21.1 二次函数（分层作业练题型）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数新授课同步练，采用A/B/C组+拓展分层设计，覆盖从概念识别到实际建模的完整巩固路径，通过题型细分与梯度进阶培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二次函数识别、定义参数、一般形式等基础概念|题型细分7类，聚焦单一知识点，如二次函数识别题直接考查定义辨析| |B组|参数计算、实际问题列式等综合应用|设置解答题，如结合利润问题列函数关系式，提升知识迁移能力| |C组|函数与几何综合、动态问题探究|情境复杂，如矩形面积与边长关系的函数建模，培养推理与探究能力| |拓展|中考真题演练|对接中考题型，如二次函数表达式确定，强化应试应用意识|

分层作业 1.1 生活中的立体图形 参考答案 ( 题型0 1 )二次函数的识别 1．C 2．B 3．②③④ ( 题型0 2 )根据二次函数的定义求参数 4．B 5． 6． ( 题型0 3 )二次函数的一般形式 7．D 8．C 9．D ( 题型0 4 )二次函数的各项系数 10．B 11．A 12．；3． ( 题型0 5 )二次函数图象上点的坐标特征 13.A 14.C 15.B ( 题型0 6 )建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用） 16．A 17． 18． ( 题型0 7 )建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） 19．C 20． 21． 一、单选题 1．D 2．A 3．A 二、填空题 4． 3 5．2 6．1 7． 三、解答题 8．【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标． （1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解； （2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 9．【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 10．【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 一、单选题 1．C 2．A 3．C 4．C 二、填空题 5． 6． 一次 反比例 二次 三、解答题 7．【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 8．【答案】(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 1．（答案不唯一） 2．①②③④ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 生活中的立体图形 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数的识别 题型02根据二次函数的定义求参数 题型03 二次函数的一般形式 题型04 二次函数的各项系数 题型05 二次函数图象上的点的坐标特征 题型06 建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用） 题型07 建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数的识别 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义（形如）判断各选项，即可 【详解】解：∵二次函数需满足整式且最高次数为2，， A、为一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、二次函数，符合题意； D、为一次函数，不符合题意； 故选：C 2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：， 由二次函数的定义可知，四个函数中，只有是二次函数， 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有_____．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． ( 题型0 2 )根据二次函数的定义求参数 4．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的概念，熟练掌握二次函数的定义是关键． 将函数表达式化简为一般形式，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，从而求解． 【详解】解：， ∵该函数为二次函数， ∴其二次项系数， ∴． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． ( 题型0 3 )二次函数的一般形式 7．（24-25九年级上·吉林·阶段检测）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 8．（25-26九年级上·山东滨州·期中）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D ( 题型0 4 )二次函数的各项系数 10．（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 11．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段检测）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的和为（　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 根据二次函数的定义得出二次项系数、一次项系数、常数项，再相加计算即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是， ∴二次项系数、一次项系数、常数项的和为， 故选：A． 12．（24-25九年级上·四川自贡·期中）二次函数的二次项系数是____，一次项系数是____． 【答案】 / 3 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． ( 题型0 5 )二次函数图象上点的坐标特征 13.（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 14.（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 15.（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． ( 题型0 6 )建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用） 16．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 17．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 18．（2025·甘肃陇南·模拟预测）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． ( 题型0 7 )建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） 19．（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 20．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 21．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 一、单选题 1．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）下列是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义为形如 的函数，其中的最高次数为，据此判断即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：是反比例函数，不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：是三次函数，不是二次函数，故C选项不符合题意； D选项：符合二次函数的定义，是二次函数，故D选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 二、填空题 4．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）二次函数中，二次项系数是________，一次项系数是________． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 6．（2026九年级上·江苏泰州·专题练习）若是关于的二次函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，解一元二次方程，掌握好二次函数的概念是解题关键． 根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项且其系数不为零，因此令指数部分等于2，解方程并验证系数是否非零． 【详解】解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零． 令，得方程， 因式分解，得 ， 解得，或， 当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义； 当时，二次项系数 ，符合要求． 故答案为：1． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出长方形的面积．先表示出边长缩短后的长方形的长和宽，计算出边长缩短后的长方形的面积，再计算出原长方形的面积，作差即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 三、解答题 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数． (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，b，的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与轴的交点坐标． （1）通过完全平方公式展开将二次函数化为一般形式，即可求解； （2）代入即可求函数图像与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，，； （2）解：令， ∵， ∴该函数图像与轴的交点坐标为． 9．（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． (1)求的值． (2)当时，的值为多少？ 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 10．（25-26九年级下·全国·课后作业）2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 一、单选题 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数是二次函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 3．（2026·河南驻马店·三模）若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 4．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 二、填空题 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 三、解答题 7．（25-26九年级上·广西梧州·期中）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 8．（2026·河南周口·二模）某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨元，物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元．经市场调研：当售价定为每吨元时，每日可售出吨；售价每提高元，每日销量减少吨．设每吨售价提高元． (1)写出每日销售量与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)（且为整数） (2)当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）先根据“每提高元，销量减少吨”，写出销量关于的表达式为；再根据“售价不低于进价不高于元”结合“表示售价提高的次数”确定的取值范围即可； （2）设每日销售利润为元，根据“总利润=单吨利润×销量”得到利润的二次函数表达式；再利用二次函数的对称轴公式找到顶点横坐标，验证其在的取值范围内后，代入求得最大利润和对应售价即可． 【详解】（1）解：∵当每吨售价提高元时，每日销量减少吨，原销量为吨， ∴每日销售量与之间的函数关系式为：； ∵物价部门规定销售单价不低于进价，且不高于每吨元， ∴，解得， ∵表示售价提高的次数， ∴且为整数， ∴的取值范围为：且为整数； 综上，函数关系式为：（且为整数）； （2）解：设每日销售利润为元， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∵对称轴为，满足且为整数， ∴当时，， 元． 答：当每吨售价定为元时，每日销售利润最大，最大利润是元． 1．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在边长为1的等边三角形中，D为边上的动点（不与端点重合），过点D作于点G．下列说法正确的有___________．（填写序号，错选不得分，少选得2分，选全得4分） ①； ②； ③设，则的面积S是关于x的二次函数； ④仅存在一点D，使得． 【答案】①②③④ 【分析】由题意易得，则有，，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可． 【详解】解：∵是等边三角形，且边长为1， ∴， ∵， ∴，， ∵D为边上的动点（不与端点重合）， ∴， ∴，，故①说法正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②说法正确； 设，则有， ∴， ∴， ∴的面积S是关于x的二次函数，故③说法正确； 过点作，如图所示： ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴仅存在一点D，使得，故④说法正确； 综上所述：正确的有①②③④． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.1生活中的立体图形 目录 A组巩固过关 题型01二次函数的识别 题型02根据二次函数的定义求参数 题型03二次函数的一般形式 题型04二次函数的各项系数 题型05二次函数图象上的，点的坐标特征 题型06建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用》） 题型07建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 C A组 巩固过关 题型01 二次函数的识别 1.(25-26九年级上安徽合肥期末)下列函数中，是二次函数的是（) 45 A.y=4x+5 B.y= x C.y=4x2+5 D.y=45x 2.(25-26九年级上江西上饶期末)下列函数中，是二次函数的是() A.y=3x+1B.y=x2-1 C.y=x(x-2)-x2D.y=x2+x2-1 3.(25-26九年级上北京课后作业)有下列函数：①y=2x-1护-4r:@y=22:③y=(a*0): 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④y=x2+2x+1.其中y是x的二次函数有 (填序号) 题型02 根据二次函数的定义求参数 4.(2026上海虹口一模)已知y=(m-3)x(m为常数)是二次函数，那么m的值是() A.3 B.-1 C.-3 D.3或-1 5.(25-26九年级上四川广元期中)已知函数y=-5x+mx(x-2)是关于x的二次函数，则m的取值范 围是 6.(25-26九年级上·安徽淮北阶段检测)若y=(m-3)x-是y关于x的二次函数，则m的值为一 题型n3 二次函数的一般形式 7.(2425九年级上·吉林阶段检测)将二次函数y=(x-1)+3x化为一般形式后，正确的是() A.y=x2-x+3 B.y=x2-2x+3 C.y=x2-2x D.y=x2+2x 8.(25-26九年级上山东滨州期中)把二次函数y=(x-1)-3(x-2)化为一般形式，一次项系数为 () A.-2 B.3 C.-5 D.-7 9.(25-26九年级上安微阜阳阶段检测)把二次函数y=(x-2-3x(x+)化为一般形式，一次项系数为 () A.-2 B.-3 C.-5 D.-7 题型04 二次函数的各项系数 10.(24-25九年级下全国随堂练习)二次函数y=-2)-3的二次项系数、一次项系数和常数项分别 是() A2,2,3B.5,2,1C2,43 D.,4,1 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26八年级上·安徽淮准南阶段检测)二次函数y=2x2-3的二次项系数、一次项系数、常数项的和 为() A.-1 B.1 C.5 D.-5 12,(24-25九年级上四川自贡·期中)二次函数y=3x-2的二次项系数是一，一次项系数是一 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 13.(25-26九年级上重庆阶段练习)已知二次函数y=x2-3x+1,当x=2时，y的值为() A.-1 B.-3 C.3 D.11 14.(2425九年级上河南信阳阶段练习)已知y=(a-2)x2-2x+a是关于x的二次函数，其图象经过 (0,4),则a的值为() A.a=±2 B.a=2 C.a=-2 D.无法确定 15.(2425九年级上安徽期末)若二次函数y=mr2+x+m2-2m的图象经过原点，则m的值为() A.0 B.2 C.2或0 D.无法确定 题型06 建立二次函数模型，列函数解析式（实际应用） 16.(2025八年级上·全国·专题练习)某商店销售一种商品，每件成本为50元，售价为x元，每天可销售 (100-x)件，每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为() A.y=(x-50)(100-x) B.y=x(100-x) C.y=(x+50)100-x) D.y=100x-50(100-x) 17.(25-26九年级上·安徽准北期中)在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最 初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为一· 18.(2025甘肃陇南模拟预测)某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平 均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件.若设降价后售价为x元， 每天利润为'元，则V与x之间的函数关系为 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07 建立二次函数模型，列函数解析式（几何图形） 19.(25-26九年级上：河北沧州期中)用长为8m的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设AB为x(单位： 米)，则窗框的透光面积少（单位：m),关于x(单位：m)的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不 计)() D E A.y=-x2+4x B.y=-3x2+8x c.y=-3r+4 2 D.y=-r2+8x 3 20.(2026上海闵行·一模)已知长方形的长是x,宽是长的一半，面积是'，那么y关于x的解析式是 (不要求写定义域)· 21.(23-24九年级上·山西太原阶段检测)相框边的宽窄影响可放入相片的大小.如图，相框长26Cm, 宽22cm,相框边的宽为xcm,相框内的面积是ycm,则y与x之间的函数关系式为 B组 能力进阶 一、单选题 1.(25-26九年级上·浙江宁波期末)下列是'关于x的二次函数的是() A.y=3x B.y=! C.y=x3+2 D.y=x2+3 2.(25-26九年级上广西南宁期中)二次函数y=2x2-5x-1的常数项是() 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.-5 C.2 D.1 3.(25-26九年级上安徽合肥期中)若y=(m+4)x+2m6+mx-1是关于x的二次函数，则m的值为 () A.2 B.-4 C.2或-4 D.0 二、填空题 4.(2425九年级上浙江宁波阶段检测)二次函数y=3x2-4x+5中，二次项系数是 一次项系 数是 5.(25-26九年级上河南南阳期末)已知二次函数y=(m+2)x+3x+m2-4的常数项为零，则m的值为 6.(2026九年级上江苏泰州专题练习)若y=(m-4)x-5m6+mx是关于x的二次函数，则m= 7.(25-26九年级上·上海阶段检测)已知长方形的边长分别为5(cm、3(cm),如果将它的长和宽都缩短 x(cm)后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为， 三、解答题 8.(25-26九年级上·浙江杭州期中)已知二次函数y=(x-1)2+2. (I)将二次函数化为一般形式y=ar2+br+c,并指出相应的a,b,c的值； (2)求该函数图像与轴的交点坐标 9.(25-26九年级上江西宜春期中)已知y=(m+3)x-1+(2-m)x-5是y关于x的二次函数. (1)求m的值. (②)当x=2时，y的值为多少？ 10.(25-26九年级下·全国·课后作业)2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万km2；2021年，我国 新增水土流失治理面积比2020年增长约3%， (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到0.1万km) (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x,2023年我国新增水土流失治理面积 为y万km2,那么y的表达式是什么？ 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 一、单选题 1.(2026:上海闵行·一模)下列函数中，二次函数是() 3 A.y= 1 B.y= C.y=x(2x-1)D.y=(x+4}-x2 2.(2025八年级上全国专题练习)某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售 (100-10x)件，则每天的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是() A.y=(x-a)100-10x) B.y=(x+a)100-10x) C.y=(x-a)10x-100) D.y=(x+a)10x-100) 3.(2026河南驻马店三模)若函数y=ax2+2x+1(a为常数)的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 () A.a<1 B.a<1且a≠0 c.a≤1 D.a≤1且a≠0 4.(25-26九年级下·甘肃兰州开学考试)下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为10cm的矩形中，矩形的长y(cm)与宽x(cm)的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y(cm)与圆柱的高x(cm)的关系： ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(200-)件，利润y(元)与每件售价 x（元)的关系. A.① B.② c.③ D.①③ 二、填空题 5.(25-26八年级下黑龙江大庆期末)如果函数y=(k-3)x7+4x+1是关于x的二次函数，则k= 6.(2025九年级上全国·专题练习)如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为m,m y m xm 618 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若绳长为10m,则y与x的关系式为 ,y是x的 函数； (2)若矩形的面积是10m,则y与x的关系式为 ,y是x的 函数： (3)若矩形的周长为20m,矩形的面积为Sm2,则s与x的关系式为 S是x的 函数. 三、解答题 7.(25-26九年级上广西梧州期中)(1)若函数y=(m-2)x2+2x-m是关于x的二次函数，求m的 值： (2)已知二次函数y=x++9的图像与x轴只有一个交点，求该交点的坐标. 8.(2026河南周口·二模)某农资店经销一种优质化肥，进价为每吨2000元，物价部门规定销售单价不 低于进价，且不高于每吨2800元.经市场调研：当售价定为每吨2400元时，每日可售出40吨；售价每提 高100元，每日销量减少5吨.设每吨售价提高100x元. (1)写出每日销售量y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)当每吨售价定为多少元时，每日销售利润最大？最大利润是多少？ 拓展 链接中考 1.(2025广东中考真题)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则该二次函 数的表达式可以是一，（写出一个即可） 2.(2026四川巴中中考真题)如图，在边长为1的等边三角形ABC中，D为BC边上的动点（不与端点 重合)，过点D作DG⊥AB于点G.下列说法正确的有 (填写序号，错选不得分，少选得 2分，选全得4分) ①0<DG<1: ②SAADG>S△BDG: 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③设AG=x,则△ADG的面积S是关于x的二次函数： ④仅存在一点D,使得S△4CD=SADG. 818