圆拓展之最值篇考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 聚焦圆与几何图形结合的动态最值问题，通过多模块分层训练构建从基础到复杂的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马|4题|直径上动点求线段和最小值|圆的对称性与两点之间线段最短结合| |两动一定|4题|双圆/多圆上动点距离最值|点与圆位置关系及几何图形性质应用| |折叠圆|4题|折叠后点的轨迹与最值|折叠性质与圆的动态轨迹推导| |点运动路径|4题|旋转/动点运动轨迹长度计算|圆的弧长公式与动点轨迹判定| |直角圆|4题|直角条件下动点距离最值|直径所对圆周角性质与垂线段最短| |定角定弦|4题|定角定弦模型下线段最值|圆周角定理与圆内接图形性质| |中位线与瓜豆原理|4题|中点/动点关联路径最值|中位线性质与轨迹变换（瓜豆原理）| |面积最值|4题|动态图形面积最大值计算|图形面积公式与几何极端位置分析| |费马距离|4题|三角形内点到三顶点距离和最小|旋转转化与最短路径原理|

圆拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】将军饮马 1．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等．作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，此时的值最小，根据题意可得，，求得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，则点在上；连接、、，与的交于点，如图： 则，，即此时的值最小， ∵，点是的中点， ∴， ∵点关于的对称点是点， ∴， ∴， ∵， 在中，， 即的值最小为． 故选：A． 2．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和圆心角等知识点，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，，由轴对称性可得，则，故当、P、B三点共线时，最小，最小值为，由圆周角定理，弧和圆心角的关系可求，，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，，交于点P，连接，，， ∵点A与点关于对称， ∴，， ∴， 则当、P、B三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点B是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为2， ∵， ∴的周长的最小值是， 故选：A． 3．如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作出点关于的对称点，连接，根据轴对称确定最短路线问题，与的交点即为所求的点，连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，然后求出，再求出，再求出，然后求出，从而判断出为圆的直径． 【详解】如图，作出点关于的对称点，连接， 则与的交点即为所求的点，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵是的直径，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出是圆的直径是解题的关键． 4．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理．作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：． 【覆盖二】两动一定 1．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值，根据勾股定理求得的长，即可求得最小值． 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称，连接交于，则就是最小值； 矩形中，，，的半径为2，的半径为1， ，，，， ， ， ． 2．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 3．如图，在矩形中，，，的半径为2，E为上一点，，垂足为F，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以点B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点E的坐标为，从而得出，设，则，从而得出当直线与y轴交点的纵坐标最小时，的值最小，即最小，最小，根据，得出直线可以看作过点E且与直线平行的一条直线，根据图形得出当直线与相切于点E时，直线与y轴交点的纵坐标最小，即最小，求出最小值即可． 【详解】解：以点B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵在矩形中，，， ∴，，， 设点E的坐标为， ∵，即轴， ∴，， ∴， 设，则， ∴当直线与y轴交点的纵坐标最小时，的值最小，即最小，最小， ∵， ∴直线可以看作过点E且与直线平行的一条直线， ∴当直线与相切于点E时，直线与y轴交点的纵坐标最小，即最小，如图所示： 连接，设此时直线与y轴交于点G，与x轴交于点H，与交于点K， 则， ∴， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动．中，A点是定点，P，Q是动点，P在线段上，想到将军饮马，Q在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，如图所示： 则， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 即点Q在上， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当E、P、Q、O在同一直线上时，最小，且最小值为， ∵， ∴O、C、F在同一直线上， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【覆盖三】折叠圆 1．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据折叠的性质得到，即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N，可知的最小值是，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠到， ∴， 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上． 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N， 可知的最小值是． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值． 2．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，点和圆的位置关系，勾股定理，由题意可得点在以点为圆心、为半径的圆上，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点，则，即得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 如图，作关于的对称线段，点关于的对称点为，以点为圆心、为半径画圆，连接交于点，交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即最小值是， 故选：． 3．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 _____；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 _____． 【答案】 6 【分析】连接AC，根据△BCE沿直线CE翻折得到△CE，知C＝BC＝8，即的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧，故当与A、C共线时，线段A最小，由AB＝12，BC＝8，即可得到A最小值为AC−C＝4−8，取CD的中点G，连接GF、AG，由G是CD中点，F为D的中点，知FG＝C＝BC＝4，故F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧，即得F与A、G共线时，AF最小，而AG＝＝10，即得AF最小为AG−FG＝10−4＝6． 【详解】解：连接AC，如图： ∵△BCE沿直线CE翻折得到△CE， ∴B’C＝BC＝8， ∴的轨迹是以C为圆心，8为半径的弧， ∴当与A、C共线时，线段A最小， ∵AB＝12，BC＝8，四边形ABCD是矩形， ∴AC＝， ∴A最小值为AC−C， 取CD的中点G，连接GF、AG，如图： ∵G是CD中点，F为D的中点， ∴FG是△CD的中位线， ∴FG＝C＝BC＝4， ∴F点的轨迹是以G为圆心，4为半径的弧， ∴F与A、G共线时，AF最小， ∵AG＝＝10， ∴AF最小为AG−FG＝10−4＝6， 故答案为：，6． 【点睛】本题考查矩形中的折叠问题，勾股定理，根据点与圆的位置关系求最值，解题的关键是掌握折叠的性质，找到和F的轨迹． 4．如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】根据题意得出点F在以为直径的半圆O上运动，确定当点在一条直线上时，的长度最小，即，然后利用勾股定理结合图形求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点O，连接， 由折叠的性质可得， ， ∴点F在以为直径的半圆O上运动， ∴当点在一条直线上时，的长度最小，此时， ∵在矩形中，， ， ∴， ． 【覆盖一】点运动的路径 1．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 2．如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 3．如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点M，以点E为圆心，以为半径作，点N是上的一点，且与点D在的两侧，连接， ，连接，得出点在的上，即当点从点向点运动时，点的运动路径长是上的的长，点的运动路径长是上的的长，设的半径为，则，由勾股定理可得，求出，，即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点M，以点E为圆心，以为半径作，点N是上的一点，且与点D在的两侧，连接， ，连接，如图所示: 设的半径为R， ∵是的直径， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，点C在上，根据垂径定理得：， ∴， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵是的平分线，且与相交于点D， ∴是的平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D在上， ∴点D在的弧上运动， 当点B于点A重合时，点D与点A重合，点F与点M重合，当点B与点C重合时，点D，F均与点C重合， ∴点D运动的路径的长是上的的长，点F运动的路径长是上的长， ∴点D运动的路径的长， 点F运动的路径的长， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、角平分线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 4．在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是________． 【答案】 【分析】本题考查轨迹、矩形的性质、三角形的外接圆等知识．如图，连接、交于点．当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合，当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，设，因为的外心在线段的垂直平分线上，观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、交于点． 当点与或重合时，的外接圆的圆心与重合， 当时，设的外接圆的圆心为，的延长线交于，则垂直平分，， 设， 中，， ， 解得， ， 在矩形中，， ， ， 的外心在线段的垂直平分线上， 观察图象可知，点沿着的路径运动，的外接圆的圆心的运动路径长是． 故答案为． 【覆盖二】直角圆 1．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理，首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， 点在以为直径的上，当、、共线时最小， 在中，，， ∴， ， ． 最小值为． 故选：A． 2．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 3．如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据，得出在以为直径的的一段圆弧上运动，进而根据中位线的性质求得，当在上时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，设的中点为， ∵ ∴在以为直径的的一段圆弧上运动， ∵，则的半径为 ∵为的中点， ∴ ∴当在上时，取得最小值为． 4．如图，矩形中，，，点P为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为________． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质可得，结合已知条件推出，从而确定点在以为直径的圆上，连接交圆于点，此时最小，利用勾股定理求出的长，进而求解即可． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上， 如图，设的中点为，连接， 则， 在中，由勾股定理得， ， ， 当，，三点共线时，最小， 的最小值为． 【覆盖三】定角定弦 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】连接，取中点H，连接；易得是等边三角形，则；又，由，当点F在上时，最小，即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，取中点H，连接； ∵， ∴是等边三角形， ∴； 由勾股定理得； ∵，中点为H， ∴， ∵， ∴当点F在上时，最小，最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识点，构造辅助线是解题的关键． 3．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 4．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、四点共圆等知识点，正确作出辅助线、发现点E的轨迹是解题的关键． 如图：过C作于H，由勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质可得、、，即为等腰直角三角形；如图：取的中点O，连接，易证点C、D、H、E四点共圆，根据圆周角定理可得，进而得到点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l以及，最后根据垂线段最短以及勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 【覆盖四】数形结合二次函数最值 1．如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 如图，连接、， ，点为的中点， ， ， ，故选项错误； 如图，∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点在边所对中位线上移动， 作点关于直线的对称点，连接，则，， ∵， ∴， ∴的最小值为，故选项正确； 如图，， ，，，四点共圆， ∵，，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∴， ，故选项错误； ∵， ， ∵，点为的中点， ∴， ， ， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ， ∴四边形为矩形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ， ∴四边形的面积最大值为，故选项错误． 2．如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】过F作于H，设，证明，得出，，在中，根据勾股定理求出，然后根据二次函数的性质求出的最小值，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 3．如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 4．小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【答案】（1）①②； （2）最小值为； （3）∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形周长为邻边之和的2倍， ∴平行四边形周长最小时，即是邻边之和最小． 作点关于的对称点，连接，则， ∴当三点共线时，取最小值， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形周长最小值为20． 【分析】（1）①在直角三角形中，求斜边上一点到直角顶点线段的最小值，需根据“点到直线的距离，垂线段最短”这一原理，利用三角形面积公式求解； ②先确定点绕点旋转后的轨迹，再根据“点到圆的距离”相关原理求最小值； （2）通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值； （3）先通过三角形全等证明四边形是平行四边形，再利用“将军饮马”模型或勾股定理结合几何直观求其周长最小值． 【详解】解：（1）①在中，当时，最短， 由三角形面积公式， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：； ②∵点为中点，， ∴， 线段绕点顺时针旋转，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．当，，三点共线且在线段上时，最小， 此时，由①知最小值为， ∴最小值为； 故答案为： （2）过点作轴，交直线于点， 由题意得，点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴，当时，取最小值为， 此时，取最小值，值为． （3）略 【点睛】本题综合考查了初中几何中距离相关的多个知识点，包括点到直线的距离、点到圆的距离，三角形全等、等腰直角三角形的性质、二次函数的最值以及平行四边形的判定和“将军饮马”模型等．解题关键在于准确理解各种距离的基本原理，合理运用几何图形的性质和判定定理，通过作辅助线、建立函数关系等方法将问题转化为可求解的形式． 【覆盖一】中位线与瓜豆原理 1．如图，在矩形中，，点E为边上一动点，点F为的中点，连接，点G在上，且，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为；②的最小值为16；③点G到的中点的距离为定值；④的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】取的中点H，连接，根据中位线的性质可得点F在直线上运动，点F运动的路径长为，即可判断结论①；连接，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，从而，根据勾股定理求出的长，即可判断结论②；取的中点，连接，则的长为点G到的中点的距离，连接，，由，得到点D，E，G，C在以点F为圆心，为直径的圆上，从而得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断结论③；当时，的面积最大，进而由求出的最小值，再根据三角形中线的性质即可求出的最小值，从而判断结论④． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵点F是的中点， ∴，， ∴点F在直线上运动，当点E和点A重合时，有最大值， ∴点F运动的路径长为．故结论①正确； 连接， ∵在矩形中，， 又点F是的中点， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴的最小值为16．故结论②正确； 取的中点，连接，则的长为点G到的中点的距离， 连接，， ∵，点F是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，E，G，C在以点F为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴， ∵点I是的中点， ∴ ∴点G到的中点的距离为定值．故结论③正确； ∵点E是上的动点， ∴， ∵， ∴点G在以点I为圆心，为半径的圆上运动， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时为最小值， ∵点F是的中点， ∴的最小值为．故结论④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，圆周角定理，矩形的性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 【答案】B 【分析】如图，连接交于，连接，因为，，所以，所以当最小时，最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∴， ∵，， ， ∵点是的中点，即， ∴是的中位线， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小， ∵半径为10， ∴ 此时的最小值． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、两点间距离公式等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，是中考常考题型． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【分析】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 4．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证点C在半径为4的上，可知，C在与圆B的交点时，最小，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C为坐标平面内一点，， ∴C在上，且半径为4， 如图，在x轴上取，连接， ∵M为线段的中点，， ∴是的中位线， ∴， 当最小时，即最小，而D，B，C三点共线时， 当C在线段上时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【覆盖二】面积最值 1．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点，则，利用圆周角定理得到，接着计算出的长，则可计算出，从而得到四边形的面积的最大值． 【详解】解：如图，当点和点到的距离最大时，四边形的面积最大，此时点和点为所对弧的中点， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积． 即四边形的面积的最大值是1． 2．如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 【答案】A 【分析】连接，根据三角形中位线定理得到推出，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质得到，推出最大时，面积最大，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于交于， 点，是的中点， ， 点，是的中点， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． ， 最大时，面积最大，最小时，面积最小， 当点在的延长线上时，最大，此时，， ． 3．如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质； （1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可； （2）要使面积最大，值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可． 【详解】解：（1）点P，N是，的中点， ， 点P，M是，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为的上两动点，且，为弦CD的中点，则的面积最大值为______． 【答案】 【分析】结合垂径定理以及与坐标轴的交点来判断和都是等腰直角三角形，由等腰三角形的三线合一得，，由三角形三边关系得：，当共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可． 【详解】解：作 于，连接如图； ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形 由得 当时，；当时， 即点， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴   ∵ ∴是的中线 则 由三角形三边关系得： 由题得，当共线时，此时最大 ∵为中点 ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的相关知识点的应用：垂径定理，斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边关系，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标；综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【覆盖三】费马距离 1．在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】通过将绕点旋转，构造等边三角形，将转化为折线长，利用两点之间线段最短及勾股定理求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 旋转， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 根据两点之间线段最短，当四点共线时，最小，最小值为的长， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为5． 2．如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于，证明三点共线，当共线且重合时，可得，此时最小． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，过作于， ∴，，，， ∴都为等边三角形， ∴，，， ∵平行四边形，， ∴，， ∴，，， ∴三点共线， ∴，， ∴， 当共线且重合时， ，此时最小， ∴的最小值为． 3．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ________（填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 【答案】①④⑤ 【分析】①根据菱形的性质，运用“”证明即可；②根据菱形性质可得A与C关于对角线对称，可知最小为长；③先假设，而后逆推即可判断；④连接，根据两点之间线段最短可得，当点M落在的中点时，的值最小；⑤根据图形特征得出当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，过E点作，交的延长线于F，在中利用勾股定理求解，继而求得菱形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 即． 又∵， ∴，故本答案正确； ②∵，， ∵，， ∴， ∴，故本答案错误； ③假设，且， ∴是的垂直平分线． 连接， 由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴， ∴点M是上一定点， 而M为对角线（不含B点）上任意一点， 所以，无法得到是的垂直平分线，故本答案错误； ④连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴． ∴点A和点C关于直线对称， ∴当M点与O点重合时，的值最小为的值． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 即的值最小为1，本答案正确； ⑤由①知， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． 根据“两点之间线段最短”，得最短． ∴当M点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长． 过E点作，交的延长线于F， 则，设菱形的边长为a， ∴，． 在中，， 解得．故本答案正确． 综上所述①④⑤正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合运用以上知识，添加辅助线是解题的关键． 4．【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形内一点，连接，求的最小值． 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了的最小值，过程如下： 如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连接，由旋转可知： ． 是等边三角形． ． ． 而的最小值是线段① 的长度（②） ， 的最小值为_③___ 请将上面的过程补充完整． 【拓展应用】如图③，是等边三角形，M是正方形对角线（不含点B）上一点． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边，使点在内；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）当的最小值为时，正方形的边长为_____． 【答案】[问题解决]，两点之间，线段最短， [拓展应用]（1）见解析（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，两点之间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质及解含角的直角三角形，构造题目中的模型是解题的关键． [问题解决]过点作，交的延长线于点，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理进行求解即可； [拓展应用]（1）根据三条边相等的三角形是等边三角形作相等线段的交点即可； （2）连接，根据模型，过点作，交延长线于点，设正方形的边长为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：【问题解决】由题意知，， 此时，的最小值是线段的长度，其依据为两点之间，线段最短， 如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：，两点之间，线段最短，； [拓展应用] （1）即为所求； （2）如图，连接， 由题意知，绕点逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 而的最小值是线段， 过点作，交延长线于点， ∵的最小值为， ∴， 设正方形的边长为， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】将军饮马 1．如图，已知的直径为，的度数为，点是的中点，在直径上找一点，使的值最小，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，，则的周长的最小值是（　　） A． B． C．2 D．4 3．如图，是的直径，，，，是的弦，且，若点是直径上的一动点，则的最小值为________． 4．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是_____________． 【覆盖二】两动一定 1．如图，矩形中，，，以、为圆心，半径分别为2和1画圆，、分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（     ） A．6 B．7 C．8 D．10 2．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．如图，在矩形中，，，的半径为2，E为上一点，，垂足为F，则的最小值为________． 4．如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是________． 【覆盖三】折叠圆 1．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，矩形中，，点在边上且，点为直线上一动点，连接，将沿着折痕折叠，得到，动点在边上，连接，则最小值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一动点，连接CE，把△BCE沿直线CE翻折得到△B’CE，连接AB’，若AB＝12，BC＝8．则线段AB’的最小值为 _____；连接B’D，取B’D的中点F，连接AF，则线段AF的最小值为 _____． 4．如图，在矩形中，，点E是边上一点，连接，将沿直线折叠得到，连接交于点，连接，则线段的最小值为 ___________________ ． 【覆盖一】点运动的路径 1．如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 2．如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 3．如图，为的直径，点为上一动点，的平分线与的平分线交于点，点E、F均在上，当点从点运动到点（仅运动一个半圆）时，记点运动路径长为，点运动路径长为，则的值为__________． 4．在矩形中，，，动点为矩形边上的一点，点沿着的路径运动（含点和点，则的外接圆的圆心的运动路径长是________． 【覆盖二】直角圆 1．如图，在中，，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长度最小值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．7 2．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接，H是上一点，，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在矩形中，为上一动点，为的中点，于点，连接，则的最小值为_____． 4．如图，矩形中，，，点P为矩形内一动点，且满足，则线段的最小值为________． 【覆盖三】定角定弦 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为2，四边形内接于，，若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．1 D． 3．如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为________． 4．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为______． 【覆盖四】数形结合二次函数最值 1．如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为 2．如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 3．如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 4．小亮喜欢思考，善于运用信息化工具研究数学问题．在中考复习中，他运用和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 项目 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 （1）已知在中，，，，点为边上一动点． ①线段的最小值为________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为________； 【迁移运用】 （2）如图，一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点．求最小值； 【问题解决】 （3）在矩形中，，，，．小亮使用几何画板探究发现：四边形为平行四边形；四边形与矩形重合时周长最大，最大值为28．请证明四边形为平行四边形，并用模型观念探究其周长的最小值． 【覆盖一】中位线与瓜豆原理 1．如图，在矩形中，，点E为边上一动点，点F为的中点，连接，点G在上，且，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为；②的最小值为16；③点G到的中点的距离为定值；④的最小值为．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，已知点，半径为10，，，点是上的动点，点是的中点，连接，则的最小值是（　　） A．15 B． C．35 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 4．如图，点A，B的坐标分别为，，C为上一点，，M为线段的中点，连接，则的最小值为______． 【覆盖二】面积最值 1．如图，直线与相交于点、，点、是直线两侧的圆弧上的动点，若的半径为，，那么四边形的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在和中，，点M，N，P分别为的中点，若绕点A在平面内自由旋转，则面积的最大值为（   ） A．32 B．36 C．48 D．64 3．如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为的上两动点，且，为弦CD的中点，则的面积最大值为______． 【覆盖三】费马距离 1．在中，三个内角均小于，且，，，已知点P为内部一点，则的最小值是（  ） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，在内部有一点，为边上一点，连接，，，当，，时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，且，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接，则下列五个结论中正确的有 ________（填写序号）． ①；②；③连接，则； ④若菱形的边长为1，则的最小值1； ⑤当的最小值为时，菱形的边长为2． 4．【问题呈现】如图①，点M是边长为4的等边三角形内一点，连接，求的最小值． 【问题解决】小明利用旋转的方法，将三条线段转化后首尾相接，求出了的最小值，过程如下： 如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连接，由旋转可知： ． 是等边三角形． ． ． 而的最小值是线段① 的长度（②） ， 的最小值为_③___ 请将上面的过程补充完整． 【拓展应用】如图③，是等边三角形，M是正方形对角线（不含点B）上一点． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作等边，使点在内；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）当的最小值为时，正方形的边长为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $