专题1.5 相似三角形的应用（9大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的应用这一核心知识点，先巩固相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例）和性质（对应边成比例、周长比等于相似比等），再通过测量物体高度、计算距离等实际问题，引导学生将现实情境转化为相似三角形模型，构建从理论到应用的学习支架。 该资料以情境化设计为特色，融入老子铜像、永祚寺双塔等文化地标及《周髀算经》等典籍案例，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力与几何直观。通过典例与变式分层训练，提升推理意识，助力学生用数学思维解决测高、测距等问题。课中辅助教师高效教学，课后学生可通过即学即练和综合题查漏补缺，强化模型意识与应用意识。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.5 相似三角形的应用 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01相似三角形的性质的应用涉及的知识 2.知识清单 题型01利用三角形相似求建筑物高问题 题型02利用三角形相似求影长问题 题型03利用三角形相似求河宽问题 相似三角形的应用 题型04利用三角形相似求树高问题 题型05利用三角形相似求杠杆问题 3.题型精讲 题型06利用三角形相似求镜面问题 题型07利用三角形相似求古文问题 题型08利用三角形相似求现实生活相关问题 题型09利用三角形相似求三角形内接矩形问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 进一步巩固相似三角形的判定定理和性质，清晰理解其适用条件。 2. 熟练运用相似三角形知识，解决诸如测量物体长度和高度、计算距离等无法直接 教学目标 测量的实际问题。 3.经历将实际问题转化为相似三角形数学模型的过程，增强数学建模思维，提升分 析和解决问题的能力。 1.重点 (1)能够准确识别实际问题中相似三角形的模型，熟练运用相似三角形对应边成比 教学重难点 例等性质求解相关问题。 (2)掌握利用相似三角形解决常见实际测量问题的方法，如测高、测距。 2.难点 1/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (1)从复杂的实际情境中抽象出相似三角形模型，准确找出对应边和对应角。 (2)灵活运用相似三角形知识，对实际问题进行全面分析，选择合适的条件和方法 进行求解。 知识清单 知识点01相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的 两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于 相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度)、计算距离（如河宽测量）、工 程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【即学即练】1.(2026河北沧州三模)如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛 CD的像AB是CD的3倍，若点O到蜡烛的距离OF=20cm,则光屏到蜡烛的距离为() A.40cm B.60cm C.80cm D.100cm 2.(2026西藏拉萨模拟预测)在某一时刻，测得竹竿DF的影长EF为0.6m,DF=1.8m,同时测得旗 杆AC的影长BC为3m,则旗杆AC的长为 m. 3.(2026广西·中考真题)图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告 牌的高度MN 2/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，MN所在直线垂直地面于点A,甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C,点A,C在同一水 平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B 发出的光线反射到点N处.经测量：BC=1.5米，AC=12米，CD=2米，DE=2米，记点D,E处的法 线分别为SD,TE,即SD⊥AC,TE⊥AC,根据光的反射定律，∠MDS=∠BDS,∠NET=∠BET. M 传家风家 弘物传统麦德。 图1 图2 (I)求证：∠MDA=∠BDC. (②)求此公益广告牌的高度MN. 题型精讲 题型01利用三角形相似求建筑物高问题 【典例1】(2026山东青岛三模)崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传 承功能.数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们 借助附近一棵大树EF(大树上的标志牌写着树高l0.5m)测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度 CD约是() E A 10.5m 1.5m B 18m 79m A.50米 B.48米 c.52米 D.54米 【变式1】(25-26九年级上山西运城期中)永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即 1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔 高度，如图是他们借助附近一棵大树EF(大树上的标志牌写着树高10.5m)测得的一些数据，可以计算出 塔的高度约为() 3/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 10.5m 1.5m F BK 10m 50m A.45m B.53m c.55.5m D.44.5m 【变式2】(2024山西晋中·模拟预测)普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西 厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑其中，最著名的便是莺营塔（如图1)·数学 兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔(CD)72m的点P处，然后观测者沿着直 线CP后退到点B处.这时恰好在镜子里看到塔顶端D,量得BP=3m,已知观测者目高AB=1.5m,那么 该古塔(CD)的高度是 1m. B 图1 图2 【变式3】(25-26九年级上·山东聊城阶段检测)某数学活动小组欲测量某建筑的高度MN,如图，在距 MN为9m的点B处竖立一根长为5.5m的直杆AB,恰好使得观测点E、直杆的顶点A和该建筑的顶点W 在同一条直线上.若DB=2m,DE=1.5m,求该建筑的高MN. 题型02利用三角形相似求影长问题 【典例2】如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种 测量方案： 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任务一：你选取的工具是 (可选工具：小镜子、标杆、皮尺)： 任务二：请在图中画出方案示意图： 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）· 测量数据：①小星与旗杆的距离为l8m,②小星到镜子的距离为2m,③镜子到旗杆的距离为l6m,④同 一时刻，小星的影长为2m,旗杆的影长为l6m,⑤小星的身高为1.7m(眼睛到头顶的距离忽略不计)， ⑥标杆长3.lm,⑦小星与标杆的距离为2m 【变式1】如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得m长的竹竿竖直放置时影长为 1.5m,在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上， 测得落在地面上的影长BD为l8m,留在墙上的影高CD为3m,AB⊥BD,CD⊥BD,点A,B,C,D 在同一平面内，求旗杆的高度AB. A太阳光线 B 【变式2】数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔AB高度，并给出测量设计方案.测量 工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺.请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔 高；若认为两个方案均不可行，则说明理由 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式.如图1，第一次测量某一时刻木 棍CD与塔影一端重合在点M,测得棍影CM为1米；第二次测量另一时刻棍影EN与塔影BN一端重合在 点N,测得EW=1.5米，木棍移动距离CE=12米， 小河组：采用固定木棍分次测量方式.如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影BE的位置并测量出 棍影QG长为1.5米.第二次测量在某一时刻，标记塔影BF的位置并测量出棍影QH长为2米，两次塔影 顶端EF的距离为12.4米， (注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光) M B B 图1 图2 5/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03利用三角形相似求河宽问题 【典例3】如图，ED为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即 CE=3米)，因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上己经建好一座 固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，己知吊篮的截面为直径为1米的半 圆（直径MN=1米），绳子QM=QN=1.3米，钢架高度2.2米(AB=2.2米)，距离防洪堤边缘为0.5米 (BC=0.5米). (1)西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为一米： (2)滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C,则DP的长度应大于 米 0 D P 西岸东岸 【变式1】如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,使AB与河 岸垂直，在近岸取点C,E,使BC⊥AB,CE⊥BC,AE与BC交于点D.己测得BD=30米，DC=I0米， EC=12米，求河宽AB的长. 【变式2】如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10，在距离岸边 16的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树B、C的树干恰好被这岸的两棵树E、D的树干遮住，又知这岸 的两棵树D、E之间有一棵树，对岸的两棵树B、C之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽. 6/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04利用三角形相似求树高问题 【典例4】樱花红陌上，杨柳绿池边.每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园 增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质.高新区某中学的 数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架(EF) 放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着 直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量BF,DF,EF,观测者目 高(CD)的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知CD⊥BD于点D,EF⊥BD于点F, AB⊥BD于点B,BF=6米，DF=2米，EF=0.5米，CD=1.7米，那么这棵樱花树的高度(AB的长) 是多少米？ B 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中 的∠ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在同一 水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=50cm,BD=25cm,AQ=16m. 求树高P B 【变式2】小明想测量电线杆AB的高度，他发现电线杆AB的影子正好落在坡面CD和地面BC上，已知 CD和地面成30°角，CD=4m,BC=l0m,且此时刻得lm高的标杆在地面的影长为2m, 1米杆 2米 4米 2米影 B10米 C (1)点D到地面的距离为_米 7/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求电线杆AB的高（结果保留根号） (3)若CG是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线AD上，在山坡上有一建筑物EF高2，求此时 它落在坡面上的影长FK(结果保留根号)· 题型05利用三角形相似求杠杆问题 【典例5】桔棉俗称“吊杆”（如图1），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械. 桔棉示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OA:OB=2:1,当点A运动到点A 处时，物体B运动到B处.若A4=3.6m,则B,B两点之间的距离为 m. ) A B M 地面 图1 图2 【变式1】如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，己知BO=2AO,则要使该圆球向上拾升（竖直高度） 12cm,杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是一cm B A 【变式2】我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”，如图，杠杆CD以P为支点，当 C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面DD'是l20cm;当工人用力按压D端，直至点D着地落到D 时，C端的重物被送到C'处，此时重物距离地面CC'为8OCm,求支点P到地面的距离PM. 用力点阻力点 支点 题型06利用三角形相似求镜面问题 【典例6】如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点C处水平放置一平面镜，然后 向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离 8/24 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 地面的高度AB=1.6m,同时量得小明与镜子的水平距离BC=2m,镜子与旗杆的水平距离CD=12m. (I)求证：△ABCAEDC: (2)求旗杆ED的高度. 【变式1】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米.如图①，现因房间两面墙的距离为3米， 因此使用平面镜来解决房间小的问题，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理， 作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处， 如果视力表的全长为0.8米，求镜长MM'的长. 平 3米 面 B ① ② 【变式2】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智 和古塔之间，直线BM上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C,镜子不动，小安看着镜面上的 标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地 面的高度ED=1.6米，CD=2.8米.同时，在阳光下，古塔AB的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测 得大智身高FG为1.8米，影长FH为3.6米，己知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,DH=21.2米，A、H、 G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔AB的高 度 -M 题型07利用三角形相似求古文问题 【典例7】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图1)，由于使用时安 9/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图2所示的位置，令BG=x(单位：m), EG=y(单位：m),若a=10cm,b=20cm,AB=1.55m,则y关于x的函数解析式为() E a 铅 B -b G✉ 图1 图2 A.y=0.5x+1.55B.y=0.5x+1.60 C.y=2x+1.55 D.y=x+1.55 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中 的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度.如图，点A,B,Q在同一水 平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB=0.4m,BD=0.2m,A0=12m,求 树高P№. 0 【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆， 合矩以为方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线BAC). 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度E℉. 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边BC保持水平(BC∥DF), 并且边AB与点E在同一直线上，BD、EF均与DF垂直. 测量结果：AB=0.3m,AC=0.2m,∠BAC=∠DFE=90°，BD=1.6m,DF=21.6m, 解决问题：求西岳庙内古柏的高度EF. 测量工具“矩” D 图1 图2 题型08利用三角形相似求现实生活相关问题 10124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例8】如图是一个常见的铁夹的剖面图，OA,OB表示铁夹的剖面的两条边，点C是转动轴的位置， CD LOA,垂足为D,DA=15mm,DO=24mm,DC=10mm,且铁夹的剖面图是轴对称图形，则 A,B两点间的距离为() B 15 24 A.30mm B.32.5mm C.60mm D.65mm 【变式1】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m.当BC=2.5m时，点B到地面的距离 BE=1.5m,则点A到地面的距离AD为() D E A.2.6m B.2.5m c.2.46m D.2.22m 【变式2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三 角形，因而把它形象的称为“人字梯”，如图②，是其工作示意图，拉杆 EF|BC,AE=号BE,EF=0,4米，则两棉杆跨度、C之间距离为 米 图① 图② 题型09利用三角形相似求三角形内接矩形问题 【典例9】有一块锐角三角形余料△ABC,边BC为15cm,BC边上的高为l2cm,现要把它分割成若干 个邻边长分别为5cm和2Cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方 形的长为5Cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有： 11/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】如图，有一块三角形余料ABC,它的边BC=18cm,高AD=12cm,现在要把它加工成长与宽 的比为3：2的矩形零件EFCH,要求一条长边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则矩形EFGH 的周长为 E M H B F G 【变式2】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那 部分区域.预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.小明在学习了交通安全知 识后，对汽车盲区产生了兴趣.如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员 的眼睛点P处与地面BE的距离为1.5m,车宽AF=1.8m,车头FACD近似看成一个矩形，且满足 3DF=2AF,求汽车盲区EB的长度. D D 图1 图2 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026辽宁铁岭·二模)杠杆原理在生活中随处可见.如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的 一端时，另一端就会撬动石头.若动力臂OA=2OB,BD=20cm,则AC的长度是() 12124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.80cm B.40cm C.20cm D.50cm 2.(2026山西晋中·二模)无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三 角形模型.如图所示，地面上的目标线段AB在相机传感器上的成像为线段CD,△DCO∽aBAO.目标线 段AB的长度为72m，CD的长度为6.4mm,若此时该相机镜头O距离成像传感器CD的距离ON为8mm 则无人机镜头O距地面的垂直高度OM为() D、寸C A.100m B.90m C.80m D.57.6m 3.(2026四川南充中考真题)中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像 示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A,B的对 应点分别是A,B'),且AB⊥AB,AB'⊥AB,若AB=10cm,P到AB的距离PO=6cm,则A'B'长 为() B A B (图1) (图2) A.12cm B.13.5cm C.15cm D.18cm 4.(25-26九年级下·吉林长春期中)如图，为测量零件内槽宽BC,某同学制作了一个测量尺.其中， AB为同定臂，AC为活动臀（可绕点4转动）：D'E分别为B4C的三等分点（即4D-4B, 3 4E=4C),测量尺的零刻度与点D重合.现测得DE的长约为5cm,则内桔宽BC的长为(） 13/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.5 cm B.10cm C.15 cm D.18cm 5.(2425八年级下·黑龙江大庆·期末)在阳光下，一名同学测得一根长为09米的垂直于地面的竹竿的影 长为06米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第 一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84 米，则树高为() A.6.36米 B.8米 C.11.8米 D.12米 二、填空题 6.(2026江苏准安·一模)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m, AC=14m,则建筑物CD的高是 m ◇ A ⊙ 7.(2026福建泉州·二模)灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用.小明利用家里的圆形柔光板对房 间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆 形柔光板直径04米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔 光板距离吸项灯至多」 米 14124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 灯 柔光板 8.(25-26八年级下山东淄博·期中)如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚 像.已知蜡烛的高AB为2.6cm,蜡烛AB与凸透镜MN的水平距离OB为3cm,该凸透镜的焦距OF为4cm, AE∥OF,则像CD的高为_cm. M A FB O 9.(25-26八年级下·上海·阶段检测)商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上· 某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在 一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面的距离AB=1.6米，凉亭项端离地面的距离CD=4米，小明 到凉亭的距离BD=10米，凉亭离城楼底部的距离DF=30米，小亮身高17米，B,D,F三点在同一水 平线上，则城楼的高度为， 米 E B D F 10.(2026:江苏无锡二模)图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具一一桔槔(jiga0), 图2是横杆处于水平时的示意图，OG表示支架且与地面垂直，AC,BD是固定长度的竹竿均垂直于地面， AC=2米，横杆AB=6米，OA=30B.当竹竿与水桶的连接点C的位置低于地面0.6米时（如图3），若 ∠OAC的度数为a,则∠B的度数为 (用含的代数式表示)；若支架OG与竹竿BD之间的距 离OH是1.2米，则这个桔槔支架OG的高度为 米 15124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Bo横杆 架 水桶0 7777777777777777 (图1) (图2) (图3) 三、解答题 11. (2026陕西榆林模拟预测)一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯 (M点)距地面的高度MN.如图，单杠AB与水平地面平行，在路灯照射下，单杠AB在水平地面上形成 的影子为CD(不计折射)，ABCD.测得AB=2.4m,CD=3.2m,单杠距离水平地面的高度 BG=2.5m.已知MN、BG均与水平地面CN垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯 (M点)距水平地面的距离MN. M A B 12.(2026河南平顶山三模)悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正 午时分，日照塔无影，故又名无影塔.某数学小组测量该塔MW的高度，如图，先在点A处放一平面镜， 沿NA方向前进lm到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M,再沿NA方向前进8m,将另一平面镜 放在D处，此时在距离该平面镜1.6m的E处恰好再次看到塔的顶部M.已知观察者眼睛到地面的距离 CB=FE=1.7m,点E,D,B,A,N在同一条直线上，求悟颖塔MN的高度（结果保留整数） F A E D BA 13.(25-26八年级下·江苏苏州期末)如图(1)是小明同学自制的测量工具，其中ON⊥MN,ON, MN上都有相同单位的刻度，G可以在MN上滑动，ON=18.小明想用自制的测量工具测量建筑物的高 16124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度PO.如图(2)，小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的ON平行于地面AQ,ON的延长线交 P№于点F,滑动OC使O,G,P在同一条直线上，此时NG=6.他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具 的OW'平行于地面，OW'的延长线交P№于点E,滑动O'G,使O,G,P在同一条直线上，此时 NG=3.小明的身高AC=BD=1.7m,自动扶梯的高BM为4.5m,水平宽AM为19.5m.试根据以上数 据计算出建筑物的高度PO.(结果精确到1m) M p G IG'D(O) 1 B N TTTTTTTTTTTTTTTTTNS 百动扶梯 M 图(1) 图(2) 14.(2026广东汕头·三模)综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级(2)班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： 7777 C B 图1 图2 ()利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶端 A,∠DCE=∠ACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米， 镜面到旗杆的距离CB=15米.求旗杆的高度AB. (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D,标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条 直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE=1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，BF=9米， DE,CF,AB均垂直于地面，DH与水平面平行.求旗杆的高度AB, 15.(2026河南平顶山三模)中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖。 某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图. 17/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测量方法： 把长为4m的标杆垂直立于地面的点D处，福塔顶端 A和标杆顶端C确定的直线交水平地面BD于点Q, 测得QD=lm 将标杆沿着BD方向平移到点F处，此时福塔顶端A 和标杆顶端E确定的直线交水平地面BD于点P，测 得PF=2m,FD=96m(所有点均在同一平面内) E C OD B 图1 图2 计算 请根据上述数据，计算中原福塔AB的高度 项目反思 能力提升 一、单选题 1.(2026河北唐山二模)如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图.光线与地面所成的 角∠AMC=30°，落在教室地面的影长MW=2V3米.若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的 上檐到教室地面的距离AC为() A.2米 B.3米 C.3.2米 D.35米 2.(2026河南平顶山二模)《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树， 不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大 18/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶 端、树项端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为()， 树 标杆 29 A7尺 B.尺 85 C.7尺 D.13尺 3.(2026山西忻州二模)为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别 智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行.如图 是其工作示意图，智能箱与挡车杆AB交于点O,挡车杆AB为4m，,OB为0.5m,要使挡车杆右端从水 平位置下降的垂直距离BD为0.4m,则挡车杆左端垂直上升的距离A'C的长为() 11111111 NB A.2.8m B.3.2m c.3.5m D.4m 4.(2026山东临沂二模)如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加 工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，则这个正方形零件的边长为 ) B FD ■ A.24mm B.36mm C.40mm D.48mm 5.(2026河南周口·二模)投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像AB投到与胶片平行的屏 幕上，形成影像CD,已知AB等于3cm，,胶片与屏幕的距离EF为定值，设光源到胶片的距离OE的长为 x(cm),CD的长为y(cm),如图2，y随x的变化而变化，下列说法中不正确的是() 19124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 胶片 屏幕 y C 63 光源 E F D 015 图1 图2 A.当x>0时，y随x的增大而减小 B.EF的长为315cm C.当x>15时，y<63 D.AOAE∽AOCF 二、填空题 6.(25-26九年级上四川达州期末)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话 生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处 可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力 臂OA=120cm,阻力臂OB=40cm,BD=15cm,则AC的长度是 甲 乙 7.(2026:江苏淮安·二模)物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影 的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB',设AB=45cm, A'B'=15cm,小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到AB'的距离为_cm. k-30cm-→←？cm→ 8.(2425八年级下·全国课后作业)一题多解小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如 图所示，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间充当标杆，两人适当调整自己的位置.当楼的顶部 20124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M，小颖的头部B及小亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C,D两处，然 后测出两人之间的距离CD=2m，小颖与教学楼之间的距离DW=38m(点C,D,N在同一条直线 上)，小颍的身高BD=1.6m，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=1m. 则根据以上测量数据 求出教学楼的高度为 M B 777777777777777777777777777 D 9.(2026江西宜春·二模)大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产.小明学习了《周髀算经》中的 “偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度.如图，点A,B,N在同一水平线上，∠ABC和 ∠ANM均为直角，AM交BC于点D.测得AB=50cm,BD=30cm,BN=1O7m,则大雁塔MN的高 度为 m M 10.(2026安徽合肥·一模)如图小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光 从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板CF的边缘点F,落在墙上的点E处，现测得AG=1.6米， CD=6米，AC=7.2米，CF=2米，已知图中点A,B,C,D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射 角)，ED⊥AD,FC⊥AD,GA⊥AD,则ED的长为米. 三、解答题 11.(2026河南驻马店·二模)《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专 著.某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度.如图，先在水平地面上选取 观测点E,G(点B,卫，G在同一直线上)，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH,两标杆 之间的距离EG=5m.从标杆EF后退1.5m处（即EC=1.5m),人的眼睛贴着地面观察A点，A,F,C 21124 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三点在一条直线上；从标杆GH后退2n到D处（即DG=2m),人的眼睛贴着地面观察A点，A,H,D 三点也在一条直线上（标杆EF,GH与凉亭AB在同一竖直平面内），请根据以上测量数据，帮助创新实 践小组求出凉亭AB的高度. 海 島 經 H F B 12.(2026陕西西安模拟预测)周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他 们选择了河对岸岸边的点A为参照点，又在他们所在的岸边选择了点B为参照点，且AB与河岸垂直，测 量示意图如图所示，在点D处竖起标杆CD,小颖沿着直线BD后退至点F时，小颖眼睛E看到参照点B与 标杆的顶端C恰好在同一直线上，继续后退至点H时，小颖眼睛G看到标杆顶端C与参照点A恰好在同一 条直线上.己知点A,B,D,F,H共线，CD⊥AH,EF⊥AH,GH⊥AH,测得CD=1.2m, EF=HG=1.7m,HF=6m.请根据相关测量信息，求河宽AB, A B不 13.(2026浙江模拟预测)小军与小明两兄弟站在平面镜OM前方的水平地面上照镜子.如图，小军竖 直站立在A处，其眼睛所在位置为点C,AC=1.2m;小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置 为点D,BD=1.8m.此时C,D,O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米. M 实 物△ D' 平面镜 Timmn 1m 平面镜成像原理 像V B (1)求小军到平面镜OM的距离. (②)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点B'与点D'.小军若想通过镜子 OM看到点B',D',则需要注视到平面镜中点E,F的位置，求EF的长， (3)在(2)的条件下，若小军想蹲下看，则EF的长是否会改变，请说明理由. 14.(2026陕西宝鸡模拟预测)在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了 路灯.如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高1.2m(即CP=1.2m),小军站在点N处. 在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP=0.4m,小军留在路面上的影长NF=3m.已知小军的身 22124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高MN=1.8m,CN=15m,AB⊥CD,MN⊥CD,CP⊥PO,CD∥PO.求路灯AB的高度. M O EP B 15.(2026·江苏盐城·三模)综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮 挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）· 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必 然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中.受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车 底等区域会形成视野盲区. 图1 图2 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力.康居数启星河社团的同 学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣.如图2是他们研究的一个汽车盲区 的左视图.若司机视线高度AB=1.5m,车前盖最高处与地面距离CD=lm,车顶到地面的距离为l.6m, 驾驶员与车头水平距离BE=2m,车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5m,点M在EF上，ME=0.8m 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区EF的长度： 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围。 (2)在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观 察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到0.01） (3)若CD、BE、DE保持不变，AB减小，则EF_(填“减小”、“不变”或“增大”)· 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度L≤3m才算安全驾驶， 23124 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)若固定CD=lm,BE=2m,DE=0.5m时，求驾驶员安全驾驶时视野高度AB的取值范围. 24124 专题1.5 相似三角形的应用 教学目标 1. 进一步巩固相似三角形的判定定理和性质，清晰理解其适用条件 。 2. 熟练运用相似三角形知识，解决诸如测量物体长度和高度、计算距离等无法直接测量的实际问题。 3. 经历将实际问题转化为相似三角形数学模型的过程，增强数学建模思维，提升分析和解决问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）能够准确识别实际问题中相似三角形的模型，熟练运用相似三角形对应边成比例等性质求解相关问题。 （2）掌握利用相似三角形解决常见实际测量问题的方法，如测高、测距 。 2.难点 （1）从复杂的实际情境中抽象出相似三角形模型，准确找出对应边和对应角 。 （2）灵活运用相似三角形知识，对实际问题进行全面分析，选择合适的条件和方法进行求解 。 知识点01 相似三角形的应用涉及的知识 1.相似三角形的判定：包括两角分别相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例的两个三角形相似。这些判定方法是应用的基础，用于判断实际问题中的三角形是否相似。 2.相似三角形的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且周长比、对应线段比等于相似比，面积比等于相似比的平方。这些性质可用于计算长度、高度、面积等实际问题。 3.实际应用场景：在测量高度（如测量树高、建筑物高度）、计算距离（如河宽测量） 、工程设计和图形缩放等场景中，通过构建相似三角形模型，利用其性质解决实际问题。 【即学即练】1．（2026·河北沧州·三模）如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）在某一时刻，测得竹竿的影长为，，同时测得旗杆的影长为，则旗杆的长为________． 【答案】9 【详解】由题意知：， ， 由平行投影知：， ， ， ， 即， 解得：， 则旗杆的长为． 3．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 题型01 利用三角形相似求建筑物高问题 【典例1】（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】延长、交于点，设，则，容易证明，则，求得，则，，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·期中）永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 延长，交于，证明，，得到，，将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，延长，交于， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 【变式2】（2024·山西晋中·模拟预测）普救寺位于山西省运城市永济市蒲州古城内，是我国历史名剧《西厢记》故事的发生地，寺庙规模宏伟，内部有很多著名建筑.其中，最著名的便是莺莺塔（如图1）．数学兴趣小组根据光的反射定律（如图2），把一面镜子放在离古塔（）的点P处，然后观测者沿着直线后退到点B处．这时恰好在镜子里看到塔顶端D，量得，已知观测者目高，那么该古塔（）的高度是_______m． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，由反射角等于入射角可知，， 由题意可知，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为：36． 【变式3】（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）某数学活动小组欲测量某建筑的高度，如图，在距为的点处竖立一根长为的直杆，恰好使得观测点、直杆的顶点和该建筑的顶点在同一条直线上． 若，，求该建筑的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的运用，熟悉相似三角形的判定及性质是解题的关键． 根据题意可得，即，再代入长度求解即可． 【详解】解：， ， ， 由题意知，，，， ，， ， 解得， ， 答：该建筑的高为． 题型02 利用三角形相似求影长问题 【典例2】如图，小星利用自己的身高想要测量水平操场上旗杆的高度，请帮助小星按下列任务设计一种测量方案： 任务一：你选取的工具是___________（可选工具：小镜子、标杆、皮尺）； 任务二：请在图中画出方案示意图； 任务三：结合你画的示意图，从以下测量数据中选取合适的数据，求出旗杆的高度（结果保留整数）． 测量数据：①小星与旗杆的距离为，②小星到镜子的距离为，③镜子到旗杆的距离为，④同一时刻，小星的影长为，旗杆的影长为，⑤小星的身高为（眼睛到头顶的距离忽略不计），⑥标杆长，⑦小星与标杆的距离为． 【答案】任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一）；任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一）；任务三：（答案不唯一），如选取数据①，⑤，⑥，⑦．学校旗杆的高度约为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 任务一：根据测量需要选择即可； 任务二：根据题意画图即可； 任务三：选取数据①，⑤，⑥，⑦．证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出旗杆的高度． 【详解】解：任务一：①皮尺；②小镜子、皮尺；③标杆、皮尺．（答案不唯一） 任务二：示意图1或图2或图3均可．（答案不唯一） 任务三：（答案不唯一） 如图3，选取数据①，⑤，⑥，⑦． 得， ， ． ， ， ， ． ， ． 答：学校旗杆的高度约为． 【变式1】如图，某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长为，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一教学楼，影子不一定落在地面上，有一部分落在墙上，测得落在地面上的影长为，留在墙上的影高为，，，点，，，在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过C作于E，首先证明四边形为矩形，可得，，根据题意得到，求出的长，即可求出旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 四边形为矩形， ，， 根据题意可得，即， 解得， ． 答：旗杆的高度为． 【变式2】数学活动课上，老师让同学们借助太阳光线，分组测量塔高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：选择其中一个小组方案，求出塔高；若认为两个方案均不可行，则说明理由． 小天组：采用在同一时刻棍影和塔影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻木棍与塔影一端重合在点，测得棍影为1米；第二次测量另一时刻棍影与塔影一端重合在点，测得米，木棍移动距离米． 小河组：采用固定木棍分次测量方式．如图2所示，第一次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为1.5米．第二次测量在某一时刻，标记塔影的位置并测量出棍影长为2米，两次塔影顶端的距离为12.4米． （注：图中箭头表示太阳光线，同一时刻太阳光可视为平行光） 【答案】两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查利用相似三角形测高，小天组：证，可得，再证，可得，根据即可求解；小河组：小河组：由题意得，证明，，推出，求出，即可解答． 【详解】解：小天组：由题意得， ∴， ∴，， ∴，， ∵米，米，米， ∴米， ∴，， ∴， ∴，即， ∴米； 小河组：由题意得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴， ∴米，与米非常接近，可视作测量或记录误差所致， 综上，两种方案都能得到合理结果，塔高度约为25米． 题型03 利用三角形相似求河宽问题 【典例3】如图，为一条宽为4米的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为3米（即米），因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点P作为另一端的固定点，已知吊篮的截面为直径为1米的半圆（直径米），绳子米，钢架高度2.2米（米），距离防洪堤边缘为0.5米（米）． （1）西岸边缘点C与东岸边缘点D之间的距离为 米； （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，则的长度应大于 米． 【答案】 5 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）延长交于点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得，从而求得吊篮的总长度为，根据题意可得点C到滑轨的距离不小于1.7，再利用可得，设，根据比例关系即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接， 由题意可知， 则由勾股定理可得：， 故答案为：5； （2）如图所示，延长交与点G，过点Q作于点K，延长与相交于点O， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点C，设切点为J，延长交与点W． 则， ， ， ， 即， ∴， 则至少为米， ∵， ∴， ∴， 设，则，，，， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质，构造相似三角形和求出吊盒的总长度是解题的关键． 【变式1】如图，为了估计河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点，在近岸取点，使与河岸垂直，在近岸取点，使，与交于点．已测得米，米，米，求河宽的长． 【答案】河宽长为36米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，得到是解题的关键． 证明，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解： 河宽长为36米． 【变式2】如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 题型04 利用三角形相似求树高问题 【典例4】樱花红陌上，杨柳绿池边．每年初春时节，郑州大学校区的樱花竞相开放，为美丽的郑大校园增添了别样的景致，钟灵毓秀的郑大人把樱花赋予美丽、热情、纯洁、高尚的精神品质．高新区某中学的数学兴趣小组利用周末时间对大路旁的一棵樱花树进行测量，他们采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（）上的点E处，然后沿着直线后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，观测者目高（）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，那么这棵樱花树的高度（的长）是多少米？ 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是关键．过点E作水平线交于点G，交于点H，求出米，证明，，即，解得米，即可得到答案． 【详解】解：过点E作水平线交于点G，交于点H，如图， ∵是水平线，， ∴米，米， 米， ∴（米）， 根据题意，得，， ∴， ∴，即，解得米， ∴（米）． 所以这棵樱花树的高度为米． 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为8米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：和均为直角， ． , ． ，，， ． ． 答：树高为8米． 【变式2】小明想测量电线杆的高度，他发现电线杆的影子正好落在坡面和地面上，已知和地面成角，，且此时刻得高的标杆在地面的影长为． (1)点D到地面的距离为 米 (2)求电线杆的高（结果保留根号） (3)若是在坡底下C处的一棵大树，树尖刚好落在光线上，在山坡上有一建筑物高，求此时它落在坡面上的影长 （结果保留根号）． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用、直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于M，然后根据直角三角形的性质即可解答； （2）在求电线杆在地面的实际影长，然后根据影长与实物比即可求得电线杆的高度； （3）由题意得，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图：延长交地面于M点，过D作垂直于的延长线于N， ∵， ∴． 故答案为：2． （2）解：由勾股定理得， ∵得高的标杆在地面的影长为， ∴， ∴的影长， ∴电线杆的高为． （3）解：由题意得∶，， ∴， ∴，即，解得：， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 题型05 利用三角形相似求杠杆问题 【典例5】桔棉俗称“吊杆”（如图），是我国古代的农用工具，是一种利用杠杆原理工作的取水机械．桔棉示意图如图所示，是垂直于水平地面的支撑杆，是杠杆，，当点运动到点处时，物体运动到处．若，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明即可得解． 【详解】解：连接，， 由题意可知：，， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为：． 【变式1】如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是 ． 【答案】24 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 【变式2】我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以P为支点，当C端上放置重物时，C端着地，D端距离地面是；当工人用力按压D端，直至点D着地落到时，C端的重物被送到处，此时重物距离地面为，求支点P到地面的距离． 【答案】支点到地面的高度为为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据平行线的判断和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：依题意得： ，， ， ， ， 又，， ， ， 同理可证： ， ， ， 答：支点到地面的高度为为． 题型06 利用三角形相似求镜面问题 【典例6】如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在点处水平放置一平面镜，然后向后退，保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时小明的眼睛离地面的高度，同时量得小明与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离． (1)求证：； (2)求旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2)9.6米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是： （1）根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得，经检验，符合题意， 答：旗杆的高度9.6米． 【变式1】检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图①，现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图②，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表的上下边沿上发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为米，求镜长的长． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确做出辅助线构造相似三角形成为解答本题的关键． 如图：作，垂足为D，并延长交于E，然后证明，可得，最后将相关数据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，垂足为点D，并延长交于点E． ， ， ， ． （米），米，米， ， ． 答：镜长的长为米． 【变式2】小安和大智想利用所学的几何知识测量一座古塔的高度，测量方案如下：如图，小安位于大智和古塔之间，直线上平放一平面镜，在镜面上做一个标记，记为点C，镜子不动，小安看着镜面上的标记来回走动，走到点D时，看到塔顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，此时测得小安眼睛与地面的高度米，米．同时，在阳光下，古塔的影子与大智的影子顶端H恰好重合，测得大智身高为1.8米，影长为3.6米，已知，米，A、H、G三点共线，且测量时所用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息，求出古塔的高度．    【答案】古塔的高度为96米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，准确判断出相似三角形，理解相似三角形的性质是解题关键．直接利用相似三角形的判定与性质得出，证明，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 米，米， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：米， 经检验，是上述分式方程的解且符合实际意义， 故米． 答：古塔的高度为96米． 题型07 利用三角形相似求古文问题 【典例7】“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”（如图），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图所示的位置，令（单位：），（单位：），若，，，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，根据题意，则，又四边形是矩形，可得，，则，再根据，由此即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，求树高． 【答案】树高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意可知，从而可以得到，然后代入数据计算，即可得到的长． 【详解】解：， ， ， ， 代入，，，解得， ． 答：树高为． 【变式2】《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（如图1和图2中的折线）． 小明利用周末来到西岳庙进行社会实践活动，准备利用“矩”来测量西岳庙内古柏的高度． 测量过程：如图，小明通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（），并且边与点在同一直线上，、均与垂直． 测量结果：，，，，． 解决问题：求西岳庙内古柏的高度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形（相似三角形实际应用），由题意发现是解题的关键． 延长交于点，易得四边形为矩形，于是可得，，，由，可证得，于是可得，即，进而可得，然后根据即可求出西岳庙内古柏的高度． 【详解】解：如图，延长交于点， 易得四边形为矩形， ，，， ，， ， ， 即：， ， ， 西岳庙内古柏的高度是． 题型08 利用三角形相似求现实生活相关问题 【典例8】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 【变式2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 题型09 利用三角形相似求三角形内接矩形问题 【典例9】有一块锐角三角形余料，边为，边上的高为，现要把它分割成若干个邻边长分别为和的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为的边在上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有 ． 【答案】6 【分析】利用求得，然后求得，这样就可以计算得小长方形一共有4层，然后再次利用相似比，可求得每层可分割几个小长方形，最后确定小长方形的总数即可. 【详解】如图：当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时， ∴ ∴，且，， ∴ ∴ ∵小长方形的宽为 ∴能分割四层小长方形 设最底层的上一层的靠近点A的边为x 根据三角形相似可得： 解得，正好能分割两个小长方形 再上一层靠近点A的边就会小于，因此只能分割一个小长方形，且最上层分割了一个小长方形 ∴按如图方式分割成的小长方形零件最多有个 故答案为6 【点睛】本题主要考查了三角形的相似在实际生活中的应用，能够灵活应用相似比求解对应的边是解决问题的关键 【变式1】如图，有一块三角形余料ABC，它的边，高，现在要把它加工成长与宽的比为的矩形零件，要求一条长边在上，其余两个顶点分别在，上，则矩形的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出，的长，即可得出答案． 【详解】矩形中，，， ∴， ， ， ∵， ， ， ∵矩形零件的长与宽的比为， 设 ，，则，， ， 解得：， ，， 矩形的周长为： ． 故答案为：． 【变式2】汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作于点，交于点，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2026·辽宁铁岭·二模）杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 2．（2026·山西晋中·二模）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 3．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 二、填空题 6．（2026·江苏淮安·一模）如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，．则建筑物的高是______m． 【答案】10.5 【分析】先根据垂直于同一直线的两直线平行得到，进而证明 ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，代入已知数据计算即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ， ． 7．（2026·福建泉州·二模）灯光透过柔光板后照明，有保护视力的作用．小明利用家里的圆形柔光板对房间的灯具进行改造，已知小明房间为长4米、宽3米的矩形，灯在房间的正中央，距离地面超过3米，圆形柔光板直径米，装上后距离地面3米，且灯具光线通过柔光板后正好可以覆盖整个房间地面，则柔光板距离吸顶灯至多_________米． 【答案】 【分析】利用相似三角形原理，灯、柔光板边缘、房间地面最远角落三点共线，通过比例关系求解灯到柔光板的最大距离． 【详解】解：确定地面最远点距离：房间为长4米、宽3米矩形，中心到角落的距离为半对角线，即 （米）， 设柔光板距离吸顶灯米，柔光板半径米，灯到地面距离为米，光线从灯经柔光板边缘到地面角落，形成相似三角形，比例关系为 即， 解得， ∴柔光板距离吸顶灯至多米． 8．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为______cm． 【答案】10.4 【分析】先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 9．（25-26八年级下·上海·阶段检测）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 10．（2026·江苏无锡·二模）图1是《天工开物》记载的我国春秋时期提水的器具——桔槔（），图2是横杆处于水平时的示意图，表示支架且与地面垂直，，是固定长度的竹竿均垂直于地面，米，横杆米，．当竹竿与水桶的连接点的位置低于地面米时（如图3），若的度数为，则的度数为_________（用含的代数式表示）；若支架与竹竿之间的距离是米，则这个桔槔支架的高度为_________米． 【答案】 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行，可得，再利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解；（2）先根据线段比例关系求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，再通过构造相似三角形求出点与点的竖直距离，最后结合点的位置求出的高度，即可求解． 【详解】解：地面，地面， . ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 过点作交的延长线于点，则 地面，地面， ． 又， . 点的位置低于地面米，， 点离地面的高度为（米）． （米）． 三、解答题 11．（2026·陕西榆林·模拟预测）一天晚上，小刚在公园练习单杠时，想利用灯光下的影子长来测量路灯（M点）距地面的高度．如图，单杠与水平地面平行，在路灯照射下，单杠在水平地面上形成的影子为（不计折射），．测得，，单杠距离水平地面的高度．已知、均与水平地面垂直，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小刚计算路灯（M点）距水平地面的距离． 【答案】路灯距水平地面的距离为． 【分析】由相似三角形的判定和性质得出，再证明，由相似三角形的性质得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：路灯距水平地面的距离为． 12．（2026·河南平顶山·三模）悟颖塔，位于河南省驻马店市汝南县，因汝南素有天下正中之称，夏至正午时分，日照塔无影，故又名无影塔． 某数学小组测量该塔的高度，如图，先在点A处放一平面镜，沿方向前进到达B处，此时恰好在平面镜中看到塔的顶部M，再沿方向前进，将另一平面镜放在D处，此时在距离该平面镜的E处恰好再次看到塔的顶部M． 已知观察者眼睛到地面的距离，点E，D，B，A，N在同一条直线上，求悟颖塔的高度（结果保留整数） 【答案】 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴ 解得：， 即悟颖塔的高度为． 13．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图（1）是小明同学自制的测量工具，其中，，上都有相同单位的刻度，G可以在上滑动，．小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度．如图（2），小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点F，滑动使O，G，P在同一条直线上，此时．他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的平行于地面，的延长线交于点E，滑动，使，，在同一条直线上，此时．小明的身高，自动扶梯的高为，水平宽为．试根据以上数据计算出建筑物的高度．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据题意可得，，列出比例式，代入题中数据，即可求解． 【详解】解：设， 则,， 根据题意可得, ∴， ∴， ∴， 同理可得, ∴， 即， ， ∴， ∴． 14．（2026·广东汕头·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 15．（2026·河南平顶山·三模）中原福塔又名“河南广播电视塔”，获得“河南当代最美建筑”一等奖．某综合与实践小组开展测量中原福塔高度的活动，记录如下： 活动主题 测量中原福塔的高度 测量工具 标杆、测距仪 测量过程 图1为实物图，图2为测量方案示意图． 测量方法： 把长为 的标杆垂直立于地面的点处，福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ． 将标杆沿着方向平移到点处，此时福塔顶端和标杆顶端确定的直线交水平地面于点 ，测得 ， （所有点均在同一平面内） 计算 请根据上述数据，计算中原福塔的高度 项目反思 【答案】中原福塔的高度为 【分析】先利用得，再利用得，根据题目给出的边长计算即可． 【详解】解：由题意，知 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 同理，可得 ， ∴， ∵ ， ∴． ∵ ， ， ， ∴， 解得 ． ∵标杆长 ， ∴ ， ∴， 解得 ， ∴中原福塔的高度为 ． 一、单选题 1．（2026·河北唐山·二模）如图，是一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图．光线与地面所成的角，落在教室地面的影长米．若窗户的下檐到教室地面的距离米，则窗户的上檐到教室地面的距离为（   ） A．2米 B．3米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】先利用平行得到，结合30度所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴米． 2．（2026·河南平顶山·二模）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（    ）． A．尺 B．尺 C．尺 D．13尺 【答案】C 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ， 可知， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 3．（2026·山西忻州·二模）为规范小区车辆通行、提升出入口管理效率，某居民小区大门安装了车牌识别智能升降挡车杆，车辆驶入时设备自动识别车牌，控制挡车杆绕固定支点旋转升降，实现快速通行．如图是其工作示意图，智能箱与挡车杆交于点，挡车杆为，为，要使挡车杆右端从水平位置下降的垂直距离为，则挡车杆左端垂直上升的距离的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∵， ∴， ， ， 解得． 4．（2026·山东临沂·二模）如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 5．（2026·河南周口·二模）投影仪光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的图像投到与胶片平行的屏幕上，形成影像，已知等于，胶片与屏幕的距离为定值，设光源到胶片的距离的长为，的长为，如图2，随的变化而变化，下列说法中不正确的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．的长为 C．当时， D． 【答案】B 【分析】根据图可直接判断A、C选项；由， 可得， ，可判断D选项；由相似三角形的性质列式计算即可判断B选项． 【详解】解：由图可知，当时，随的增大而减小，故A正确，不符合题意； 当时，， 故C正确，不符合题意； ， ， ，故D正确，不符合题意；   ，， ， 由图可知，当时，， ， 解得， 故B错误，符合题意． 二、填空题 6．（25-26九年级上·四川达州·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 7．（2026·江苏淮安·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）一题多解   小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图所示，小亮蹲在地上，小颖站在小亮和教学楼之间充当标杆， 两人适当调整自己的位置． 当楼的顶部 ，小颖的头部 及小亮的眼睛 恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置 两处，然后测出两人之间的距离 ，小颖与教学楼之间的距离 （点 在同一条直线上），小颖的身高 ，小亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 ． 则根据以上测量数据求出教学楼的高度为_____． 【答案】13 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用．解题关键是构造相似三角形，将实际测量的线段长度转化为相似三角形的对应边．过作的平行线交于，交于，由相似三角形的判定定理得出 ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出的长，进而得出结论． 【详解】解：过作的平行线交于，交于． 由已知可得，，，． 又 ， ． ，即 ， 解得． ． 教学楼的高度为． 9．（2026·江西宜春·二模）大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 10．（2026·安徽合肥·一模）如图,小刚正在使用手电筒进行物理学实验，手电筒位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得米，米，米，米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角），，，，则的长为______米． 【答案】5 【分析】设，则，证，根据求出，，再证，根据求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， ∵在点B处反射后为， ∴， ∴， ∴即， 解得，即，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题 11．（2026·河南驻马店·二模）《海岛算经》为魏晋时期数学家刘徽所著，是中国最早的一部测量数学专著．某校创新实践小组打算利用书中记载的方法测量公园里凉亭AB的高度．如图，先在水平地面上选取观测点E，G（点B，E，G在同一直线上），分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF与GH，两标杆之间的距离．从标杆EF后退1.5m处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，F，C三点在一条直线上；从标杆GH后退2m到D处（即），人的眼睛贴着地面观察A点，A，H，D三点也在一条直线上（标杆EF，GH与凉亭AB在同一竖直平面内）．请根据以上测量数据，帮助创新实践小组求出凉亭AB的高度． 【答案】16.5m 【分析】证明，利用相似三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：，， ． 又， ． 设， 则． ，， ． ∴ ． ，即， 解得． 答：凉亭的高度为16.5m． 12．（2026·陕西西安·模拟预测）周末小颖和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的点为参照点，又在他们所在的岸边选择了点为参照点，且与河岸垂直，测量示意图如图所示，在点处竖起标杆，小颖沿着直线后退至点时，小颖眼睛看到参照点与标杆的顶端恰好在同一直线上，继续后退至点时，小颖眼睛看到标杆顶端与参照点恰好在同一条直线上．已知点，，，，共线，，，，测得，，．请根据相关测量信息，求河宽． 【答案】 【分析】由，，，得，所以，，所以，，即，，设，，则，，然后通过得，整理得，即，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴（米）， ∴河宽为米． 13．（2026·浙江·模拟预测）小军与小明两兄弟站在平面镜前方的水平地面上照镜子．如图，小军竖直站立在A处，其眼睛所在位置为点C，；小明竖直站立在小军身后的B处，其眼睛所在位置为点D，．此时C，D，O三点恰好共线，且小明与小军的水平距离为1米． (1)求小军到平面镜的距离． (2)根据平面镜成像原理，小明的立足点与眼睛在平面镜中的像分别为点与点．小军若想通过镜子看到点，，则需要注视到平面镜中点E，F的位置，求的长． (3)在（2）的条件下，若小军想蹲下看，则的长是否会改变，请说明理由． 【答案】(1)小军到平面镜的距离为2米 (2)米 (3)的长不会改变．理由如下： 无论的长如何变化都有， 只要小军的立足点不变，与的高之比就不变，即始终成立， 为定值，都等于0.72米． 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （3）根据相似三角形的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， 即， 米， 小军到平面镜的距离为2米． （2）解：由平面镜成像原理可知：米，米．由图可把分别看作是的高， ， ， ， 即， 米． （3）略 14．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在乡村道路建设中，为了方便村民夜间出行，市政部门在道路边安装了路灯．如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高（即），小军站在点N处．在路灯的照射下，路基留在地面上的影长，小军留在路面上的影长．已知小军的身高，，，，，．求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】令交于点，设，推导出，，得到，，则，，推导出四边形是平行四边形，可得到，，推导出，得到， 解得，则，即可解答． 【详解】解:如图 令交于点，设， ，，， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ，， 由，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ． 答:路灯的高度为． 15．（2026·江苏盐城·三模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $