11.3.1 两数和乘以这两数的差（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“两数和乘以这两数的差”，核心知识点为平方差公式。课堂以“狡猾地主的‘公平’交易”情境导入，前承多项式乘法法则，后接公式直接套用、变形及简便计算，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合几何直观与情境教学，通过图形面积验证公式（数学眼光），结合地主分地等生活实例（模型意识），设置中考考点与核心易错总结（推理意识、运算能力）。含视频辅助理解，帮助学生精准识别公式结构，教师可高效开展分层教学。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 11.3.1 两数和乘以这两数的差 第11章　整式的乘除 华东师大版八年级上册11.3.1两数和乘以这两数的差同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕11.3.1两数和乘以这两数的差核心知识点编写，是多项式相乘的特殊简便运算，重点考查平方差公式的理解、直接套用、变形运用、简便计算及整式化简。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生精准识别平方差公式结构特征，熟练运用公式简化运算，规避公式套用错误、结构识别不清等高频问题。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 平方差公式$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$的结构特点是（） A. 两项和乘两项和 B. 两项差乘两项差 C. 相同项与相反项的乘积 D. 任意两个多项式相乘 2. 计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（） A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x+9$$ 3. 下列算式能使用平方差公式计算的是（） A. $$(x+2)(x+2)$$ B. $$(x-2)(2-x)$$ C. $$(x+2)(x-3)$$ D. $$(2x+1)(2x-1)$$ 4. 计算$$(2a-5)(2a+5)$$的结果是（） A. $$4a^2-25$$ B. $$4a^2+25$$ C. $$2a^2-25$$ D. $$4a^2-10$$ 5. 化简$$(m+4)(m-4)-m^2$$的结果是（） A. 16 B. -16 C. 8m D. -8m 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 计算：$$(x+5)(x-5)=$$________。 2. $$(3a-2b)(3a+2b)=$$________。 3. $$(xy+1)(xy-1)=$$________。 4. 利用公式简便计算：$$99\times101=$$________。 5. 若$$(x+ay)(x-ay)=x^2-16y^2$$，则$$a=$$________。 三、解答题（共20分） 1. 运用平方差公式计算下列各式（8分） （1）$$(x+6)(x-6)$$（2）$$(4m-3n)(4m+3n)$$ （3）$$(-2x+3)(-2x-3)$$ （4）$$(2x^2+5)(2x^2-5)$$ 2. 利用平方差公式简便计算（6分） （1）$$98\times102$$ （2）$$50.5\times49.5$$ 3. 先化简，再求值：$$(x+2)(x-2)-(x-1)^2$$，其中$$x=3$$（6分） 四、参考答案与解析 一、选择题 1. C 解析：平方差公式适用条件：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数，最终结果为相同项平方减相反项平方。 2. A 解析：直接套用公式，原式=$$x^2-3^2=x^2-9$$。 3. D 解析：只有D选项存在相同项$$2x$$和相反项$$1、-1$$，符合平方差公式结构。 4. A 解析：原式=$$(2a)^2-5^2=4a^2-25$$，注意整体平方，系数需同步平方。 5. B 解析：原式=$$m^2-16-m^2=-16$$，展开后合并同类项即可化简。 二、填空题 1. $$x^2-25$$ 2. $$9a^2-4b^2$$ 3. $$x^2y^2-1$$ 4. 9999 5. ±4 三、解答题 1. （1）原式=$$x^2-36$$；（2）原式=$$16m^2-9n^2$$；（3）原式=$$4x^2-9$$；（4）原式=$$4x^4-25$$。 2. （1）原式=$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$；（2）原式=$$(50+0.5)(50-0.5)=50^2-0.5^2=2500-0.25=2499.75$$。 3. 解：原式=$$x^2-4-(x^2-2x+1)=x^2-4-x^2+2x-1=2x-5$$，代入$$x=3$$，原式=$$6-5=1$$。 核心易错总结：1. 牢记公式结构：同平方减反平方，必须区分相同项和相反项；2. 整体因式平方时，系数、括号内整体都要平方，切勿漏平方系数；3. 负数开头的式子先找准相同项，再套用公式；4. 区分平方差与完全平方公式，避免公式混淆，化简题型需先套公式再合并同类项。 理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点） 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x ＋ 5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 狡猾地主的“公平”交易 张老汉租了一块边长为 a (a＞2)米的正方形菜地，种出的萝卜又大又甜. 地主眼红了，第二年笑眯眯地说：“老张啊，我把地的一边缩短 2 米，另一边加长 2 米，形状变成长方形，但租金不变！你看，总长度没变，你可没吃亏！” 张老汉挠挠头：“一边减 2，一边加 2， 好像挺公平？”于是答应了. 回家后邻居王大婶惊呼：“你亏大啦！” 张老汉急得直拍大腿：“为啥？ 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 试一试 观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算: a a b b b (a+b)(a−b) a2 b2 = - = - 几何角度证明. (a+b)(a−b) a b 结果 (−x+y)(x+y) y x y2−x2 (x−y)(y+x) x y x2−y2 (−x−y)(−x+y) −x y x2−y2 (x−y)(−x−y) −y x y2−x2 试一试，你能用平方差公式直接计算吗？ 使用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2时，关键在于找准a与b，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b. 例1 计算： （1）(a+3)(a−3)； （2）(2a+3b)·(2a−3b)； （3）(1+2c)·(1−2c)； （4）(−2x−y)·(2x−y). =a2−32 =a2−9 =(2a)2−(3b)2 =4a2−9b2 =12−(2c)2 =1−4c2 =(−y+2x)(−y−2x) =(−y)2−(2x)2 =y2−4x2 你还有其他解法吗？ =−(2x+y)(2x−y) =−(4x2−y2) =−4x2+y2 1.计算： （1）(2x+ )(2x- )； （2）(-x+2)(-x-2)； = 4x2- =(-x)2-22 =x2-4 （3）(-2x+y)(2x+y)； （4）(y-x)(-x-y). =(y)2-(2x)2 =y2-4x2 =(-x)2-(y)2 =x2-y2 找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数，即公式中的b. 例2 计算：1998×2002. 解 1998×2002 写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便. =(2000−2)×(2000+2) =20002−22 =4000000−4 =3999996. 2.计算： （1）498×502； （2）999×1001； =(500-2)×(500+2) =250000-4 =249996 =(1000-1)×(1000+1) =1000000-1 =999999 例3 如图，街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积. a 2 a 2 解 (a+2)(a−2)=a2−4. 答：这块长方形草坪的面积为(a2−4)m2. 点击图片播放视频 返回 1. 下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是(　　) A．(2m－n)(n＋2m) B．(－m＋n)(m＋n) C．(2n－m)(2m－n) D．(－m－n)(－m＋n) C 中考考法 14 返回 2．下列多项式中，与－x＋y相乘的结果为x2－y2的是(　　) A．x＋y　　　　 B．x－y C．－x＋y　　　　 D．－x－y D 中考考法 15 返回 3．若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B 中考考法 16 返回 4．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为__________． n3－4n 中考考法 17 返回 5. 已知x2－x－1＝0，则式子(x＋3)·(x－3)＋x(x－2)的值为________． －7 中考考法 18 返回 6．计算： (1)(2x－3)(2x＋3)(4x2＋9)；   (2)(x＋y－3)(x－y＋3)． 【解】原式＝(4x2－9)(4x2＋9)＝16x4－81. 【解】原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]＝x2－(y－3)2＝x2－(y2－3y－3y＋9)＝x2－y2＋6y－9. 中考考法 19 返回 7．已知4x2－y2＝3，则(2x＋y)3(y－2x)3的值是(　　) A．－27 B．－9 C．9 D．27 A 【点拨】(2x＋y)3(y－2x)3＝－(2x＋y)3(2x－y)3＝－[(2x＋y)(2x－y)]3＝－(4x2－y2)3＝－33＝－27. 中考考法 20 返回 8．已知M＝2 0262，N＝2 025×2 027，则M与N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 A 【点拨】∵M＝2 0262，N＝2 025×2 027＝(2 026－1)(2 026＋1)＝2 0262－1，∴M－N＝2 0262－(2 0262－1)＝1＞0.∴M＞N. 中考考法 21 返回 9．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝________． 6 【点拨】∵(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，∴[(a2＋b2)＋1][(a2＋b2)－1]＝35，∴(a2＋b2)2－1＝35，∴(a2＋b2)2＝36.∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝6. 中考考法 22 返回 10. 霍州鼓楼位于山西省霍州市市中心，明万历十一年(1583年)建，又称文昌阁．建筑融合了木构阁楼与琉璃工艺，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯(sǔn mǎo)结构，其精湛的工艺传扬至今．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，截面的整体是一个长为(2a＋b)cm，宽为(2a－b)cm的长方形，中间凿掉一个边长为a cm的正方形，且该零部件的高为a cm.则这个零部件的体积为__________cm3. (3a3－ab2) 中考考法 23 课堂小结 整式的乘法 平方差公式 特殊情形 (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. 24 $