专题2.1 锐角的正弦和余弦（6大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦锐角正弦和余弦的定义、计算及应用，前承直角三角形边角关系，后启特殊角三角函数值与解直角三角形，通过定义辨析、数值计算、实际应用的学习支架构建知识体系。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，以“折竹抵地”“电视尺寸”等实际情境题培养抽象能力与几何直观，通过典例变式训练强化运算能力与推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固基础、查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.1锐角的正弦和余弦 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01正弦和余弦 2.知识清单 题型01正弦的概念辨析 题型02求角的正弦值 锐角的正弦和余弦 题型03已知正弦值求边长 3题型精讲 题型04余弦的概念辨析 题型05求角的余弦值 题型06已知余弦值求边长 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，能准确用符号表示正弦、余弦，区分对 边、邻边与斜边，掌握基本概念与符号规范。 2.会求锐角的正弦值、余弦值，熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，能进 教学目标 行简单计算与互化，掌握基础运算技能。 3.能用正弦、余弦解决简单直角三角形边角计算问题，初步体会数形结合思想，培养 几何直观与推理能力，为后续学习奠基。 1.重点 教学重难点 (1)掌握锐角正弦、余弦的定义，明确直角三角形中对边、邻边、斜边的对应关 系，能正确写出并运用正弦、余弦表达式，夯实概念基础。 (2)熟练计算特殊角的正弦、余弦值，能根据定义求一般锐角的三角函数值，掌握 1/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 基本计算方法，形成核心运算能力。 2.难点 (1)理解“锐角确定，正弦、余弦值唯一”的本质，突破“比值只与角有关、与 三角形大小无关”的抽象认知，建立函数观念。 (2)准确区分同一锐角的对边与邻边，避免正弦、余弦概念混淆，能在不同直角三 角形中灵活定位边角，正确运用定义解题。 知识清单 知识点01正弦和余弦 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数. 2.在Rt△ABC中，∠C=90° (1)正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA. i如A=对边-g 即 斜边c (2)余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA. 邻边b COSA= 斜边c 【即学即练】1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10,则cosB的值是() B 4 A.3 B.3 c 2.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几 何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图， AB+AC=9尺，BC=3尺，则cOS∠ABC的值为 2/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D,AB=5,AC=3,则cos∠ACD= C 题型精讲 题型01正弦的概念辨析 【典例1】(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，己知△ABC,AD1BC,则sin∠ABD=() AD A. B. AD AB BD C. D. AC BC 【变式1】(2025九年级全国专题练习)在△ABC中，∠C=90,CD1AB于点D.下列式子表示错误的 是() A.sinB=CD B.sinB= AB C.sinB= AC D.sinB=CD 【变式2】(25-26九年级上：江苏无锡期末)在锐角△ABC中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么 ∠A的正弦值（) A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小为原来的一半 【变式3】(2025安徽六安模拟预测)如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC=a,AC=b.证明： 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.ABC= -absin C 题型02求角的正弦值 【典例1】(2026云南昆明模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=8,则sinA的 值为() B 4 3 c 3 A.5 B. D.4 【变式1】(25-26八年级下山东泰安·期末)如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sA的值 是() 5 A. B c36 2 5 5 D.5 【变式2】(2026江苏·一模)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、D都在格点上，则 sin∠DBC的值是 B C 【变式3】(2026山西太原·三模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，且正方形网格的边长为 l,则sin∠A的值为一 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03已知正弦值求边长 【典例1】(2026广东深圳二模)电视的尺寸常指屏幕对角线的长度.如图，可以把一个55英寸电视屏 答拍象成矩形BCD,其中4C-5英寸.若m∠C1B=,则电视屏春宽度BC的长度为() B 55 2 1 A.2英寸 B.110英寸 C.55英寸 D.i0英寸 【变式1】(2026陕西商洛二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，AE⊥BC于点 E.若AB=8,AD=5,则AE的长为() DE 32 A.5 B.6 c. D.4 【变式2】（226九年级下吉林四平阶段检测)加图。在4BC中，4C-BC·若血4-号 5’AC=10, 则AB= 【变式3】(2026浙江台州·一模)如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CE L BD于点E,连接AE. 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若CE=3,sim∠AEB=3,则1E的值为 D E 题型04余弦的概念辨析 【典例1】(2026云南昆明模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，若AC=5,AB=3,则cosA 的值为() 【变式1】(2026广东东莞·三模)如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则Cos∠ABC的值为() B A. 5 5 C35 5 D.5 【变式2】(2026四川乐山一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5,则cosA= 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【变式3】(2022天津南开·模拟预测)已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB中线，BC=6, AC=8,则Cos∠ACD= 题型05求角的余弦值 【典例1】(25-26九年级下·全国课前预习)在Rt△ABC中，∠C=90°，那么cosA等于() A.B C AC AB B.AB C.Bc AC D.BC 【变式1】(2026山东淄博·二模)如图，Rt△ABC中，∠B=28°，斜边AB=13,则BC的长度是() B28 13 .13c0s28° B.13sim28° C.13tan28° D. cos28° 【变式2】20心5九年级上全母专题练习》车人l8C,∠C=者8=。 ，则sin4的值为 【变式3】(2025·上海杨浦一模)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,BC=9, cos∠ACD=3 ,那么AB的长为 题型06 已知余弦求边长 【典例1】(2026：广东深圳：三模)在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12, COsB=12 ,则BC的长为 () A.5 B.12 C.13 D.15 【变式1】(2026安徽安庆二模)如图，在△ABC中，∠A=60°，AB=AC,边BC的中点为D, DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F,若AB=8,则EF的长是() 7/16 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C D A.3v3 B.3 C.4 D.5 【变式2】(2026-上海闵行·一模)在Rt△4BC中，∠C=90,BC=12,∠B的余弦值是4，那么4B的长 是 【变式3】(25-26九年级上·上海虹口·期中)如图，在△ABC中，AH是BC边上的高，AC=9,BC=4, cosC=2 ,那么HB的长是 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(2026云南昆明三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=5,AC=4,则sinA=() A C 3-4 B D. 8/16 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 2.(2026广东深圳三模)如图，在4×4的正方形方格图形中，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的余 弦值为() B A 2v5 B. v5 C. D.2 5 3.(2026陕西榆林·模拟预测)△ABC与△DAC按如图所示位置放置，己知∠B=90°，BC=9,点E,F 分别是边AD,CD的中点，若EF=7.5,则sin/BAC的值为() A B A.4 c 4.(2026河北沧州：三模)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点，AC=8, BD=l2,那么sin∠EOD=() A C A 3W13 2V13 13 13 5.(2026浙江嘉兴二模)如图，在矩形纸片ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上.将该纸 片沿EF折叠后，使点B落在边CD上的点G处.若CG=4DG,则sin∠BEF的值是() G 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B.5 c. D. 2W5 5 二、填空题 6.(2026福建泉州三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=V5,那么si4的值是 7.(25-26九年级上安徽安庆期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,点D为△ABC外一点，连 接AD,BD,点E,F分别为AD,BD的中点，若EF=5,则sin∠ABC=一 ■ 8.(2026内蒙古通辽·二模)如图，在4×4的正方形方格图形中，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的 余弦值为 9.(25-26九年级下·广西崇左阶段检测)如图，AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的高，BE=4, BC=6,则sin∠DAC= D 10.(2026广西南宁·二模)正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固. 如图，某蜂巢的房孔是正六边形ABCDEF,连接BF.若BF=2,则AB的长为， D 10116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26九年级上湖南长沙阶段检测)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,求 sin∠A和sin/B的值. 8 12.(25-26九年级上：陕西期末)如图，在a4BC中，∠ADB=90°，AB=17,smB= 7,点C在BD的 延长线上，DC=6,求AC的长. B D 13.(24-25九年级上·安徽宣城阶段检测)如图，已知△ABC的三条边a,b,C,满足 a-6-3jc=1:23,且a+6+e=48sm8- 5 C b (1)求a,b,c的值. (2)求△ABC的面积. 14,（24-25九年级上上海宝山阶段检0幻图，在。BC中46=10，c0s乙4BC- 5,tanc=2 E B (1)求BC边的长： (2)如果点E在AC边上，且∠ABE=∠C,求AE的长. 11/16 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E AB=10 cos∠ABC=3 BDBD 3 .COs∠ABC= AB105' BD=6. .AB=10 在△ABD中， 由勾股定理得AD=V10-62=8, tanC=2 , .tanC=4D-8 2 DCDC 3' ∴.DC=12 ∴.BC=BD+DC=6+12=18. 即BC边的长为l8. 15.(2026浙江宁波模拟预测)在菱形ABCD中，AD=5,点E在边AB上，连接DE,△FDE与△ADE 关于直线DE对称.若点F在边AB的延长线上，且BF=3, EB (1)求AE的长. (2)求sin/CDF的值. 能力提升 一、单选题 12 1.(2026广东广州二模)在R△4BC中，∠A=90°，AB=12cosB-15,则BC的长为（) A.13 B.12 C.10 D.5 2.(2026吉林长春·一模)五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建一种“天幕” 12116 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (如图①)，其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开 的遮阳面AC和AD的长均为.8米.若∠CAD的度数为a,则此“天幕”的宽度CD是() C ① ② A.3.8sina米B.3.8cosa米 c.76cim号米 D.7.6cos 2米 3。（2026广东矿州二模)如图，直线y=5 2-5与x轴、y轴分别交于A八B两点，则os∠OAB的值为 () % 0 A 13 B.13 e怡 D.i 4.(2026山西临汾·三模)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C,D都在小正方形 的顶点上，AB与CD相交于点P,则sin∠BPC的值为() B D A 3V10 10 B.3 2 c号 D 5(2026河北廊坊三模)如图，CD是。4BC中B边上的中线，且CD=4D·己知4B=5,sin4 5 △ABC的外角平分线BE交AC的延长线于点E,则CE的长为() 13116 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 6.(25-26九年级上河北邯郸期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则cosA= 7.(2026辽宁沈阳·一模)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sin∠A 的值为 B 8.(2025九年级全国专题练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，DE1AB,垂足为E.若 AB=8,sin∠BDE=,则BC的长为 B 9.(25-26九年级上山东淄博期中)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若 △ABC的三个顶点都在网格的格点上，则sin∠ACB的值为一， C 10.(24-25九年级上山东威海·阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为BC的中点，点E在 AB上，AD,CE交于点F,AE=EF=4,FC=9,则CoS∠ACB的值为 E B D 14116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(25-26九年级上山西晋城阶段检测)如图，在△ABC中，∠C=90°，D为边BC上的一点，AC=4, tan∠ADC=2 A B D (1)求DC的长. (2)若BD-CD=2,求sinB的值. 12.(25-26九年级下·浙江温州开学考试)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2,AD是BC边上的中线， tan∠BAD=l,DE是△ADC的高线. D (1)求cosC的值. (2)求AE的长. 13.(2026北京·一模)如图，在四边形ABCD中，BA=BC,E是AB的中点，DB,CE交于点F, DF=FB,AFDC C F B E (I)求证：四边形AFCD是菱形： (②)若AF=2' cos∠AFE= 4,求AC的长. 14.(25-26八年级下·山东济南期中)【知识再现】 15116 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 0 图① 图② 图③ 如图①，在RIAABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c sin4=a,sinB=形 b c ..c=-a b sinB’ 。b sinA sinB' 【拓展探究】 ab c (a)如图②，在锐角△ABC中，∠A'∠B'∠C的对边分别为a'b'c·请探究sinA,sinB'sinc之间的 关系，并写出探究过程； 【解决问题】 (2)如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=40m, ∠A=105°，∠C=30°.请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离. 16116 专题2.1 锐角的正弦和余弦 教学目标 1.理解直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，能准确用符号表示正弦、余弦，区分对边、邻边与斜边，掌握基本概念与符号规范。 2.会求锐角的正弦值、余弦值，熟记 30°、45°、60° 特殊角的三角函数值，能进行简单计算与互化，掌握基础运算技能。 3.能用正弦、余弦解决简单直角三角形边角计算问题，初步体会数形结合思想，培养几何直观与推理能力，为后续学习奠基。 教学重难点 1.重点 （1）掌握锐角正弦、余弦的定义，明确直角三角形中对边、邻边、斜边的对应关系，能正确写出并运用正弦、余弦表达式，夯实概念基础。 （2）熟练计算特殊角的正弦、余弦值，能根据定义求一般锐角的三角函数值，掌握基本计算方法，形成核心运算能力。 2.难点 （1）理解 “锐角确定，正弦、余弦值唯一” 的本质，突破 “比值只与角有关、与三角形大小无关” 的抽象认知，建立函数观念。 （2）准确区分同一锐角的对边与邻边，避免正弦、余弦概念混淆，能在不同直角三角形中灵活定位边角，正确运用定义解题。 知识点01 正弦和余弦 1.三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 2.在Rt△ABC中，∠C=90° （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即 【即学即练】1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 2．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则的值为 __________________ ． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理建立方程求出，再结合余弦定义求解，即可解题． 【详解】解：尺， ， 尺，， ， 解得尺， ． 3．如图，在中，，于，，，则_________； 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，余角和补角，勾股定理，利用勾股定理求得的长度，然后根据同角的余角相等求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，于，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型01 正弦的概念辨析 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）在中，于点．下列式子表示错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比，结合等角转换分析三角函数表达式是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，分别分析每个选项中的表达式是否正确． 【详解】解：在中，， A、在中，，正确，不符合题意； B、在中，，正确，不符合题意； C、因为，在中，，即，正确，不符合题意； D、不符合的定义，错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）在锐角中，如果各边长都扩大为原来的2倍，那么的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小为原来的一半 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数值是角的固有属性，与边长无关是解题关键． 【详解】解：∵在锐角中，各边长扩大为原来的2倍后，所得三角形与原三角形三边对应成比例， ∴所得三角形与原三角形相似， ∴的大小不变． 又∵锐角的正弦值由角的大小决定，与边的长度无关， ∴的正弦值不变． 故选：A． 【变式3】（2025·安徽六安·模拟预测）如图，如果中是锐角，，．证明：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，作边上的高，可知，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】证明：如下图所示，作边上的高， 则， ． 题型02 求角的正弦值 【典例1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 【变式2】（2026·江苏·一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点、、都在格点上，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】作交于点，先通过，得到的长度，再通过勾股定理求得，在利用面积法求得，最后利用求得答案． 【详解】解：如图所示，作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（2026·山西太原·三模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，且正方形网格的边长为1，则的值为____． 【答案】 【分析】由网格求出，由勾股定理得，，作于，由等面积法得出，最后再由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得， 由勾股定理得，， 如图，作于， ∵， ∴， ∴． 题型03 已知正弦值求边长 【典例1】（2026·广东深圳·二模）电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（    ） A．英寸 B．英寸 C．英寸 D．英寸 【答案】A 【分析】根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 【变式1】（2026·陕西商洛·二模）如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 【变式2】（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型04 余弦的概念辨析 【典例1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 【变式1】（2026·广东东莞·三模）如图在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由网格可知： ， ∴，即， ∴． 【变式2】（2026·四川乐山·一模）如图，在中，，，，则________ 【答案】 【分析】在直角三角形中，先利用勾股定理求得，再根据余弦函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【变式3】（2022·天津南开·模拟预测）已知在中，，为斜边中线，，，则______． 【答案】/0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上中线的性质得到，推出，最后利用锐角三角函数的定义计算即可． 【详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴由勾股定理得， ∵为斜边中线， ∴， ∴， ∴． 题型05 求角的余弦值 【典例1】（25-26九年级下·全国·课前预习）在中，，那么等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角余弦的定义，需明确的邻边与斜边，再根据余弦定义判断选项． 【详解】解：如图，在中，， ∴ 故选：B． 【变式1】（2026·山东淄博·二模）如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，若，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形的有关计算，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键．根据，，得出，求出即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）在中，，，垂足为点，，，那么的长为_____ 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，余弦的定义，已知余弦求边长等知识点，熟练掌握余弦的定义是解题的关键． 由可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，则，即，由此即可求出的长． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型06 已知余弦求边长 【典例1】（2026·广东深圳·三模）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B．12 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用余弦的定义列等式即可直接求出的长度． 【详解】解：∵在中，， 根据锐角余弦的定义可得 ， 又∵，， 代入得 ∴． 【变式1】（2026·安徽安庆·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【变式2】（2026·上海闵行·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【变式3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，是边上的高，，，那么的长是_______． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的三角函数，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：2． 一、单选题 1．（2026·云南昆明·三模）如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 2．（2026·广东深圳·三模）如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由勾股定理以及逆定理证明，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得，，， ∴ ∴ ∴． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）与按如图所示位置放置，已知，，点分别是边的中点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由中位线的判定与性质得到长度，在中，由正弦函数值定义代入线段长计算即可． 【详解】解：∵在中，点分别是边的中点， ∴是的中位线， ∵， ， 在中，，，， ∴． 4．（2026·河北沧州·三模）如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，，，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由四边形是菱形，得，，，可得,再结合为的中点，得，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 在中，. 5．（2026·浙江嘉兴·二模）如图，在矩形纸片中，点是边的中点，点在边上．将该纸片沿折叠后，使点落在边上的点处．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，连接交于点，设，则，在中，由勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：作于点，连接交于点，设，则， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质知，垂直平分， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 6．（2026·福建泉州·三模）在中，，，，那么的值是________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理求出斜边的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出的值. 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 根据锐角三角函数的定义可得：． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，点E，F分别为的中点，若，则___． 【答案】 【分析】因为E，F分别为的中点，且，由三角形中位线定理可知，利用勾股定理可求的值，再根据三角函数定义求出即可． 【详解】解：∵E，F分别为的中点，若， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在的正方形方格图形中，的顶点都在格点上，则的余弦值为________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理计算三角形三条边的长度，再根据勾股定理逆定理验证是直角三角形，最后根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 9．（25-26九年级下·广西崇左·阶段检测）如图，，分别是中，边上的高，，，则__________________． 【答案】 【分析】先证明，勾股定理得出，再根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：，分别是中，边上的高， ， ，， ， ，，， ∴， ， ． 10．（2026·广西南宁·二模）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是正六边形，连接．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点，由正六边形性质得到、，由等腰三角形三线合一得到及长度，最后在中，由正弦三角函数值定义列式计算即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵六边形是正六边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）已知：如图，在中，，求和的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：由， 根据勾股定理，得， 在中，，． 12．（25-26九年级上·陕西·期末）如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 13．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)84 【分析】本题考查了比例的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，设出未知数并表示出与c是解决本题的关键． （1）设，则依次用x表示与c的值，再由即可求解； （2）作出三角形的高，由即可求解三角形的高，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ 设， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ； （2）解：过点C作交于点D，如图， 在中，， 由（1）知，，， ∴，解得， ∴． 14．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）如图，在中， (1)求边的长； (2)如果点E在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作，根据三角函数的定义可以求得的长，根据勾股定理从而可以求得的长，根据正切函数的定义，可以求得的长；即可解答； （）根据（）由勾股定理求得的长，根据若一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角分别相等，得与这两个三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例及已知信息，即可解答； 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴ ∴， 即边的长为． （2）在中，由勾股定理得， ∵，， ∴∽， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理以及相似三角形的性质来求解．通过作垂线构建直角三角形，利用已知条件求出相关边长，再根据相似三角形的对应边成比例求出未知边． 15．（2026·浙江宁波·模拟预测）在菱形中，，点在边上，连接，与关于直线对称．若点在边的延长线上，且， (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴对称的性质可得，即，再根据菱形的性质可得，进而求得，再根据等腰三角形的性质求解即可； （2）利用勾股定理可得，再利用平行线的性质、等边对等角以及等量代换可得，然后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·广东广州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 2．（2026·吉林长春·一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】令和相交于点，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：令和交于， ，， ，， ， ， ． 3．（2026·广东广州·二模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴交点、的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得， ，即． 令，则， ，即． 在中，由勾股定理得：． ． 4．（2026·山西临汾·三模）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与相交于点P，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格可知：，，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·河北廊坊·二模）如图，是中边上的中线，且．已知，，的外角平分线交的延长线于点，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由已知条件可得，从而求出，的长，过点作的延长线于点，利用角平分线的性质得，再利用即可求出的长． 【详解】解：，是中边上的中线， ，， ， ， ， ，， ， ， 过点作于点， 的外角平分线交的延长线于点，， ， ， ． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）在中，，则______________． 【答案】 【分析】本题考查了余弦，理解其定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义解题即可． 【详解】解：由题意知 ． 故答案为： ． 7．（2026·辽宁沈阳·一模）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵高长为10米，斜道长为30米， ∴． 8．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求一个角的正弦值，如图，连接，根据勾股定理及逆定理判断出是直角三角形，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·山东威海·阶段检测）如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 12．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）解直角三角形求出，进而根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴在中，． ∴． 13．（2026·北京·一模）如图，在四边形中，，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴是的中点， 又为的中点， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 设与交于点，则， 又，， ∴， ∴， 又三点在同一条直线上， ∴，即， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）证明是的中位线，得，又，可得四边形是平行四边形，得；再证明，得，可证明四边形是菱形； （2）过点作于点，根据求出，，由勾股定理得出，在中，由勾股定理得． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，如图， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 14．（25-26八年级下·山东济南·期中）【知识再现】 如图①，在中，，，，的对边分别为． ， ， ， 【拓展探究】 (1)如图②，在锐角中，，，的对边分别为，，．请探究，之间的关系，并写出探究过程； 【解决问题】 (2)如图③，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用拓展探究中的结论，求点到点的距离． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】（1）过点C作于点D，过点A作于点E，利用正弦定义表示，得到，同理得到，则问题可证； （2）先求出，再利用（1）中结论求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作于点D，过点A作于点E， 在和中，， ， ， 同理可证：， ； （2）解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， 解得：． 答：点到点的距离是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $