第二章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程单元复习卷，全面覆盖配方法、根的判别式等核心知识，通过时代情境与几何应用题设计，渗透模型意识与推理能力，适配单元综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|根的判别式、根与系数关系|结合低空经济研发（第10题）等时代情境| |填空题|6/18|解方程、代数式求值|融入温州园博园文创利润问题（第16题）| |解答题|8/72|换元法、几何运动（第23题）、钢球滚动物理情境（第24题）|综合方程与几何最值，体现推理能力与应用意识|

第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 2．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程，判别式为 选项A：方程中，， ， 方程没有实数根，A不符合要求； 选项B：方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，B不符合要求； 选项C：方程中， ， 方程有两个不相等的实数根，C符合要求； 选项D：方程中， ， 方程没有实数根，D不符合要求． 3．下列方程中，有实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解无理方程，解分式方程，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质可得，据此可判断A；根据二次根式有意义的条件可得，则，据此可判断B；解分式方程可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； B、∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴原方程无实数根，不符合题意； C、∵， ∴去分母得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无实数根，不符合题意； D、∵， ∴去分母得：， ∴， 解得， 经检验，当是原方程的解， ∴原方程有实数根，符合题意， 故选：D． 4．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 5．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 6．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 7．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 8．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 9．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 10．杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．方程的根是________． 【答案】 【分析】等式两边同时除以，将未知数的系数化为1，再根据乘方的计算即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或（舍去）， ∴ ． 12．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 13．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 14．关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，联立不等式求解即可． 【详解】解：由题意，该方程为一元二次方程，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式满足， 解得， 因此的取值范围是且． 15．某农场利用围墙为一边，用总长米的栅栏围成了如图所示的（1）（2）（3）的三块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域面积为平米，设 ，试列出方程（化成二次项系数为的一元二次方程，要求为一般式）___________________； 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出，设，则，，根据栅栏总长为米得出，则，进而根据总区域面积为平米，列出方程，再化为一般式即可求解． 【详解】解：∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形的面积是矩形的倍， ∴， ∴； 设，则，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∵总区域面积为平米， ∴，即； ∴ 即． 故答案为：． 16．以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【详解】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因为等式左侧是完全平方形式，所以可以用直接开平方法，根据平方根的定义，得到等于9的两个平方根，再分别求解． （2）可选择配方法，先将常数项移到等式右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方形式后开平方求解． 【详解】（1）解： 两边直接开平方得： ， 当 时，解得 ； 当 时，解得 ． ． （2）解：先移项得：， 配方得： ， 整理得， 开平方得：， 移项得， ． 18．阅读材料：已知实数满足，求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，即． 上面这种方法称为“换元法”．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数满足，则___________． (2)若，求的值． 【答案】(1) ； (2) 9 【分析】（1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得， ∴， ∴，即． 故答案为：； （2）设， 则，即， 解得：或， 由，得， 即． 【点睛】换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 19．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接得到有实数根；时，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒非负，即可证明方程总有实数根． （2）先求出方程的两个根，再根据"两个不相等的正整数根"和为整数的条件，筛选得到符合要求的的值． 【详解】（1）证明：分两种情况讨论：当时，原方程化为， 解得，有实数根； 当时，原方程是一元二次方程， ， 任意实数的平方非负， ，即，方程总有实数根； 综上，不论为何值，方程总有实数根． （2）解： 方程有两个不相等的正整数根， ，且，即，得． 将方程因式分解得， 解得，． 两个根都是不相等的正整数，是整数， 为整数，且为正整数， 因此是的约数，可能取值为． 逐一验证：已排除，不符合； 时，，不是正整数，舍去； 时，，是正整数，且，符合条件； 时，，是正整数，且，符合条件； 因此整数的值为或． 20．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 22．阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：； ②求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：__________； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照①因式分解即可； （）仿照②解答即可； （）由已知得，即得，再仿照②解答即可求解； 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 23．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 24．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章一元二次方程单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1,用配方法将方程2-4x-2025=0转化为x+m=”的形式，则m+m的值为《） A.2027 B.-2027 C.2031 D.-2031 2.下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+4=0 B.x2+2x+1=0 C.x2+x-2=0 D.2x2+x+1=0 3.下列方程中，有实数根的方程是() A.V2r-3+1=0 B V1-x=x-2 C.x-2x-2 D.-2x2 x 2 4.已知一元二次方程 2x(x+7)-10(x+7)= 0的两根为a、b,且a>b,则a+2b= () A.-13 B.-9 C.4 D.-3 5.若方程m-)+4r-2=0是关于x的元二次方程，则”的值是《） A.-1 B.1 C.1 D.-2 6.已知、是一元二次方程3x+2x-6=0的两根，则：+1)：+1) 的值是() 8 A.-3 4 C.-3 D.3 4 7.已知一元二次方程-4红-5=0的两根为5=m:名=，一元二次方程2+号+1=0 5 的两根为5=1 1 ,则值是() 1 A.1 B.5 C.5 D. 试卷第1页，共3页 k2 x2+(k-2)x+ =0 8.若关于x的一元二次方程 4 的两根互为倒数，则k的值为() A.-2 B.2 C.2或-2 D.1 9.已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x 的一元二次方程x2+kc+48=0的两个根，则k的值为（) A.-14 B.-19 C.14 D.-48 10.杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经 费达2310万元.已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高5%.设 2025年研发经费的增长率为x,则() 2000(1+x)1+5%)=2310 A B. 2000(1+x)(1+x+5%)=2310 C.2000(1+x+5%)2=2310 D.2000(1+2x+5%)=2310 二、填空题（每题3分，共18分） 1,方程4=的根是 12.若m是方程x2-2x-4=0的一个根，则代数式2m2-4m-2025的值为 13。.已知m,”是方程+3x-1=0的两个根，则m+3m+3+3n+2)= 14.关于x的一元二次方程x2-3x+2=0有实数根，则k的取值范围是 15.某农场利用围墙为一边，用总长80米的栅栏围成了如图所示的(1)(2)(3)的三 块矩形区域，若这三块区域的面积都相等，且总区域ABCD面积为252平米，设AB=x, 试列出方程（化成二次项系数为1的一元二次方程，要求为一般式） 试卷第2页，共3页 4 (2) (1)F (3) 16.以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客.园内 售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为30元.当售价定为每件40元时，每天可 售出300件.经市场调研发现，该产品每件售价每上涨1元，每天销售量就会减少6件.若 每天销售该文创产品的总利润为4050元，设每件文创产品上涨了x元，根据题意，可列方 程为 三、解答题（每题9分，共72分） 17.解下列方程： x-1}=9 包+4x-2=0 18,阅读材料：已知实数B9满足D+9+2p+9-2)=45 求P+9的值： 解：设P+9= ,则原方程变为 t+2)(t-2)=45 整理得-4=45,1=49,1=士7，即 p+9=±7 上面这种方法称为“换元法”.根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程 1)已知实数'满足x-y+5x-y-5)=39 则y @若a+bc+-2列-=8，求2i+26+1的位 19.已知关于x的方程mr-(5m+3)x+6m+9=0 (1)求证：方程总有实数根： (2)若方程有两个不相等的正整数根，求整数m的值. 试卷第3页，共3页 2+(2k-1)x+k2-1=0 20.已知关于x的一元二次方程 的两个实数根分别为， (1)求k的取值范围： (2若满足 +x3=3-x ,求实数k的值. 2+(m-3)x+m-5=0 21.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根： ②)若方程有两个实数根5，。，且+6+25=3 ,求m值. 22.阅读与思考 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个 完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非 负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用， 例如：①用配方法因式分解： x2+2x-3=(x2+2x+1-1-3=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1) ②求代数式x2-6x+11的最小值： x2-6x+11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3)2+2 :.-3y 是非负数，即 x-3)2≥0 :r-3+2≥2 则代数式r-6x+1 1的最小值是2 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：x2+4x-12= (2)求x2+8x+12的最小值： x2+3x+y-5=0 (3)若 0,求+的最小值。 23.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始沿边AB向终点 B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移 试卷第4页，共3页 动.如果P、分别从A、B同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止 运动，设运动时间为秒. D (L)填空：B2=_cm,PB=cm.(用含t的代数式表示) (2)当五边形APOCD的面积等于104cm时，求此时1的值. (3)是否存在t的值，使线段PQ的长度最小，若存在，请求出此时t的值和最小值，若不存 在，请说明理由. 24.如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加2m/s. oM 4设”（单位： m/s )是滚动时间t(单位：s)时的速度，t和数量关系见下表： t(秒) 0 1 2 3 v (米秒 0 2 a 6 ) 由题意可知：a= ,b (2)若斜面A的坡面MN长为l6m,此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N, ①求钢球在此运动中滚动的时间： ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少l.6ms, 若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程 3=平均速度×运动时间1，了-兰 2，,是开始时速度，y是t秒时的速度) 试卷第5页，共3页 试卷第6页，共3页