第21讲 双曲线的简单几何性质（思维导图+3知识点+7大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第21讲 双曲线的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 双曲线的简单几何性质及求标准方程 题型02 双曲线离心率 题型03 双曲线的渐近线 题型04 直线与双曲线的位置关系 题型05 弦长及面积问题 题型06 中点弦问题 题型07 双曲线中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.双曲线的范围、对称性、顶点 2.双曲线的渐近线、离心率 3.直线与双曲线位置关系 4.双曲线的弦长、中点弦 1. 了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2. 理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 3. 掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养. 4. 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质. 学习难点：能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 2、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 性质： ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 【常用结论】 ①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 即时即练 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． (3)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； (4)双曲线实轴长为，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 【方法总结】 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线方程为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0);与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 知识点02 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率 即时即练 1．讨论直线与双曲线的公共点的个数． 2．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 知识点03 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 即时即练 1．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【方法总结】 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型01 双曲线的简单几何性质及求标准方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 2．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 5．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，则其方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 8．（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【技巧归纳】 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; （2）由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; （3）由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. 题型02 双曲线离心率 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 3．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（25-26高二上·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高二上·广东茂名·期末）双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． 9．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 1、求双曲线的离心率的方法 （1）若可求得a,c,则直接利用e=得解; （2）若已知a,b,可直接利用e=得解; （3）若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 2、构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程(或不等式),列式时常用b=代替式子中的b,然后将方程(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用e=转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意e>1. 题型03 双曲线的渐近线 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 4．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）双曲线的渐近线为，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26高二上·广西钦州·期中）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 8．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 10．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 题型04 直线与双曲线的位置关系 1．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 2．（多选题）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 3．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数________． 4．若直线与双曲线只有一个公共点，则此时直线与双曲线一定相切，对吗？ 5．已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 【技巧归纳】 1、直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程x=-,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). 2、双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=|x1-x2| =·, 或|AB|=|y1-y2| =·. 题型05 弦长及面积问题 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 2．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 4．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 5．双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 6．在平面直角坐标系中，有两个圆，和圆，一动圆Р与两圆一个内切，一个外切． (1)求动圆圆心P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，O是坐标原点，求的面积最小值． 题型06 中点弦问题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 5．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ，所以 题型07 双曲线中的定点、定值问题 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 2．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 3．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 4．（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 5．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧.求直线斜率的取值范围； (3)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点并求定点坐标. 1．（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 4．（24-25高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 7．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．或2 10．已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 12．已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 13．（25-26高二上·广西河池·期末）直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 16．（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 18．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 21．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 22．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 23．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 24．已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 25．（25-26高二下·河南·期中）已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 27．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 双曲线的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 双曲线的简单几何性质及求标准方程 题型02 双曲线离心率 题型03 双曲线的渐近线 题型04 直线与双曲线的位置关系 题型05 弦长及面积问题 题型06 中点弦问题 题型07 双曲线中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.双曲线的范围、对称性、顶点 2.双曲线的渐近线、离心率 3.直线与双曲线位置关系 4.双曲线的弦长、中点弦 1. 了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质,培养数学运算的核心素养. 2. 理解双曲线的渐近线、离心率的意义及离心率和双曲线形状间的变化关系,提升直观想象的核心素养. 3. 掌握利用根的判别式判断直线与双曲线位置关系的方法,会判断直线与双曲线的位置关系,培养直观想象的核心素养. 4. 初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养. 学习重点：了解双曲线的范围、对称性、顶点等简单几何性质. 学习难点：能运用直线与双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的简单几何性质 1、双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 2、等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 性质： ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 3、对双曲线离心率的理解 在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为，所以当的值越大，渐进线的斜率越大，双曲线的“张口”越大，也就越大，故反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大． 【常用结论】 ①若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， ②若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 即时即练 1．（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线方程，写出它的顶点坐标，焦点坐标，计算它的焦距，实轴长，虚轴长，渐近线方程以及离心率. 【答案】答案见解析 【分析】由双曲线的性质逐一求解即可. 【详解】双曲线方程可以化成， 所以， 所以顶点坐标为， 焦点坐标为， 焦距为， 实轴长为， 虚轴长为， 令，可得，即渐近线方程为， 离心率为. 2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为，其离心率； (2)渐近线方程为，经过点． (3)双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程； (4)双曲线实轴长为，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据双曲线实轴与离心率情况，可得曲线方程； （2）根据双曲线渐近线情况可设方程为，再根据点在曲线上，可得方程； （3）由双曲线离心率可知，再将点代入方程即可； （4）由已知可得双曲线的焦点，结合实轴长度，可得方程. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为：， 由题知：，解得， 所以双曲线方程为：； （2）由渐近线方程为， 设双曲线方程为：， 将代入， 解得， 所以双曲线方程为：； （3）由，得，即， 又，即， 双曲线的方程即为， 点坐标代入得， 解得， 所以双曲线的方程为； （4）椭圆的焦点为， 则， 设双曲线的方程为， 所以，且， 所以，， 所以双曲线的方程为. 【方法总结】 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程 根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程.渐近线方程为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=λ(λ≠0);与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 知识点02 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系 设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 当不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点； 注：直线与双曲线有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 2、弦长公式 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，为直线斜率 即时即练 1．讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立方程组得到，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 2．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据双曲线上的已知点，结合的数量关系，可得答案； （2）求出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 知识点03 双曲线中点弦与点差法 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 即时即练 1．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 【方法总结】 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： 所以 题型01 双曲线的简单几何性质及求标准方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 2．双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据实轴长是虚轴长的3倍得到方程，求出，从而求出焦距. 【详解】由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得， 所以的焦距为． 故选：C 3．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 4．（25-26高二上·辽宁大连·期末）双曲线和双曲线（）的（   ） A．离心率相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】根据双曲线方程依次求出离心率，实轴长，虚轴长，焦距，进而判断. 【详解】对于双曲线，，，则， 离心率为，实轴长为8，虚轴长为6，焦距为10； 对于双曲线，得，，， 离心率为，实轴长为，虚轴长为，焦距为10. 故选：D. 5．已知双曲线的虚轴长为2，离心率为，则其方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率求得，利用虚轴长求得，进而求得，从而求得双曲线的方程. 【详解】双曲线的离心率，， 双曲线的虚轴长为，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C 6．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得出，，即可求出双曲线的标准方程. 【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上， 且，又因为离心率为， 即，解得：， 又因为，所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 7．（多选题）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的性质，由双曲线方程求出，进而得出焦点坐标，判断选项A，B，求出离心率判断选项C，求出渐近线方程，判断选项D． 【详解】 已知双曲线，即， 则，解得，，解得，，故， 焦点坐标为，故A错误； 实半轴长为，故B正确； 离心率，故C正确； 渐近线方程为，即，故D正确． 故选：BCD． 8．（25-26高二上·河北雄安·期末）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为4，虚轴长为2； (2)过点，渐近线方程为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出方程求出双曲线的标准方程； （2）设双曲线方程为，代入已知点的坐标，求得参数后可得结论． 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， ∴双曲线标准方程为． （2）由双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 代入点的坐标，有，可得． 即双曲线的方程为，化为标准方程为． 9．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2； (2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解. （2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. （2）因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线， 故设满足题意的双曲线的标准方程为， 又因为所求双曲线经过点， 所以，解得， 所以满足题意的双曲线的标准方程为. 【技巧归纳】 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 （1）把双曲线方程化为标准形式是解决问题的关键; （2）由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; （3）由c2=a2+b2求出c的值,从而得到双曲线的几何性质. 题型02 双曲线离心率 1．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若双曲线的实轴长为虚轴长的倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知双曲线中的a,b关系，结合和离心率公式求解. 【详解】， . 故选：B. 2．（25-26高二上·河南·期中）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出，由离心率得出关于的等式，求解即可. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上， 所以其标准方程为 所以， 所以解得． 又因为双曲线的离心率，所以． 又，所以， 即， 即，解得或（舍去）． 故选：C． 3．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 4．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知双曲线（）的左、右焦点分别为，点在的右支上，且满足，．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，由双曲线的定义得，则， 在中利用余弦定理得， 得，则双曲线的离心率为 5．（24-25高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设，，先根据的面积求出，再根据双曲线的定义结合勾股定理求出的关系，再结合离心率公式即可得解. 【详解】设，， 则，① 又因为，所以，② 得，所以， 又因为的面积是9， 所以，所以． 又因为双曲线的离心率， 所以，，所以，所以． 故选：D. 6．（25-26高二上·广东广州·期末）双曲线的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称、若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，设出点的坐标，再利用斜率坐标公式及双曲线方程求出离心率. 【详解】依题意，，设，则，， 由直线AP，AQ的斜率之积为，得， 解得，所以双曲线C的离心率为. 故选：D 7．（25-26高二上·广东茂名·期末）双曲线的左右焦点分别为，，若在双曲线的右支上存在点P满足，则离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合，得到，再结合即可求解. 【详解】根据双曲线的定义， 而，∴， ∵， ∴， ∴.∴. 故选：D. 8．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）设双曲线（，）的左、右焦点分别为、，过作平行于轴的直线交于，两点，若，，则的离心率为（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，如图1， 将代入，得，即，故，， 又，得，解得， 代入得，故，即，所以． 9．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 【技巧归纳】 1、求双曲线的离心率的方法 （1）若可求得a,c,则直接利用e=得解; （2）若已知a,b,可直接利用e=得解; （3）若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解. 2、构造齐次方程(或不等式)求双曲线的离心率(取值范围)的一般方法 根据条件及几何图形建立a,b,c满足的关系式,化为a,c的齐次方程(或不等式),列式时常用b=代替式子中的b,然后将方程(或不等式)两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用e=转化为含e的方程(或不等式),即可得解,同时要注意e>1. 题型03 双曲线的渐近线 1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据题意得到焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】解：双曲线， 由对称性，不妨取右焦点，其中一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离． 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 3．（25-26高二下·浙江·期中）已知直线是双曲线：的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】应用渐近线方程得出，再应用计算求解. 【详解】因为直线是双曲线：的一条渐近线， 则，所以的离心率为. 4．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）双曲线的渐近线为，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义及渐近线定义计算即可得. 【详解】由双曲线的渐近线为， 则，解得. 故选：C. 5．（25-26高二上·天津静海·阶段检测）已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的焦距为（  ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，根据圆与双曲线的渐近线相切，得到圆心到直线的距离等于半径，列出相应的等量关系式，从而求得，进一步求得双曲线的焦距. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 根据圆的圆心到切线的距离等于半径， 可得，解得， 从而求得双曲线的方程为，所以，即， 故此双曲线的焦距为， 故选：D. 6．（25-26高二上·广西钦州·期中）“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线夹角有或求参数，再由充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由渐近线的夹角为，则或，可得或， 所以“双曲线的两渐近线夹角为”是“”的必要不充分条件. 故选：C 7．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据渐近线及其垂线方程可得点的坐标，再利用面积求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 8．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，得到，再利用余弦定理求解即可． 【详解】根据题意得， 解得， 又， ， 即， ， ， ，即， 则的渐近线方程为，即． 故选：A． 9．（25-26高二上·广东湛江·期末）已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题知为等边三角形，进而得点A到渐近线的距离为，再结合点到直线的距离公式得，最后根据离心率公式求解即可. 【详解】双曲线，右顶点，不妨取渐近线方程为， 因为，， 所以为等边三角形， 所以，在正三角形中，点A到渐近线的距离为， 由点到直线的距离公式，化简得， 所以， 故选：D 10．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设，则，根据双曲线定义可得，，在中分别利用勾股定理可求得，结合双曲线中的数量关系求得，从而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】如图．设，则，，， 在中，由勾股定理：，即， 在中，由勾股定理：，即， 即，解得，∴， 则，所以渐近线方程：. 故选：C.    【技巧归纳】 双曲线渐近线求法 （1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程． （2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程． （3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解． 题型04 直线与双曲线的位置关系 1．已知双曲线，则过点与有且只有一个公共点的直线共有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】C 【分析】根据点和双曲线的位置关系确定满足条件的直线的条数. 【详解】分析条件可得：点在双曲线的渐近线上，且位于第一象限，和双曲线的右顶点有相同横坐标，如图： 所以过且与双曲线有且只有一个公共点的直线只有两条： 一条是切线：，一条是过点且与另一条渐近线平行的直线. 故选：C 2．（多选题）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，则k的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】联立直线与双曲线的方程，即可根据方程根的情况求解. 【详解】把直线代入双曲线中，消，得 当，即时，直线与双曲线相交有一个交点 当，，即，时，直线与双曲线相切，有一个交点 的值为， 故选:AD 3．直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数________． 【答案】或 【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得. 【详解】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立． 故答案为：或    4．若直线与双曲线只有一个公共点，则此时直线与双曲线一定相切，对吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不对．（1）当时，直线与双曲线恰有一个交点，此时直线与双曲线渐近线平行，并与双曲线的一支交于一点，此时的位置关系是相交不是相切． （2）当，且直线与双曲线方程联立后的方程的时，直线与双曲线恰有一个公共点，此时的位置关系是相切． 5．已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 【答案】答案见解析 【分析】讨论垂直于轴或与轴不垂直，然后设出直线方程，将直线与双曲线方程联立，利用判别式即可求解. 【详解】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点． ②当与轴不垂直时，设直线的方程为， 代入双曲线的方程中，有． 当，即或时，方程有一个解． 当时，， 令，可得；令，可得；令，可得． 综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时， 直线与双曲线有一个公共点； 当直线的斜率时， 直线与双曲线有两个公共点； 当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点． 【技巧归纳】 1、直线与双曲线的位置关系的判定方法 直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用Δ来解决. 设直线方程为Ax+By+C=0(A,B不同时为0),双曲线方程为-=1(a>0,b>0),两方程联立消去y得mx2+nx+q=0(*)形式的方程. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. ②若m=0,方程(*)为关于x的一次方程x=-,直线与双曲线相交于一点(此时直线平行于渐近线). 2、双曲线的弦长公式 与直线和椭圆相交所得的弦的长度求法一样,设直线 y=kx+l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 |AB|=|x1-x2| =·, 或|AB|=|y1-y2| =·. 题型05 弦长及面积问题 1．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求双曲线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线交于两点，求线段的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据双曲线上的已知点，结合的数量关系，可得答案； （2）求出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为． （2）由题意，直线的方程为， 联立，整理得， 设，此时， 由韦达定理得， 所以． 2．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【详解】（1）∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. （2）联立，得，    ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与双曲线所过点列出方程，解得，即可确定双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，写出韦达定理，再运用弦长公式，即可得解. 【详解】（1）由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. （2）由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 4．（25-26高二上·天津河东·阶段检测）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【详解】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 5．双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，. (1)求双曲线的方程； (2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴以及离心率求解的值，即可得解， （2）联立直线与曲线方程可得韦达定理，结合相似比可得，即可利用弦长公式以及点到直线的距离公式，求解，由三角形面积公式求解，即可利用相似比求解四边形的面积. 【详解】（1）由直线与轴垂直时，，故，故， 又离心率为，则，所以， 双曲线的方程为：. （2）设直线l的方程是，，. 由得， ，. 因为，所以，从而. 所以，，消去得，解得， 它满足，. , 故到直线的距离为， 所以， 由于，所以, 6．在平面直角坐标系中，有两个圆，和圆，一动圆Р与两圆一个内切，一个外切． (1)求动圆圆心P的轨迹C的方程； (2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，O是坐标原点，求的面积最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用给定条件，可得，再利用双曲线的定义求出轨迹方程即得. （2）联立直线与轨迹C的方程，结合韦达定理表示出三角形面积，再借助函数求出最小值即得. 【详解】（1）圆与圆的圆心分别为，半径均为1， 令动圆的半径为，显然，当圆与圆内切时，，即， 当圆与圆内切时，，即，于是， 因此动圆圆心P的轨迹C是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为1， 所以动圆圆心P的轨迹C的方程为. （2）由消去y并整理得：，由，知， 设，则， ， 直线交y轴于点，则的面积 ，于是对是递减的， 因此当时，，所以当时，的面积取得最小值.      【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 题型06 中点弦问题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】设由点差法可得直线的斜率，可得答案. 【详解】设由AB的中点坐标为，则且 ， 所以. 又A，B两点在双曲线上， 所以由相减可得，即， 所以，即，解得， 所以的斜率为. 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式做差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 4．（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知双曲线，斜率为4的直线与双曲线相交于点，，且弦的中点坐标为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据点差法求出关系，即可求解. 【详解】设，， 则，①；，②， ①-②得， 则 弦中点坐标为 直线的斜率为 ，即, 则. 故选：B. 5．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是圆锥曲线中点弦问题，运用点差法求解双曲线方程. 【详解】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，且，， 由已知条件易得直线的斜率为，则有， 变形可得，因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得，又因为的中点为， 所以，，化简得， 又因为，所以，解得，， 则双曲线的方程为：. 故选：B. 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得中点弦的斜率，依题意需使，推得取值范围. 【详解】假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由，两式作差得:, 即， 因为双曲线的渐近线方程为， 所以过点的直线斜率或时，直线与双曲线只有一个交点或无交点， 因为不存在该中点弦，所以，得； 故选：C 【技巧归纳】 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ，所以 题型07 双曲线中的定点、定值问题 1．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 2．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为2. (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，根据题意可得，再根据离心率及的关系可求得，，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论求证即可. 【详解】（1）设右焦点为，一条渐近线的方程为，即， 所以右焦点到该渐近线的距离为， 因为，，所以，， 所以双曲线的方程为. （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 而两条渐近线方程为， 不妨设与的交点为，与的交点为， 则或， 则； 当直线的斜率存在时，不妨设直线，且， 由，得， 由，得. 由，得. 不妨设与的交点为，则. 同理可得，所以. 因为原点到直线的距离，所以， 因为，所以，则. 综上所述，故的面积是定值，定值为. 3．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 4．（25-26高二下·云南红河·期末）已知双曲线：经过点，. (1)求的方程； (2)过点且斜率为的直线与的右支相交于两点， （i）求斜率的取值范围； （ii）在轴上是否存在定点，使得无论绕怎样旋转，总有轴平分？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）将两点坐标代入双曲线方程即可求解. （2）（i）设出直线方程，联立方程，消去得到方程，利用方程根的情况可求解. （ii）假设存在满足条件的定点，利用轴平分得到即可求解出点的坐标. 【详解】（1）由双曲线：经过点，， 得，解得. 所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为：，联立， 整理得. 因为直线与双曲线的右支相交于两点，设，， 所以，解得或. 故斜率的取值范围为. （ii）由轴平分可知. 由（i）可得. 又，， 则，. 假设在轴上存在定点，则， 因为，所以， 展开可得， 即. 因为或，所以. 即， 即， 即，得. 所以轴上存在定点符合条件，且． 【点睛】本题考查直线与双曲线的问题，是常考内容， 角平分线转化为斜率关系，结合韦达求定点，体现解析几何的一般解题思想. 5．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 【答案】(1) (2)设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且．① 由得，（*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令得，                因为直线和的斜率之商为2，所以       因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 即 ③ 把① ②代入③得， 化简可得 解得 ： ，（舍去)． 此时， 恒成立， 所以  ，过定点． 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点. 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为．               （2）略 6．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧.求直线斜率的取值范围； (3)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点并求定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点 【分析】（1）问根据直接法求出轨迹方程即可； （2）小问根据点斜式写出直线方程，代入曲线E,整理成关于x的一元二次方程，结合判别式和两根之积是负值计算求得即可； （3）问设出直线方程后代入曲线整理成关于y的一元二次方程，根据交点在一四象限，利用根与系数的关系转化分析计算即可求出定点。 【详解】（1）设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即， 故点的轨迹的方程为 （2）由题意可知，当直线斜率不存在时，因为直线过,此时直线方程是, 显然与曲线没有交点，不符合题意； 当直线斜率存在时，因为直线过,设直线方程为， 直线与曲线的两个交点分别是，，联立方程得 ，将代入, 消去整理得，，因为直线与曲线有两个不同交点， 所以,且，又因为直线与曲线的交点分别在轴两侧， 所以, 解得，将代入判别式,显然满足判别式大于， 所以直线斜率的取值范围为 （3）设，点，，. 由可得， 因为与E在第一象限和第四象限各有一个交点，此时,所以， 且，， 由题可得，直线的斜率,其中， 又因为直线过，所以直线方程是， 令，则 又因为 .即直线恒过定点. 1．（24-25高二上·云南丽江·阶段检测）已知双曲线的离心率为2，实轴长为2，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据给定条件，按焦点位置求出双曲线标准方程. 【详解】依题意，双曲线的实半轴长，由离心率为2，得该双曲线的半焦距， 则该双曲线的虚半轴长， 当双曲线焦点在轴上时，其标准方程为， 当双曲线焦点在轴上时，其标准方程为， 所以该双曲线的标准方程为或. 故选：B 2．（25-26高二下·湖南·期末）已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因焦点在轴上的双曲线渐近线为（其中为实半轴长，为虚半轴长）， 则 ，即，则， ∴ 双曲线的离心率. 3．已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南安阳·期中）若双曲线的离心率，且经过点，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率可知双曲线为等轴双曲线，设出方程，利用点在曲线上，点的坐标满足曲线方程，从而可求得结果 【详解】因为离心率，所以，即， 所以，所以双曲线为等轴双曲线， 所以设双曲线方程为， 因为双曲线经过点 ， 所以，得，所以双曲线方程为， 故选：A. 5．已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式、双曲线的性质求解即可. 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，. 取焦点，渐近线方程， 由题意知，整理得. 所以，所以. 故选：A． 6．（24-25高二上·河南·阶段检测）设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据离心率列方程，从而求得. 【详解】，，因为，所以，解得. 故选：B 7．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出，由此即可得解. 【详解】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 8．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 9．（25-26高二上·福建厦门·期中）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．或2 【答案】D 【分析】分别讨论和两种情况，将方程变为标准方程，可得表达式，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】当时，双曲线方程变形为，则， 所以离心率. 当时，双曲线方程变形为，则， 所以离心率 故选：D 10．已知椭圆与双曲线共焦点，椭圆与双曲线右支交于两点，若直线过右焦点，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由双曲线和椭圆的对称性可得垂直于轴，故为椭圆和双曲线的通径. 设，由椭圆可得， 在椭圆方程中令，则， 在双曲线方程中令，则， 由题意且，故即， 故或（舍），故. 11．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系建立方程式，分别解出、的值，即可求解的值. 【详解】因为，所以由，可知. 不妨设，则，故. 又由双曲线定义，得， 所以. 故选:C. 12．已知双曲线的右焦点为，以为圆心且过坐标原点的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程求出右焦点坐标及渐近线方程，再求出焦点距离渐近线距离，最后根据垂径定理及勾股定理求解 【详解】 根据双曲线方程得右焦点，渐近线为 因此焦点距离两渐近线的距离均为. 由于圆过原点，故其半径为. 因此 故选：D. 13．（25-26高二上·广西河池·期末）直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设，，由图可知 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：B.    14．已知直线与双曲线相交于，两点，且弦的中点是，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，求，即可求双曲线的渐近线方程. 【详解】设，， 则，两式相减得， ，即，即， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C 15．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 16．（25-26高二上·广东·期末），是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率. 【详解】由题，不妨取点为右支上的点，设， 根据双曲线的定义知：， 在三角形中，由余弦定理可得：， 又因为 可得，即， 又因为， 所以 即，. 故选：B. 17．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的渐近线为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设在第一象限，结合条件，由双曲线的定义得， 再结合条件及间的关系可得，即可求解. 【详解】如图，不妨设在第一象限，则①，又②， 由①②得到，又由题知， 所以，整理得到， 所以，则，即，所以双曲线的渐近线为， 故选：D. 18．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 19．已知双曲线，讨论直线与这条双曲线的交点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立直线和双曲线方程，可得，讨论等于0和不等于0，以及结合判别式判断，即可得出结论. 【详解】由方程组， 消去，可得（*）， （i）当，即时， 方程（*）为， 此时直线与双曲线仅有一个交点． （ii）当，即时， ， ①若， 即且时，直线与双曲线有两个交点． ②若， 即时，直线与双曲线只有一个交点． ③若， 即或时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当且时，直线与双曲线有两个交点； 当或时，直线与双曲线只有一个交点； 当或时，直线与双曲线没有交点． 20．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为 (2) 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 21．已知双曲线：的焦距为，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)直线：与的左、右两支各相交于点，. （i）求的取值范围； （ii）是坐标原点，若的面积为，求的值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意列方程直接求出可得方程； （2）（i）联立直线和双曲线的方程消元，利用判别式和韦达定理求解可得；（ii）利用韦达定理表示出，结合面积公式列方程求解即可. 【详解】（1）设焦距为，由题意得，所以， 因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为，即， 所以，所以的方程为. （2）（i）设，， 联立，化简得， 若，两点分别位于的左、右两支，则，解得 即的取值范围为.    （ii）由题得， 则， 所以的面积为，解得（负值已舍去）， 又，所以. 22．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知双曲线（，）的实轴长为4，离心率. (1)求双曲线的方程； (2)过点的直线与双曲线相交于，两点，是否存在直线使得点是弦的中点？若存在，求的面积.若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 存在， 【分析】（1）根据实轴长以及离心率公式求出，进而得双曲线方程. （2）先根据中点坐标公式及双曲线方程求得直线的方程，联立方程，根据韦达定理以及弦长公式求出，再求出到直线的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）依题意：，则. 又因为，所以. 所以. 所以双曲线的方程为. （2）存在.如图，设. 因为为直线与双曲线的交点， 所以， 由得：. 即. 因为点是弦的中点，所以. 所以. 此时直线的方程为，即. 联立方程得，消去得：. 则， 所以存在直线，使得点是弦的中点. 则由韦达定理：. 所以. 点到直线的距离， 所以. 23．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）根据题意，由，求解； （2）直线方程为，与双曲线方程联立，求得弦长和左焦点到直线的距离d，由求解； （3）当直线的斜率不存在时，易得点A，B的坐标，从而得到点P，Q的坐标求解；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立，设，求得点P的坐标，同理求得点Q的坐标，利用平面向量数量积运算结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以双曲线的方程为：； （2）由（1）知，则直线方程为， 与双曲线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 则弦长， ， 左焦点到直线的距离为， 所以； （3）如图所示： 当直线的斜率不存在时，，则， 所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立，，消去y得， 由韦达定理得， 设，令，得则， 同理， 所以， 则， ， ， ， . 综上：为定值0. 24．已知双曲线经过点，且离心率为2． (1)求的方程； (2)过的右焦点且斜率不为0的直线与交于两点，设分别为的左、右顶点，且直线的斜率分别为，判断：是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）根据题设列出关于的方程组，求解即得； （2）设的方程为，与双曲线方程联立，写出韦达定理，分别求出直线的斜率，并化简，利用消元思想与韦达定理即可推出结论. 【详解】（1）由题意，可得， 解得. 所以的方程为. （2）由（1）知，的右焦点为，设的方程为， 与方程联立，得. 因为与有两个交点，所以且，解得． 设，则，则有 因，则， 所以，因， 代入可得，，即为定值. 25．（25-26高二下·河南·期中）已知是离心率为的双曲线E：的左焦点，C，D两点在该双曲线上，且关于坐标原点O对称，． (1)求E的方程． (2)过点作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q，使得直线QM与QN的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用双曲线的定义与离心率即可求解结果； （2）（i）设，，l：，与双曲线联立方程，得到根与系数关系，设，由化简即可得到点Q的坐标； （ii）利用弦长公式得到，利用点到直线的距离公式得到到直线的距离，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）设双曲线的右焦点为，连接，， 由题意知，四边形是平行四边形，∴， ∴，∴， ∵离心率，∴半焦距， ∴， ∴E的方程为； （2）（i）设，，l：， 代入，整理得， ∴，解得， ∴，， 设，则 ， ∴ ， 即， 要使上式在时恒成立，则，， ∴； （ii）由（i）知， ， 点到直线l的距离为， ∴， 设，∵，∴，， ∴； 设，由对勾函数的性质知，单调递增， ∴， ∴，， ∴， 故面积的最小值为． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的直线与双曲线交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线BD过定点. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用双曲线离心率公式即可求解； （2）设过的直线方程为，与双曲线方程联立，由韦达定理可得，表示出直线BD的方程化简即可求解，注意讨论斜率为零的情形. 【详解】（1）因为，所以. 又因为双曲线经过点 ，所以 ，解得. 所以双曲线的方程为： . （2）由题意得，故， 过的直线的斜率不为零，则设过的直线方程为， 联立，得， 则， 所以， 因为，    故直线BD的斜率为，直线BD方程为， 由对称性分析可知直线BD过的定点在 轴上， 故中，令得 ， 又， 将其代入上式中得，， 故此时直线BD过定点. 若过的直线的斜率为零，则此时即为 轴，此时也过， 综上，直线BD过定点. 27．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $