环还是 10 环，计算可知方差均小于 1 ，所以另一次一定小于 8 环，故丁一定不是神射手. 二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 答案 ABD 命题透析 本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析 对于 ,故 正确; 对于 ,根据 “大角对大边”,若 ,则 ,由正弦定理可得 ,故 正确; 对于 ,由正弦定理可得 ,所以 或 ,故 错误; 对于 ,因为 ,所以 为钝角,所以 是钝角三角形,故 正确. 10. 答案 AD 命题透析 本题考查复数的概念与几何意义. 解析 对于 ,若 为实数,则 ,得 ,故 正确; 对于 ,若 为纯虚数,则 ,故 错误; 对于 ,若 ,则 ,故 错误; 对于 ,若点 在第一象限,则 ,故 正确. 11. 答案 ABC 命题透析 本题考查空间线面位置关系的综合. 解析 对于 ,由题意知 ,所以 平面 ,所以当点 在线段 上运动时,三棱锥 的体积为定值,故 正确; 对于 ,在正方体中, 平面 ,所以 ,所以 ,又 ,所以 ,点 的轨迹是以 为圆心,1 为半径的四分之一圆弧,故其轨迹长度为 ,故 正确; 对于 ,由 平面 ,可知直线 与平面 所成的角即 ,因为 ,所以 ,故 C 正确; 对于 ,当点 在棱 上时, 恰好是 的中点,若再令 与点 重合,则 ,直线 与 在同一平面内, 故 D 错误. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 答案 5 命题透析 本题考查三角函数的应用. 解析 令 ,得 . 13. 答案 命题透析 本题考查正方体与球的结构特征及相关计算. 解析 正方体的棱长为 2,则其体对角线长为 ,所以其外接球的直径为 ,半径为 ,所以表面积为 14. 答案 命题透析 本题考查频率分布直方图. 解析 由图可知, ,解得 . 按分数从高到低从 200 名学生中选拔出 20 名学生，则分数线为 90% 分位数，由频率分布直方图可知，第六组的频率为 0.05，第五组的频率为 0.25,则 90% 分位数位于第五组,为 . 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 命题透析 本题考查三角函数的图象与性质. 解析 (1) 由题图可知 ,所以 . (2 分) (2) . (5 分) 的单调递减区间为 . (写成开区间也对) (8 分) (3)方法一:先将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再将所得图象向右平移 个单位长度. (13 分) 方法二: 先将 的图象向右平移 个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变. (13 分) 16. 命题透析 本题考查空间平行关系的证明以及棱锥的体积计算. 解析 (1)因为底面 是矩形,所以 ，且 ， (1 分) 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ,且 , (3 分) 所以四边形 是平行四边形,所以 . (4 分) 又因为 平面 平面 , 所以 平面 . (6 分) (2)因为 底面 ，所以 . 因为 是 的中点,所以 ,又因为 , 所以 是边长为 2 的等边三角形,所以 . (9 分) 因为 ,所以 平面 ,所以 , 所以 . (12 分) 所以四棱锥 的体积为 . (15 分) 17. 命题透析 本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 解析 (1) 因为 ,所以 . (2 分) 由 ,得 ,得 . (4 分) 由余弦定理得 , 所以 . (7 分) (2)由题意知 ， 所以 (10 分) . (12 分) 在 中,由正弦定理知 , 所以 . (15 分) 18. 命题透析 本题考查平均数与方差的计算, 用样本估计总体. 解析 (1) , (2 分) (4 分) (2)因为甲、乙生产线的产量相同， 所以 , (6 分) (9 分) (3)样本中一等品、二等品、三等品的数量分别为8,8,4，频率分别为 . (11 分) 若使用方案①，则支付的费用为 (元)； (13 分) 若使用方案②，则支付的费用为 (元). (15 分) 因为 ,所以使用方案②更好. (17 分) 19. 命题透析 本题考查垂直的证明以及相关综合计算. 解析 (1) 在 中,由余弦定理可得 , (1 分) 所以 ，所以 ，所以 . (2 分) 在直四棱柱 中， 底面 ，所以 . (3 分) 又因为 ，所以 平面 ， (4 分) 因为 平面 ,所以 . (5 分) (2)如图 1，作 ，垂足为 ，连接 . (6 分) 由 (1) 知 平面 ,所以 , 又 ，所以 平面 ， (7 分) 所以 ，所以二面角 的平面角为 . (8 分) 在 中,可得 , 所以 , 即二面角 的正切值为 . (11 分) 图1 (3)如图2，将 与 翻折到同一平面内，作 ，垂足为 ， 则 . (13 分) 在 中, ,所以 . 图2 在 中, ,则 ,所以 , 所以 . 所以 ， 即 的最小值为 . (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $