10.2 实数- 课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“实数”核心内容，涵盖无理数概念、实数分类、实数与数轴对应及运算等知识点。课堂导入通过复习平方根、立方根等旧知，结合计算器探究√2近似值和拼图活动，搭建新旧知识支架，自然过渡到无理数学习。 其亮点在于以数学眼光引导学生观察无理数特征，通过计算器验算和数轴拼图培养抽象能力与几何直观，借助反证法证明√7是无理数及分类讨论题提升推理能力，练习题结合生活情境强化应用意识。学生能深化对实数的理解，教师可利用丰富例题和拓展讲解优化教学，提高课堂效率。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 10.2 实数 第10章 数的开方 华东师大版八上10.2实数同步练习题 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列各数中，属于无理数的是（） A.$$3.14$$ B. $$\sqrt{4}$$ C. $$\sqrt{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 2. 下列说法正确的是（） A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数 C. 带根号的数都是无理数 D. 实数分为正实数和负实数 3. 实数$$\sqrt{5}-2$$ 的相反数是（） A. $$\sqrt{5}+2$$ B. $$2-\sqrt{5}$$ C.$$-\sqrt{5}-2$$ D. $$\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$$ 4. 在实数 $$0,-\sqrt{3},\dfrac{22}{7},\pi$$ 中，最小的数是（） A. $$0$$ B. $$-\sqrt{3}$$ C. $$\dfrac{22}{7}$$ D. $$\pi$$ 5. 实数 $$a$$、$$b$$ 在数轴上对应点的位置如图，则下列结论正确的是（） A. $$a>b$$ B. $$|a|<|b|$$ C. $$a+b>0$$ D. $$a-b<0$$ 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 实数包括________和________。 2. $$\sqrt{3}$$ 的绝对值是________，$$\sqrt{2}-1$$ 的倒数是________。 3. 比较大小：$$\sqrt{7}$$________$$3$$；$$-\sqrt{5}$$________$$-\sqrt{6}$$。 4. 写出一个大于 $$2$$ 且小于 $$3$$ 的无理数________。 5. 数轴上与原点距离为 $$\sqrt{6}$$ 的点表示的数是________。 6. 若$$|x-\sqrt{3}|=0$$，则 $$x=$$________。 三、计算题（每题 6 分，共 36 分） 1. 计算下列各式的值： （1）$$|\sqrt{2}-1|$$ （2）$$|2-\sqrt{5}|$$ （3）$$\sqrt{9}+\sqrt[3]{-8}$$ 2. 计算： （1）$$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$$ （2）$$\sqrt{7}-2\sqrt{7}$$ （3）$$|\sqrt{3}-2|+\sqrt{3}$$ 四、解答题（共 20 分） 1. 将下列各数填入相应的集合内：（10 分） $$-5,0,\dfrac{3}{4},\sqrt{16},\sqrt{7},-\pi,0.1010010001\cdots$$ 有理数集合：{ … } 无理数集合：{ … } 2. 已知实数 $$a$$、$$b$$ 满足 $$\sqrt{a-2}+|b-\sqrt{3}|=0$$，求 $$a+b$$ 的值。（10 分） 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.D 二、填空题 1.有理数，无理数 2.$$\sqrt{3}$$，$$\sqrt{2}+1$$ 3.<，> 4.$$\sqrt{5}$$（答案不唯一） 5.$$\pm\sqrt{6}$$ 6.$$\sqrt{3}$$ 三、计算题 1.（1）$$\sqrt{2}-1$$ （2）$$\sqrt{5}-2$$ （3）$$1$$ 2.（1）$$5\sqrt{3}$$ （2）$$-\sqrt{7}$$ （3）$$2$$ 四、解答题 1. 解：有理数集合：$$\{-5,0,\dfrac{3}{4},\sqrt{16}\}$$ 无理数集合：$$\{\sqrt{7},-\pi,0.1010010001\cdots\}$$ 2. 解：由算术平方根和绝对值的非负性可知： $$a-2=0$$，$$b-\sqrt{3}=0$$ 解得：$$a=2$$，$$b=\sqrt{3}$$ 所以 $$a+b=2+\sqrt{3}$$。 答：$$a+b$$ 的值为 $$2+\sqrt{3}$$。 练习题拓展讲解（约 400 字） 实数是数系的最终扩充，将有理数和无理数统一，是初中数学数与代数模块的基础。本节核心概念：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，二者共同组成实数。所有实数都可以在数轴上唯一对应，数轴上的点与实数一一对应，这是实数的核心性质。 实数的相关性质是考试高频考点：实数的相反数、绝对值、倒数定义与有理数一致，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数；实数大小比较可利用数轴，右边的数始终大于左边的数，也可通过平方、作差法比较含根号实数的大小。同时，实数的运算规则和有理数完全相同，可进行加减运算，合并同类二次根式。 本节重难点为实数分类、无理数识别、实数非负性应用。常见易错点：无限小数不一定是无理数，无限循环小数是有理数；带根号的数不一定是无理数，能开尽方的为有理数。另外，双重非负性题型是必考题型，算术平方根、绝对值均为非负数，两个非负数相加为0，则两个数分别为0，需熟练掌握解题思路，夯实实数运算基础。 （全文含题目、答案、知识点讲解总计约 900 字） 了解实数的意义，能按要求对实数进行分类. 了解实数范围内相关概念的意义. 了解实数与数轴上点的一一对应的关系.能用数轴上的点表示无理数 02 新知导入 算一算：4的平方根是多少？16的算术平方根是多少？-8的立方根是多少？ 4的平方根： 16的算术平方根： -8的立方根： 03 新知探究 探究 无理数的概念 你能算出 等于多少吗？ 利用平方运算验算上面问题中所得的结果. 用计算器算一算吧！ 用计算器求 ，显示结果为1.414213562. 再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2. 这是为什么呢？ 03 新知讲解 这是因为计算器求得的只是 的近似值. 实际上 =1.4142135623730950488016887242096980785 696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557···· 在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2，也就是说， 不是有理数. 03 新知探究 想一想：什么是有理数？ 有理数包括整数和分数. 任何一个分数写成小数的形式，只可能是有限小数或者无限循环小数. 例如： 03 新知讲解 那么 是一个怎样的数呢？ 不是一个有理数，实际上，它是一个无限不循环小数. 类似地， 、圆周率π等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数. 知识要点 无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数的形式: ①开方开不尽的数，如 等; ②含π的数，如π、2π等; ③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001...(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 03 新知探究 探究 实数的概念 有理数和无理数统称为实数. 到目前为止，对所学过的数可以进行如下分类： 实数 整数 分数 有理数 无理数（无限不循环小数） 有限小数 无限循环小数 其中无理数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 1. 下列各数： ， ， ，， ，其中无理数有( ) C A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能 表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③ 实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有 有限个.其中正确的结论是( ) B A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 返回 中考考法 11 拓展提高 （1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简， 然后根据最后结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数． （2）π是无理数，化简后含π的数也是无理数． 03 新知探究 探究 实数与数轴的关系 试一试：你能在数轴上找到表示 的点吗? 如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 . 03 新知探究 探究 实数与数轴的关系 这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 . 利用这个事实，我们容易在数轴上找到表示 的点，如图所示. 知识要点 在今后的学习中，可以进一步得出，数轴上的每一个点必定表示一个实数; 反过来，每一个实数(有理数或无理数)都可以用数轴上的一个点来表示.换句话说，实数与数轴上的点一一对应，这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步. 拓展提高 【想一想】能说“有理数和数轴上的点一一对应”吗?为什么? 不能 因为“一一对应”包含着两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. 03 新知探究 在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大小比较法则、运算法则以及运算律，对于实数也适用. 探究 实数的运算 从有理数扩充到实数以后，正数总可以开平方、开立方. 在实数范围内，任意一个正数有两个平方根，它们互为相反数; 0的平方根是0；负数没有平方根. 任意一个实数有且只有一个立方根. 03 新知讲解 试比较 与π的大小. 例1 涉及无理数的大小比较和运算， 通常可以取它们的近似值来进行 解：用计算器求得 03 新知讲解 计算 .（精确到0.01） 例2 解： ≈ 0.167 -1.414 =-1.247，于是 03 新知讲解 实数的绝对值意义也与有理数一样： 设a表示一个实数，则 正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数， 0的绝对值是0. 因此，例2也可以先将原式化简，再计算. 03 新知讲解 计算 .（精确到0.01） 例2 由此算式，可直接将数据输入计算器进行计算. 3. 若无理数满足，则 可以为 _________________________.（写出两个） 4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且 ，则点 所表示的数为_________. ，（答案不唯一） 返回 中考考法 22 5.把下列各数分别填入相应的集合里： ，,,,,,,, （每两个2之间依次增加一个1）,， . 正有理数集合：_____________ ； 负有理数集合：_________________________ ； 正无理数集合： ______________________________________ ______________ ； 负无理数集合：______________ . , , ,, （每两个2之间依次增加一个1）， ，， 返回 中考考法 23 （第6题） 6. 如图，面积为 7的正方形的顶点 在数轴上， 且表示的数为1，若 ，则 数轴上点 所表示的数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 24 7.下列六个数：，，， ， ， （相邻两个2之间0的个数逐次加1），若 其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ， 则 ___. 6 中考考法 25 8. 如图，数轴上点表示的实数是 ，直 径为1个单位长度的圆从点沿数轴滚动2 026周，圆上的点 到达点处，则点 表示的数是______________. （第8题） 中考考法 26 9. 【阅读理解】定义：可以表示为两个互质 整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的 有理数；反之为无理数.如 不能表示为两个互质的整数的 商，所以 是无理数.可以这样说明： 设，与是互质的两个整数，且 ， 则，即 ①. 中考考法 27 因为是整数且不为0，所以 是不为0的偶数. 设是整数，且，则 . 所以 ②. 所以也是偶数，与， 是互质的整数矛盾. 所以 是无理数. 【解决问题】 中考考法 （1）写出①，②表示的代数式，使说明过程完整； 【解】①表示，②表示 . 中考考法 29 （2）试说明： 是无理数. 设，与是互质的两个整数，且 ， 则，即 . ，是整数且不为0， 为7的倍数. 设是整数且，则 . 也是7的倍数，与与 是互质的整数矛盾， 是无理数. 返回 中考考法 30 10. 如图是一个数值转换器 ，其工 作原理如图所示. 中考考法 31 （1）当输入的值为时，求输出的 值； 【解】当时， ， 4的算术平方根为 ， 而2是有理数，2的算术平方根为 ， 所以输出的值为 . 中考考法 32 （2）若输入有意义的值后，始终输不出 值，请写出所有 满足要求的 的值，并说明你的理由； 1或2或3.理由如下： 因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， 所以当或0，即当或2或3时，始终输不出 值. 中考考法 33 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1.无限不循环小数叫做无理数. 2.有理数和无理数统称为实数. 3.实数的分类. 4.实数与数轴上的点一一对应. $