专题1.6 位似（8大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“位似”核心知识点，衔接相似图形，系统梳理位似图形的概念、性质（对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离比等于位似比）、作图方法及坐标系中以原点为位似中心时对应点坐标的变化规律，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过“知识点+题型+练习”结构，设置识别、作图、坐标计算等8类题型及变式训练，以具体图形实例培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

专题1.6 位似 教学目标 1. 了解位似图形及其相关概念，明晰位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质，如对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离之比等于位似比 。 2. 熟练掌握位似图形的画法，能够依据给定的位似比，将一个图形放大或缩小 。 3. 探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时位似图形对应点坐标的变化规律 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解位似图形的有关概念，包括位似中心、位似比等，以及位似图形的性质 。 （2）熟练掌握位似图形的作图方法，能准确根据要求作出位似图形 。 2.难点 （1）灵活运用位似图形的性质，将一个图形按要求放大或缩小，特别是在解决复杂图形和实际问题时 。 （2）深入理解在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标变化规律的原理，并能正确应用于解题和作图 。 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： （1）位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； （2）两个位似图形的位似中心只有一个； （3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； （4）位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； （5）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 （6）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即学即练】1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 题型01 位似图形的识别 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 题型02 确定位似中心 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 题型03 由位似图形的性质判断正误 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    题型04 求位似图形的相似比 【典例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【变式3】（2026·山东济宁·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 题型05 画位似图形 【典例1】（2026·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为和． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为． (2)四边形的面积为______． 【变式1】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【变式2】（2026·安徽六安·二模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 【变式3】（2026·安徽宿州·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： (1)以点为位似中心将在网格中放大两倍得到，请画出． (2)借助网格：连接线段，用无刻度直尺作在上的中线． 题型06 求位似图形的对应坐标 【典例1】（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2022·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 题型07 根据位似的性质求解 【典例1】（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【变式3】（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 题型08 位似图形的综合问题 【典例1】（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【变式3】（25-26九年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 8．（2026·山西太原·三模）如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是经过位似变换得到的，位似中心是点O．请在图中找出点O的位置．如果，求的长． 12．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 13．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 14．（25-26九年级上·山东德州·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 15．（2026·山东滨州·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 位似 教学目标 1. 了解位似图形及其相关概念，明晰位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质，如对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离之比等于位似比 。 2. 熟练掌握位似图形的画法，能够依据给定的位似比，将一个图形放大或缩小 。 3. 探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时位似图形对应点坐标的变化规律 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解位似图形的有关概念，包括位似中心、位似比等，以及位似图形的性质 。 （2）熟练掌握位似图形的作图方法，能准确根据要求作出位似图形 。 2.难点 （1）灵活运用位似图形的性质，将一个图形按要求放大或缩小，特别是在解决复杂图形和实际问题时 。 （2）深入理解在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标变化规律的原理，并能正确应用于解题和作图 。 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： （1）位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； （2）两个位似图形的位似中心只有一个； （3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； （4）位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； （5）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 （6）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即学即练】1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴与的面积比为． 2．如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为，，，若，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】作于E，根据等腰三角形的性质求出，利用直角三角形的性质与等腰三角形的性质可求出点A的坐标，最后利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或即可求出点C的坐标． 【详解】解：作于E， ． ，，， ，． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ，． ，． ． ，解得． 点A的坐标为． 与是以坐标原点为位似中心的位似图形，位似比为， 点C的坐标为，即． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 题型01 位似图形的识别 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，故与不成位似图形， ∴与成位似图形有3个． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）下列各选项的两个图形中，是位似图形的有______个． 【答案】3 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点， 所以第1，2，4个中的两个图形是位似图形，第3个中的两个图形不是位似图形． 故答案为：3． 题型02 确定位似中心 【典例1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 【变式1】（2026·河北保定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，若以为边的三角形与位似，则这两个三角形的位似中心可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及位似中心的确定，解题的关键是明确位似中心是对应顶点连线的公共交点，通过排除法排除无效对应情况，再验证有效对应下的交点． 先计算各线段长度确定位似比与初步对应关系；再根据位似中心在对应顶点连线上，验证四个选项是否在、上，排除、情况；最后针对的有效对应，求对应顶点连线的交点即位似中心． 【详解】解：假设、的对应情况成立: 设直线：，代入、，得，，即． 设直线：，代入、，得，，即． 验证选项A、：不在、上； B、：不在、上； C、：不在、上； D、：不在、上． 排除、的对应情况，仅保留． 设直线：，代入、，得． 设直线：，代入、，得． 联立，解得，，交点为． 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在网格中，若和位似，则位似中心应为点______． 【答案】 【分析】本题主要考查了找位似图形的位似中心，利用位似图形的性质得出位似中心即可，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，对应点连线的交点为位似中心． 【详解】解：如图，和位似，则位似中心应为点， ， 故答案为：． 题型03 由位似图形的性质判断正误 【典例1】（2026·浙江杭州·一模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】B 【分析】根据题意得出，，再根据对应线段的比和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，． 相似比为， ，与的周长比是，与的面积比是， ， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    【答案】①② 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 题型04 求位似图形的相似比 【典例1】（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 【变式2】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 【变式3】（2026·山东济宁·二模）如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则与的数量关系为________． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，即可解答． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形，为位似中心； ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 画位似图形 【典例1】（2026·安徽六安·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为和． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为． (2)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据位似定义结合题目要求作图即可； （2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．先证，从而证得为等腰直角三角形，并计算的面积，再根据相似三角形的性质，由两个三角形的相似比求得它们的面积比，求出的面积，最后根据四边形的面积为：，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：作图如图所示． （2）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D． ∵点A和点B的坐标分别为和， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，相似比为， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式1】（2026·安徽池州·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出将放大后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到； （2）解：以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，分别延长、、到点、、，使得、、，得到放大后的． 【变式2】（2026·安徽六安·二模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)以点为位似中心，将放大得到，使得，请在所给的网格图中画出； (2)的面积为______． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)16 【分析】（1）利用位似图形的性质，连接，并延长至，使，同理得到点，的坐标，然后依次连接即可； （2）用的外接矩形面积减去其周围三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：． 【变式3】（2026·安徽宿州·二模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中： (1)以点为位似中心将在网格中放大两倍得到，请画出． (2)借助网格：连接线段，用无刻度直尺作在上的中线． 【答案】(1) 解：分别连接并延长，在延长线上取点，使，，， 顺次连接，得到的，就是所求图形． (2) 解：以为对角线，构造格点平行四边形，画出平行四边形的另一条对角线，两条对角线的交点就是​的中点， 连接，就是​中上的中线，即为所求． 【分析】（1）因为位似中心为O，位似比为2，所以先连接，分别延长到，使，再顺次连接得到． （2）因为要作在上的中线，所以先借助网格找到平行四边形，画出平行四边形的另一条对角线，两条对角线的交点就是​的中点， 再连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型06 求位似图形的对应坐标 【典例1】（2026·山西阳泉·三模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 【变式1】（2026·浙江温州·三模）如图，与是位似图形，，都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点C，E在y轴上．若点B的坐标是，点F的横坐标为，则点P的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图作轴，轴，根据点坐标可得，，根据相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵的横坐标为，平行于轴， ∴， ∵与是位似图形， ∴，即相似比等于位似比， ∴点是的中点， ∵轴，轴， ∴，而， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，则， ∴． 【变式2】（2022·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以或，结合题目中在第一象限的条件，即可求出对应点坐标． 【详解】解：∵的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式3】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 题型07 根据位似的性质求解 【典例1】（2026·重庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点的坐标为，点的坐标为．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由与是以坐标原点为位似中心的位似图形，可知：， ∴， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的面积比为________ 【答案】 【分析】利用相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：由图形可知，， ∵， ∴, ∴与的面积比为． 【变式3】（24-25九年级上·江西吉安·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解：，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 题型08 位似图形的综合问题 【典例1】（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 是以点为位似中心经过位似变换得到的， 且位似比为， 若， 则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由位似变换的性质可知，故有，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由位似变换的性质可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】（25-26九年级下·四川自贡·期中）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则的面积为________． 【答案】9 【分析】根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：，与位似， ， ． 的面积为4， ． 【变式2】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，， ，求的长． 【答案】 【分析】四边形与四边形位似，可得四边形四边形，，，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形位似， 四边形四边形，， ， ， ，， ，解得， 即的长是． 【变式3】（25-26九年级下·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，在原点的异侧画出与位似的，且使得它与的位似比为，并写出坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，坐标为 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）把A，B，C的坐标都乘以得到点，，，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ∴坐标为． 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ，， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， 相似比为， ，即， ，， 点的坐标为 故选：B． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长． 故答案为： 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律． 利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定答案． 【详解】解： 如图，根据题意可得，根据三线合一，等腰，等腰，等腰……底边上的中点都在一条直线上，即在直线上，假设的中点为， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， 根据等腰直角三角形的性质可得， ∵ 在中，由勾股定理得， 同理可得 ，即 以此类推，点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由图可知，的面积为． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． 勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）取格点、，连接交于点P． 【详解】（1）解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； （2）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)与是位似图形, 【分析】（1）利用位似中心为原点、位似比，将原顶点坐标对应放大得到新顶点，进而画图； （2）利用割补法求出面积即可； （3）依据平移规律对顶点平移后画图； （4）通过观察对应顶点连线是否交于一点，判断是否为位似图形，若为位似图形，交点即为位似中心，求其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ； （3）解：如图，即为所求， （4）解：如图，连接与的对应顶点、、并延长，发现三线交于一点，故两三角形是位似图形． 直线：、，纵坐标恒为，即； 设直线为， 把、代入， 得， 解得，， ∴直线为； 联立与，得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质与画法、平移变换的坐标规律及三角形面积计算，熟练掌握位似图形“对应顶点连线交于位似中心”、平移“左减右加，上加下减”的坐标变化是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 3．（2026·浙江温州·三模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（     ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 5．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 二、填空题 6．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 7．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 8．（2026·山西太原·三模）如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 9．（25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标． 【详解】解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到， ∴位似比为或， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即， 综上所述，点的对应点的坐标为或． 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是经过位似变换得到的，位似中心是点O．请在图中找出点O的位置．如果，求的长． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质、相似比的概念解答即可． 【详解】解：如图，连接与交于点O，则点O 即为所求． ， 与的相似比为， ． 【点睛】本题考查了位似变换的概念，解题的关键是利用位似的定义找到位似中心，并运用相似比求解． 12．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 13．（23-24九年级上·辽宁丹东·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，． (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (2)在（1）中，若点是边上一点，则点M对应的位似点的坐标为 ． 【答案】(1)解：如图，则即为所求． (2) 【分析】（1）根据，原点O为位似中心，相似比是，确定，画图即可； （2）根据位似的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）根据题意，得点对应的位似点的坐标为． 14．（25-26九年级上·山东德州·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)作出绕点逆时针旋转的三角形，并写出对应点、、的坐标．（    ）（    ）（    ） (2)在图中标出位似中心的位置并直接写出点的坐标为______． (3)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (4)的内部一点的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析，、、 (2)点见解析， (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了图形的旋转，利用位似变换作图，位似的性质，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据旋转的性质分别确定点、、，然后顺次连接即可； （2）连接并延长与、的延长线相交，交点即为位似中心； （3）延长到，使，延长到，使，连接即可； （4）根据位似比结合位似的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点、、的坐标分别为：、、； 故答案为：、、； （2）解：位似中心的位置如图所示，点的坐标为； 故答案为：； （3）解：如图所示，即为所求， （4）解：与的位似比为； 的内部一点的坐标为在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 15．（2026·山东滨州·一模）阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______； 任务： (1)请补全“理由”部分的推理过程； (2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______； 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； (2)，． 【分析】（1）根据正方形的判定定理进行补全即可解答； （2）根据正方形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，据此解答即可． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $