专题1.3 相似三角形的判定（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的判定核心知识点，系统梳理从相似三角形定义到四个判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例、直角三角形斜边直角边对应成比例）的脉络，通过定义要点解析、定理要点强调及即学即练构建学习支架。 该资料以“观察-猜想-推理”活动培养学生逻辑思维与归纳能力，题型分层设计（典例+变式）助力抽象能力提升，练习题结合生活情境体现应用意识。课中辅助教师实施分层教学，课后通过多样练习帮助学生查漏补缺。

1.3 相似三角形的判定 教学目标 1. 知识与技能：理解并掌握相似三角形的多种判定方法，如两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例 ，能够准确运用这些判定定理判断两个三角形是否相似。 2. 过程与方法：经历相似三角形判定定理的探究过程，通过观察、猜想、操作、推理等活动，提高逻辑思维能力和归纳总结能力，体会数学中的类比、转化等思想方法。 3. 情感态度与价值观：感受相似三角形知识在生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握相似三角形的判定定理，包括两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似 ，并能运用这些定理进行简单的证明和计算。 （2）理解相似三角形判定定理的推导过程，体会从特殊到一般的数学探究方法。 2.难点 （1）相似三角形判定定理的证明过程较为复杂，需要学生具备较强的逻辑推理能力，理解证明思路和方法对学生来说有一定难度。 （2）在具体的几何图形中，准确识别相似三角形的对应边和对应角，以及灵活选择合适的判定定理来解决问题 ，这要求学生具备一定的观察能力和分析问题的能力，是教学中的难点之一。 知识点01 相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 【即学即练】如图，若与相似，则 ， ， ． 【答案】 6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与相似，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：6；； ． 知识点02 相似三角形的判定定理 1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 3．判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似） 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三角形相似. 4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 【即学即练】1．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 2．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 3．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 题型01 两角对应相等，两个三角形相似 【典例1】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 【变式1】如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得，，根据两个角分别对应相等的两个三角形相似即可求证． 【详解】证明：， ， ， 又， ， ， ． 【变式2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，是的边上的一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据已知角相等，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，求出即可得到的长． 【详解】（1）证明：在和中，，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】如图,在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、垂线的定义理解、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，垂直的定义，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，则，再通过等角的余角相等得出，最后利用相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型02 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 【典例2】如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 【变式1】如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【变式2】如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 【变式3】已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 题型03 三边对应成比例，两个三角形相似 【典例3】如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【变式1】根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两角对应相等判定相似、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理；熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例或两角对应相等是解决问题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，，， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ，， ，， ． 【变式2】如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握．根据已知条件，结合网格可以求出和的度数，利用勾股定理求出相关线段的长；根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ，，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C三点均在格点上． (1)分别求与的值． (2)在网格中画，使A，B，E三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定： （1）利用勾股定理求出的值，然后求比值即可； （2）利用勾股地理和相似三角形的判定方法画图即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， （2）解：如图 ∵，， ∴， ∴． 当点E在点处时，同理可证． 题型04 判断三角形相似 【典例4】下列各组条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定逐一分析，即可完成求解． 【详解】A、根据不可判定全等，该项符合题意； B、根据即可判定全等，该项不符合题意； C、根据即可判定全等，该项不符合题意； D、根据即可判定全等，该项不符合题意； 故选：A． 【变式1】如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式3】如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据相似三角形的判定方法进行逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项不符合题意； D、无法得出相似，故该选项符合题意． 故选：D． 题型05 添一个条件使两个三角形相似 【典例5】如图，中，P是上一点，连接．请你补充一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，要使，观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，根据相似三角形的判定，还需有另一组角对应相等或者夹此角的两边对应成比例即可，熟练利用相似三角形的判定是解题的关键 【详解】解： 当或者或者时，． 故答案为：（答案不唯一） 【变式1】如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： ． 【答案】或或 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当或或时，． 故答案为：或或 【变式2】如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 【变式3】在中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【详解】解：如图， ， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得：或； 故答案为或． 题型06 与三角形相似有关的多结论题 【典例6】如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似”，按点P的运动轨迹，依次进行判断即可． 【详解】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 【变式1】如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 【变式2】如图，点D在的边上，添加一个一条件，使，以下是嘉嘉和淇淇的做法．下列说法不正确的是（   ） 嘉嘉的做法：添加条件 证明：∵，．       ∴ (两组角对应相等的两个三角形相似） 淇淇的做法：添加条件 证明：∵，       ∴ (两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．嘉嘉的做法证明过程没有问题 B．淇淇的做法证明过程没有问题 C．嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D．淇淇的做法添加的条件有问题 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故嘉嘉的做法以及过程没有问题，淇淇的做法添加的条件有问题，应为，说法正确；证明过程中用到两组对应边成比例及一组对应角相等，不能证明两个三角形相似，证明过程错误，故B选项符合题意； 故选：B． 【变式3】如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定综合 【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 在中，， ∴， ∴，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 题型07 三角形相似的证明综合题 【典例7】如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 【变式1】如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 【变式2】如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】比例的性质、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 【变式3】如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 一、单选题 1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 2．（2026八年级下·陕西西安·学业考试）如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质，得到，据此列方程求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 4．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，若，则图中与相似的三角形共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得 ，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定 和 与 相似． 【点睛】解：， ． ，， ， ． ， ． 又 ， ． 在 和 中， ， ． 在 和 中， ， ． 综上所述，与 相似的三角形有 、、，共 个． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是上的一点，连接．当________时，． 【答案】 【分析】本题考查的知识点为相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，根据定理找到剩下一组对应边即可。 【详解】解：若使， 根据三边对应成比例的两个三角形相似这一定理， 已知， 则需找到剩下一组对应边， 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 8．（25-26九年级上·广西来宾·期末）如图，在中，D在上，添加一个条件使，则这个条件可以是：____________ ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加或，根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定其相似；或添加，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】解：， 当或或时，． 9．（25-26九年级下·四川广安·开学考试）如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 10．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】证明：， ． ， ． 平分． 12．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 13．（21-22九年级上·四川乐山·期末）如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 14．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（2026·广东清远·三模）已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 (1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 (2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 (3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】(1)1 (2) (3)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）略 一、单选题 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 5．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有_____对相似三角形． 【答案】6 【分析】根据矩形的性质得到，根据邻补角的定义得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有6对相似三角形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键． 9．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接． （1）若，则_____________； （2）若，则_____________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形性质，在正方形中，，在正方形中，，，从而判定是等腰直角三角形，得到，数形结合表示出计算即可得到答案； （2）先根据等腰直角三角形性质得到、，进而判定，再由相似三角形的性质得到，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，， 在以为对角线作正方形，，，则是等腰直角三角形， ， 则； （2）在等腰中，；在等腰中，； 则， ，， ， 则， ，即， 解得． 【点睛】熟记等腰直角三角形的判定与性质，结合图形找准判定两个三角形相似的方法是解决问题的关键．尤其是第二问中，借助等腰直角三角形边的关系得到是判定两个三角形相似的核心． 三、解答题 11．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求作． 【分析】根据垂直平分线的作法作的垂直平分线与的交点即为点． 【详解】解：如图， 由垂直平分线的性质可得， ， ， ， ，， ． 12．（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 14．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 15．（25-26九年级上·浙江丽水·期末）在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.3相似三角形的判定 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01相似三角形 2.知识清单 知识点02相似三角形的判定定理 题型01两角对应相等，两个三角形相似 题型02两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 相似三角形的判定 题型03三边对应成比例，两个三角形相似 题型04判断三角形相似 3题型精讲 题型05添一个条件使两个三角形相似 题型06与三角形相似有关的多结论题 题型07三角形相似的证明综合题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.知识与技能：理解并掌握相似三角形的多种判定方法，如两角分别相等、两边成 比例且夹角相等、三边成比例，能够准确运用这些判定定理判断两个三角形是否相 似。 2.过程与方法：经历相似三角形判定定理的探究过程，通过观察、猜想、操作、推 教学目标 理等活动，提高逻辑思维能力和归纳总结能力，体会数学中的类比、转化等思想方 法。 3.情感态度与价值观：感受相似三角形知识在生活中的广泛应用，体会数学与生活 的紧密联系，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的自信心。 1.重点 (1)熟练掌握相似三角形的判定定理，包括两角分别相等的两个三角形相似；两边 教学重难点 成比例且夹角相等的两个三角形相似：三边成比例的两个三角形相似，并能运用这 些定理进行简单的证明和计算。 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ (2)理解相似三角形判定定理的推导过程，体会从特殊到一般的数学探究方法。 2.难点 (1)相似三角形判定定理的证明过程较为复杂，需要学生具备较强的逻辑推理能 力，理解证明思路和方法对学生来说有一定难度。 (2)在具体的几何图形中，准确识别相似三角形的对应边和对应角，以及灵活选择 合适的判定定理来解决问题，这要求学生具备一定的观察能力和分析问题的能力， 是教学中的难点之一。 知识清单 知识点01相似三角形 AB BC CA 在AA8C和△4'8C:中，如果∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C,Ag=8C-C牙-我们就说 △ABC与△A'B'C相似，记作△ABC∽△A'B'C.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于” 要点：()书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即△ABC∽AA'B'C ,则说明点A的对应点是A',点B的对应点是B,点C的对应点是C,; (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形 的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相 似比为1时，两个三角形全等. 【即学即练】如图，若△ABC与△DEF相似，则x= B 25 10 40° 125 3 知识点02：相似三角形的判定定理 1.判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形 相似 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 2.判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角 形相似 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边 的夹角，否则，判断的结果可能是错误的， 3.判定定理（三）：如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应 成比例，两个三角形相似) 要点：此方法判定两个三角形是否相似，重点是求出对应三边的比，若三边对应成比例，那么这两个三 角形相似， 4直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及 一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角 三角形相似) 【即学即练】1.如图，下列条件不能判定△ADE与△ABC相似的是() B A.∠AED=∠B B.∠ADE=∠C c n是治 2.如图，点P是△ABC的边AC上的一点，AP=2,AB=2W3,当AC的值是多少时，△APB∽△ABC A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD=3,CD=1,要使△ADB△ABC,则AB的长为 3/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型精讲 题型01两角对应相等，两个三角形相似 【典例1】如图，AB⊥BC,BD⊥CD,∠ACD-90°，求证：△ABCACDB, A B D 【变式1】如图，AB⊥BD,CD⊥BD,P是BD上的一个动点.当∠APC=90°时，求证：△ABP∽△PDC. B 【变式2】(25-26九年级上·安徽马鞍山期末)如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD,已知 ∠ABD=∠C. (I)求证：△ABDP△ACB: (2)若AB=2V6,AD=4,求线段CD的长. 【变式3】如图，在锐角三角形△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥DE于 点F,∠EAF=∠GAC求证：△ADE一△ABC, 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F D B G 题型02两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 【典例2】如图，在△ABC中，D在AB边上，连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证： △ACD∽△ABC D 【变式1】如图，△ABC中，已知D、E分别是AB、AC的中点，求证：△ADE∽△ABC, B 【变式2】如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. 小星：若∠ACP=∠B,则可证： 小红：若北治则可证 小亮：若4SBC 示元，则可证 △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC (1)请判断三人的对错：小星 一一一，小红 小亮一·填“对”“错”) (2)选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC」 【变式3】已知：如图，点C,D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1,CD=2,DB=4.求 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证：△ACP∽△PDB D 题型03三边对应成比例，两个三角形相似 【典例3】如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空： ∠BAC= EF= (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论， 【变式1】根据下列条件，判断△ABC与△AB'C是否相似，并说明理由： (1)4B=10 cm,BC=12 cm,AC=15 cm,4'B'=150 cm,B'C'=180 cm,A'C'=225 cm: (2)∠A=70°，∠B=48°，∠A=70°，∠C'=62°」 【变式2】如图，在4×4的正方形网格纸中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上.求 证：△ABC∽△DEF 【变式3】如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，A,B,C三点均在格点上. 6/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC (1)分别求C与AB的值. (2)在网格中画△ABE,使A,B,E三点组成的三角形与△ABC相似.（只需画出一个） 题型04判断三角形相似 【典例4】下列各组条件中，不能判定△ABC≌△A'B'C的是() A.AC=A'C,∠B=∠B,BC=B'C'B.∠A=∠AL,∠B=∠B,AC=AC C.AB=A'B,∠A=∠A,AC=AC D.AB=A'B',AC=A'C,BC=B'C" 【变式I】如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC一△ADE的是 () D A.∠ADE=∠B B.∠AED=∠C C. n能长 【变式2】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP~△ACB,添加一个条件，不正确的是() B A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC AP AB AP AC C.ABAC D.BPCB 【变式3】如图，在△ABC与△ADE中，∠B=∠D,添加下列一个条件不能使△ABC一△ADE的是() 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB AD A.∠BAD=∠CAE B. BC DE C.∠C=∠E ABAE D.AD AC 题型05添一个条件使两个三角形相似 【典例5】如图，△ABC中，P是AB上一点，连接CP.请你补充一个条件一，使△ABC∽△ACP. 【变式1】如图，△ABC中，D是BC上一点，且∠BAD=∠CAE,DE交AC于点F,要证明： △ABC一△ADE.在不添加任何辅助线的情况下，可添加一个条件为： D 【变式2】如图，点D,E分别在△ABC的AB,AC边上，增加下列条件中的一个，①∠AED=∠B;② AE DE AD AE ∠ADE=∠C:③ABBC:④AC=AB:⑤AC=AD·AE,能使AADE与△ACB一定相似的有- .(填序号) D 【变式3】在△ABC中，AB=9,BC=7,点D在边AB上，且BD=2,点B在BC上，当BE=时， 以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 8/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型06与三角形相似有关的多结论题 【典例6】如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=3cm,BC=6cm,D是AC上一点，AD=2cm,点P从 C出发沿C→B→A方向，以lcms的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部 分与△ABC相似的点P的个数为() A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1】如图，△ABC中，∠A=80,4C=4,BC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法 中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是() /80 80 ② A.①③ B.①②③ C.①②④ D.②④ 【变式2】如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个一条件，使△ADB∽aABC,以下是嘉嘉和淇淇的做 法.下列说法不正确的是() AB BD 嘉嘉的做法：添加条件∠ABD=∠C 淇淇的做法：添加条件ACCB 证明：：∠ABD=∠C,∠A=∠A. AB BD ∴.△ADB△ABC(两组角对应相 证明：：∠A=∠A'ACCB ∴.△ADBAABC(两组对应边成比例及一组 等的两个三角形相似) 对应角相等的两个三角形相似) D A,嘉嘉的做法证明过程没有问题 B.淇淇的做法证明过程没有问题 9/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.嘉嘉的做法添加的条件没有问题 D.淇淇的做法添加的条件有问题 【变式3】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，连接BD,、DP,BD与CF相交于点H,给出下 DF 2 列结论：①∠DPC=75:②CF=2AE:③BC=3:④△FPD∽△PHB·其中正确结论的个数是（） E D H C A.4 B.3 C.2 D.1 题型07三角形相似的证明综合题 【典例T】如图，点D、E、F分别在等边△ABC的三边AB,AC,BC上，且DE⊥EF,∠DFE=60°， B (I)求证：△DBF∽aFCE: (2)若EC=2，,求BF的长. 【变式1】如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AP⊥PD,CP⊥BP. (1)证明：△ACP∽△PDB； (2)线段AC、CD、BD之间有怎样的数量关系？请说明理由， 【变式2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB=2AD,AC=2AE」 10119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (L)求证：△ADE∽△ABC: 2若4D=3”E=2’求SA0的长 【变式3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不 与点C,点D重合)，连接BE,作EF⊥BE与AC的延长线交于点F,与BC交于点G,连接BF. D (1)求证：△CFG∽△EBG: CG FG (2)若EGBG,求证：∠CEF=∠CBF: 强化训练 基础自测 一、 单选题 1.(2026四川凉山中考真题)如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△ABC的位置，AC与 A'C'交于点E,AC与BC交于点F,则下列结论不一定正确的是() 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AE=EF B.∠ABA'=∠CBC C.△ABC≌AABC D.△BCF∽AEC'F 2.(2026八年级下·陕西西安学业考试)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=12,BD=16,且相交于 点O.点E在OC上，且CE=4,过点E作EF∥CD,交AD于点F,则EF的长度为() D B A.6 B.8 c.9 D 3.(25-26八年级下江苏淮安期末)如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的 虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是() B 2 78° B 4.(2026河北张家口·二模)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点 重合)，EF∥BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() E 3 D A.DEIl AC B.∠1+∠2=180° 12119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE AF C.∠3=∠C D.BE DE 5.(2026陕西西安模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点， 连接AE,若BD=DE,则图中与△ABD相似的三角形共有() D E C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 AP BP 6.(25-26九年级上~全国课后作业)如图，在。ABC中，P是AC上的一点，连接BP: 当ABCB 时，△ABP∽△ACB 7.(25-26九年级上四川广元阶段检测)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC DE 若AD=2:AB=6:则BC B 8.(25-26九年级上广西来宾·期末)如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC, 则这个条件可以是： (不添加辅助线，写出一种情况即可) C 9. (25-26九年级下·四川广安·开学考试)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 A E B 10（2025九年级全国专思练习》如网，在四边形18CD中，46=68C=44C=5cD-只，40-华 4 若∠B=55°，则∠ACD的度数是 D B 三、解答题 11.(2425八年级下·全国课后作业)如图所示，在四边形ABCD中，AB=2,BC=3, CD=6,AC=4,DA=8.求证：AC平分∠BAD. D 12.(25-26九年级上安徽阜阳期末)如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边 长为1的小正方形的顶点上.请判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论. B 13.(21-22九年级上四川乐山期末)如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D,∠BCE=∠ACD 14119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ABC∽△DEC: (②)若SABc:S,Dsc=49,BC=4,求EC的长. 14.(2026浙江金华·二模)如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC2=CDAC=6, D (I)求证：△CBD∽△CAB, (2)若BD=AC=3,求AB的长. 15.(2026广东清远·三模)已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点 G A D 图1 图2 图3 【问题发现】 DE (①)如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G,则CF 【拓展研究】 DE (2)如图2， 当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G,AB=3'AD=5,则CF=一： 【解决问题】 DE AD (3)如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC=180时，求证：CF-CD 能力提升 15119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1. (25-26九年级上重庆·阶段检测)如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(). ① ② ③ ④ A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③ 2.(25-26九年级上河南南阳期末)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D,过点D作BC的 平行线交AC于点E.若∠BCD=∠A,则图中的相似三角形共有() E D B A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.(25-26九年级上河北唐山期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都 不与顶点重合)，EF∥BC.添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是() B AEEF AB BC A.BD=DC B.DEl AC C.BDBE D.BE BD 4.(25-26九年级上·浙江杭州期末)如图，△ABC∽aDAC,若∠B=31°，∠D=117°，则∠BCD= () B A.31° B.32° C.62° D.64° 5. (25-26九年级下·河北廊坊开学考试)如图，己知∠ACB=∠D=90°，请添加一个条件使△ABC和 16119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BCD相似，则不成立的是() B D C A.∠A=∠BCD B.∠ABC=∠CBD BC BD C.AC-BC D.ACCD BC BD 二、填空题 6.(25-26九年级上全国课后作业)在Rt△ABC中，∠C=90,AB=10,BC=8.若在Rt△AB'C'中， ∠C'=90°，B'C'=4,A'C'=3,则Rt△ABC与Rt△AB'C (填“相似”或“不相似”)· 7.(25-26九年级上河南周口期末)如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，要使 △ADE一△ABC,则可以添加的条件是 (只需添加一个条件即可)· E B 8.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的任一点，连接BE,过点E 作BE的垂线交BC的延长线于点F,交CD于点P,则图中共有对相似三角形. A B BP 9.（2026浙江杭州：模拟预测)如图，在。ABC中，AD=2CD'CF=2BF,则DP的值为 17119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 10.(25-26九年级上安徽阜阳期末)如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以AF 为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG (1)若∠BAF=18°，则∠DAG= (2)若CF=2,则DG= D G B 三、解答题 11.(2026陕西西安·一模)如图，在△ABC中，AB=AC,请用尺规作图法在BC边上确定一点P,使得 △PABP△ABC (要求保留作图痕迹，不写作法) A C 12.(25-26九年级上陕西安康期末)如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AC、BC的中点， 连接DE,F是BC延长线上一点，连接DF,∠F=∠B,求证：△CDE∽△DFE. B 13.(25-26九年级上云南昆明阶段检测)如图，在△ABC中，CD1AB,∠ACB=90°. 18119 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△ABC∽△ACD: (2)如果AC=3,BD=6,求AD的长， 14.(2026河北邯郸一模)如图，在菱形ABCD中，E为边BC上一点.现要添加一个条件，使 △ABE∽△DEA E (I)若添加的条件为∠B=∠AED,求证：△ABE∽△DEA; (2)若添加下列条件，也可以使△ABE∽△DEA,则这个条件是 (填序号)； AB AE AB BE AE BE DDE=DA:②DE=EA:③DAEA: (3)在(1)的条件下，若AE=3,DE=6,求菱形ABCD的边长。 15.(25-26九年级上·浙江丽水期末)在口ABCD中，点E是AB上的动点，点G是BC上的动点，连接 DE交AG于点F. 0 D G B(E) EB 图1 图2 (I)如图1，当点E和点B重合，若BF:FD=1:2,求证：点G是BC的中点， (2)如图2，当点G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF:FG的值（用含n的代数式表示）. 19119