11.3.1 两数和乘以这两数的差 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“两数和乘以这两数的差”即平方差公式，通过“地主土地问题”情境导入引发思考，结合多项式乘法计算实例逐步抽象出公式，再以几何图形剪拼验证公式，构建从具体到抽象的知识支架，衔接整式乘除与后续因式分解。 其亮点在于以几何直观呈现公式意义，通过简便运算（如99×101）、实际应用（街心花园改造）等实例，培养学生抽象能力、运算能力和应用意识。练习题分层设计，含拓展讲解与易错提示，助力学生巩固，教师可高效开展教学。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 11.3.1 两数和乘以这两数的差 第十一章 整式的乘除 华东师大版八上11.3.1两数和乘以这两数的差同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列式子能直接用平方差公式计算的是（） A. $$(a+b)(a+b)$$ B. $$(a-b)(b-a)$$ C. $$(a+b)(a-b)$$ D. $$(a+2b)(2a-b)$$ 2. 计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（） A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x-9$$ 3. 计算$$(2a-1)(2a+1)$$的结果是（） A. $$4a^2-1$$ B.$$4a^2+1$$ C. $$2a^2-1$$ D. $$4a^2-4a+1$$ 4. 化简$$(-m+2n)(-m-2n)$$的结果是（） A. $$m^2-4n^2$$ B. $$4n^2-m^2$$ C.$$-m^2-4n^2$$ D. $$m^2+4n^2$$ 5. 计算$$99\times101$$的简便结果是（） A. 9900 B. 9999 C. 10000 D. 10001 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. $$(a+5)(a-5)=$$________。 2. $$(3x+2)(3x-2)=$$________。 3. $$(2m-n)(2m+n)=$$________。 4. $$x^2-16=(x+4)\cdot$$________。 5. 化简：$$(xy+3)(xy-3)=$$________。 6. 若$$(x+2k)(x-2k)=x^2-16$$，则$$k=$$________。 三、计算题（每题 6 分，共 36 分） 1. 基础公式计算： （1）$$(x+6)(x-6)$$ （2）$$(4a-b)(4a+b)$$ （3）$$(5x+3y)(5x-3y)$$ 2. 简便运算与化简： （1）$$98\times102$$ （2）$$(-2x+5)(-2x-5)$$ （3）$$x(x-1)-(x+2)(x-2)$$ 四、解答题（共 20 分） 1. 先化简，再求值：$$(2x+3)(2x-3)-x(4x-1)$$，其中$$x=2$$。（10 分） 2. 已知$$a^2-b^2=12$$，且$$a+b=4$$，求$$a-b$$的值。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.A 4.A 5.B 二、填空题 1.$$a^2-25$$ 2.$$9x^2-4$$ 3.$$4m^2-n^2$$ 4.$$x-4$$ 5.$$x^2y^2-9$$ 6.$$\pm2$$ 三、计算题 1.（1）$$x^2-36$$ （2）$$16a^2-b^2$$ （3）$$25x^2-9y^2$$ 2.（1）原式$$=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=9996$$ （2）$$4x^2-25$$ （3）原式$$=x^2-x-x^2+4=-x+4$$ 四、解答题 1. 解：原式$$=4x^2-9-4x^2+x=x-9$$ 将$$x=2$$代入得：原式$$=2-9=-7$$ 答：式子的值为$$-7$$。 2. 解：由平方差公式可得：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ 代入已知条件：$$4(a-b)=12$$ 解得：$$a-b=3$$ 答：$$a-b$$的值为3。 练习题拓展讲解（约 400 字） 两数和乘以这两数的差，也就是**平方差公式**，是初中最核心、最常用的乘法公式，是整式化简、简便运算、因式分解的重要基础。本节核心公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$，文字表述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式适用条件是重中之重：式子必须满足一项完全相同，一项互为相反数，相同项作为公式中的$$a$$，相反项作为公式中的$$b$$。运算口诀：“同方减异方”，即相同数的平方减去相反数的平方。需要注意，公式中的$$a、b$$可以是数字、单项式、多项式，适用范围十分广泛。 本节高频考点分为三类：基础公式正向化简、数值简便运算、公式逆向求值。利用平方差公式可快速计算接近整十、整百的数的乘积，大幅简化运算。常见易错点：混淆公式顺序，误写为$$b^2-a^2$$；不符合公式结构强行套用；混合运算中忘记先套用公式再合并化简。熟练掌握公式正逆运用，区分公式结构特征，能高效解决各类整式运算题型，也为后续完全平方公式、因式分解学习筑牢基础。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 学习目标 1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构 学习目标 5m x m 情境导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块长为 x m 的正方形的土地租给张老汉种植.有一天，他对张老汉说：“我把这块地的一边减少5m，另一边增加5m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得没有吃亏，就答应了.回到家中，他把这件事对邻居讲了，邻居一听，说：“张老汉你吃亏了！”，张老汉非常吃惊. 5m x−5m x+5m x2____(x+5)(x−5) ？ 02 新知导入 计算下面题目： （1）( x + 2 )( x - 2 )； （2）(a + 5b) (a - 5b) 解：（1）( x + 2 )( x - 2 ) =x2- 2x +2x - 22 =x2- 22 =x2- 4. （2）(a + 5b) (a - 5b) =a2- 5ab +5ab - (5b)2 =a2-(5b)2 =a2- 25b2. 03 新知探究 探究 两数和乘以这两数的差 用多项式的乘法法则计算：(a + b)(a - b ). (a + b)(a - b )=____________________ =_________. a2 - ab + ab - b2 a2 - b2 观察：等式左边两个多项式有什么关系？式子的计算结果有什么特点？ 03 新知探究 探究 两数和乘以这两数的差 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 两数的和乘以这两数的差. 这两个数的平方差. 这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 知识要点 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 也简称为 平方差公式. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 注意：公式中a、b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。 03 新知探究 探究 几何图形验证平方差公式 观察下图，有一个边长为a的大正方形，在大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形(a>b)。“如何用两种不同的方法表示剩下图形的面积?” 03 新知探究 探究 几何图形验证平方差公式 观察下图，有一个边长为a的大正方形，在大正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形(a>b)。“如何用两种不同的方法表示剩下图形的面积?” 方法一：剩下图形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2- b2。 03 新知探究 探究 几何图形验证平方差公式 方法二：将剩下的图形进行拼接，可得到一个长为(a+b)，宽为 (a-b)的长方形，其面积为(a + b)(a - b)。 (a + b)(a - b) 03 新知探究 探究 几何图形验证平方差公式 怎样用等式表示下图中图形面积的运算 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 03 新知讲解 计算： (1) ( a + 3 )( a - 3 )； (2) ( 2a +3b ) ( 2a - 3b ); 解：(1) ( a + 3 )( a - 3 ) =a2 - 32 =a2 - 9 例1 （2）( 2a +3b ) ( 2a - 3b ) =（2a）2 - （3b）2 =4a2 - 9b2 03 新知讲解 计算： (3) (1 + 2c)(1 - 2c)； (4) ( -2x - y )( 2x - y ). （3）(1 + 2c)(1 - 2c) =12 -（2c）2 =1 - 4c2 例1 （4）( -2x - y )( 2x - y ) = (- y -2x )( - y+2x ) =（-y）2 - （2x）2 = y2 - 4x2 03 新知讲解 计算： (4) ( -2x - y )( 2x - y ). 例1 解：( -2x - y )( 2x - y ) =- ( 2x + y )( 2x - y ) =- [（2x）2- y2 ] =-（4x2- y2） = y2 - 4x2 你还有其他解 法吗？ 拓展提高 运用平方差公式进行计算的“三步法”： 变形 套公式 计算 将算式变形为两数和与两数差的积的形式 套用公式，将结果写成两数平方差的形式 根据积的乘方计算. 套用平方差公式时，结果为(完全相同项)2-(互为相反数的项)2 03 新知讲解 计算：1998 × 2002. 解：1 998 × 2002 =( 2000 - 2 ) × ( 2000 + 2 ) =20002 - 22 =4000000 - 4 =3 999 996. 例2 如何将其转化为符合平方差公式的形式进行简便计算？ 03 新知讲解 如图，街心花园有一块边长为am的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪.求这块长方形草坪的面积. 例3 解： ( a+2 )( a - 2 )=a2 - 4. 答：这块长方形草坪的面积为(a2 - 4)m2. 1. ［2025深圳龙华区期中］下列多项式相乘，不能运用平方 差公式计算的是( ) C A. B. C. D. 2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 中考考法 18 3. 若，则 等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 返回 中考考法 4. 已知，，则与 的大小关 系是( ) A A. B. C. D. 不能确定 【点拨】 ， ， . 返回 中考考法 20 5.三个连续偶数，若中间一个是 ，则它们的积为________. 6. 已知 ，则式子 的值为____. 【点拨】 ， ， 原式 . 返回 中考考法 21 7. 霍州鼓楼位于山西霍州市城内中心，明万历 十一年（1583年）建，又称文昌阁.其结构外表是明二假三层， 它的间架结构复杂新颖、巧妙结合，采用了我国古建筑中的 一种凹凸结合的连接方式——榫卯 结构，精密谨 严天衣无缝，行家里手惊佩它工艺精湛超群绝伦.如图①是一 个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，整体是一个长为 ，宽为 的长方形，中间凿掉一个边长 中考考法 22 为的正方形，且该零件的高为 .则这个零部件的体积 为____________ . 返回 中考考法 8.计算： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 中考考法 24 9.先化简，再求值： ，其中 ， . 【解】 ， 当， 时，原式 . 返回 中考考法 25 10. 如果，那么 的值 为( ) D A. B. C. 2 D. 【点拨】 ， ，即 . 返回 中考考法 26 11. 老师在黑板上设置了一个趣味数学游戏： 第一步：取一个自然数，计算得到 ； 第二步：算出的各位数字之和得到 ，计算 得到；第三步：算出 的各位数字之和得 到，再计算得到 ；……；依此类推，则 的值为( ) B A. 63 B. 80 C. 99 D. 120 中考考法 27 12. 已知为实数，若有整数， ，满足 ，则称是，的弦数.若且 为 整数，请写出一组，，，使得是， 的弦数：______ _________________. 5，4，3（答案不唯一） 13. 小丽在计算 时，把 3写成 后，发现可以连续运用平方差公式进行计算.用 类似的方法计算： ___. 2 中考考法 28 14. 在一个艺术工作室中，设计师正在进行一 幅拼图作品的创作.他使用了大小不同的正方形纸片来构建图 案.如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组 合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是 24，那么阴影部分的面积是____. 12 中考考法 29 05 课堂小结 1.本节课学习了什么公式？这个公式的内容是什么？ 平方差公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；​右边是相同项的平方减去相反项的平方 。 本节课学习了平方差公式，其内容为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，用字母表示为(a + b)(a - b) =a2 - b2。 2.平方差公式有什么结构特征？ $