第18讲 抛物线及其标准方程（培优讲义）新高二数学人教A版

第18讲 抛物线及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 抛物线的定义 2 知识点02 抛物线的标准方程 3 剖题型・讲技巧 4 题型1 抛物线定义的理解 4 题型2 根据抛物线方程求交点和准线 5 题型3 求抛物线的方程 7 题型4 抛物线的焦半径公式 10 题型5 抛物线的实际问题 12 释疑惑·重难拓展 16 题型1 抛物线上点到定点和焦点距离的和差最值问题 16 题型2 抛物线的轨迹问题 20 知高考•真题探源 22 练好题·提分培优 24 课标要点 1．掌握抛物线定义：平面内到定点与不经过该点定直线距离相等的点的轨迹，理解p为焦点到准线距离，p>0。 2．熟记顶点在原点、焦点在坐标轴的四类标准方程，能根据一次项判断焦点所在轴与开口方向。 3．会由标准方程快速写出对应焦点坐标、准线方程，明晰标准方程适用前提。 知识点01 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 练习 1．若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 四种标准方程图像特征判断： 抛物线标准方程包含一个二次项、一个一次项，二次项系数恒为 1，依靠一次项区分焦点与开口： ①一次项为x：焦点落在x轴；一次项系数为正，开口向右；系数为负，开口向左。 ②一次项为y：焦点落在y轴；一次项系数为正，开口向上；系数为负，开口向下。 练习 3．焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 4．抛物线的焦点到准线的距离为______. 题型1 抛物线定义的理解 【例1】设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【例2】已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式1-1】若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式1-3】已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 题型2 根据抛物线方程求交点和准线 【例3】抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【例4】若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 【变式2-1】已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2-2】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【变式2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 题型3 求抛物线的方程 方法技巧 第一步判断开口方向，确定焦点所在坐标轴，设对应标准方程；利用焦点坐标、准线、抛物线上已知点、的长度等条件列等式求解；若开口方向不确定，分多类讨论，最后写出完整标准方程；题干未说明顶点在原点时，不可直接套用四类标准式。 【例5】点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【例6】已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【变式3-1】已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【变式3-3】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于x轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 题型4 抛物线的焦半径公式 【例7】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【例8】设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式4-2】已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 题型5 抛物线的实际问题 【例9】彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【例10】如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【变式5-2】一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【变式5-3】一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    释疑惑·重难拓展 题型1 抛物线上点到定点和焦点距离的和差最值问题 方法技巧 核心思路是利用抛物线定义，把抛物线上点到焦点的距离等价转化为该点到准线的垂线段距离，去掉焦点简化线段。 求距离之和最小值：转化为定点到准线的最短路径，依据两点之间线段最短、垂线段最短作图，找到抛物线上临界点，联立求出对应点坐标再计算最值；若定点、焦点分居抛物线两侧，可直接连线找交点。 求距离之差最值：结合三角形三边关系，两点连线与抛物线交点为取等点，差值最大值为定点与焦点间线段长度；需要区分动点在抛物线左右/上下支的限制，避免出现取不到的极值。 【例1】抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【例2】已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【变式1-1】已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【变式1-3】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型2 抛物线的轨迹问题 方法技巧 第一种方法：定义法。若动点满足到定点、定直线距离相等，且定点不在定直线上，可直接判定轨迹为抛物线，求出参数后写出标准方程；若定点在定直线上，轨迹为直线，舍去抛物线解。 第二种方法：直译法。设动点坐标，根据题干距离、长度等量关系列出等式，平方化简后整理方程，化简完成后要剔除增根。 第三种方法：相关点代入法。已知主动点轨迹，从动点随主动点运动，设两点坐标，建立坐标关系式，反解主动点坐标代入已知方程，化简得到从动点轨迹。 最后必须标注或的取值范围，排除不在抛物线上的无效部分。 【例3】设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【例4】已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【变式2-1】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 5．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 10．已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．抛物线经过点，其标准方程为_______. 12．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 13．已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 四、解答题 14．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 15．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 16．如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点.求点的轨迹方程.    2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 抛物线及其标准方程（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 抛物线的定义 2 知识点02 抛物线的标准方程 3 剖题型・讲技巧 4 题型1 抛物线定义的理解 4 题型2 根据抛物线方程求交点和准线 5 题型3 求抛物线的方程 7 题型4 抛物线的焦半径公式 10 题型5 抛物线的实际问题 12 释疑惑·重难拓展 16 题型1 抛物线上点到定点和焦点距离的和差最值问题 16 题型2 抛物线的轨迹问题 20 知高考•真题探源 22 练好题·提分培优 24 课标要点 1．掌握抛物线定义：平面内到定点与不经过该点定直线距离相等的点的轨迹，理解p为焦点到准线距离，p>0。 2．熟记顶点在原点、焦点在坐标轴的四类标准方程，能根据一次项判断焦点所在轴与开口方向。 3．会由标准方程快速写出对应焦点坐标、准线方程，明晰标准方程适用前提。 知识点01 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 练习 1．若抛物线上的点到其焦点的距离为9，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为，由点到其焦点的距离为9， 得，解得，而，则， 所以点的坐标为. 故选：D 2．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由抛物线的方程，可得，焦点的坐标为，准线方程为， 又由抛物线的定义可知点到的距离为，根据定义，点到准线的距离也为， 设点的横坐标为，则点到准线的距离为， 则点到轴的距离等于其横坐标的绝对值，即. 故选：C 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 四种标准方程图像特征判断： 抛物线标准方程包含一个二次项、一个一次项，二次项系数恒为 1，依靠一次项区分焦点与开口： ①一次项为x：焦点落在x轴；一次项系数为正，开口向右；系数为负，开口向左。 ②一次项为y：焦点落在y轴；一次项系数为正，开口向上；系数为负，开口向下。 练习 3．焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为____________，其焦点坐标是______准线方程是____________ 【答案】 【详解】由抛物线的基本知识可知，焦点在轴正半轴的抛物线的标准方程为， 其焦点坐标为，准线方程为. 故答案为：；；. 4．抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】/ 【详解】由，得，解得， 即抛物线的焦点到准线的距离为. 题型1 抛物线定义的理解 【例1】设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 【例2】已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 【变式1-1】若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】由题意得，即，焦点坐标为 ，因此. 因为，所以. 设 ， 因为点A在E上，则. 代入抛物线方程得 ，因此. 【变式1-3】已知抛物线的焦点为，点为抛物线准线上一点，连接交于点，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义有， 又，得，设准线与轴的交点为，则有， 所以，又，故. 题型2 根据抛物线方程求交点和准线 【例3】抛物线（）的焦点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得，故焦点坐标为，焦点的纵坐标为. 【例4】若点P在抛物线上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 所以点P到抛物线C的准线的距离为. 【变式2-1】已知抛物线的焦点为F，过点作C的准线的垂线，垂足为，则点到直线的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，则，即， 准线方程为，则 则点到直线的距离为. 【变式2-2】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 【变式2-3】已知抛物线的焦点为，准线为，过上一点作的垂线，垂足为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】把点坐标代入的方程可得， 所以，故点， 则直线的斜率为， 于是，转化为一般方程为． 题型3 求抛物线的方程 方法技巧 第一步判断开口方向，确定焦点所在坐标轴，设对应标准方程；利用焦点坐标、准线、抛物线上已知点、的长度等条件列等式求解；若开口方向不确定，分多类讨论，最后写出完整标准方程；题干未说明顶点在原点时，不可直接套用四类标准式。 【例5】点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 【例6】已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 【变式3-1】已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因的焦点为，则，解得， 由题意，点的横坐标，所以． 【变式3-2】抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 【变式3-3】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：，一条平行于x轴的光线，经过点，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由抛物线的定义可得，解得，则抛物线C的准线方程是． 故选：B. 题型4 抛物线的焦半径公式 【例7】已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上且在第一象限，若，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为抛物线的焦点为，所以，故抛物线方程为， 设，因为，所以，可得， 代入抛物线方程可得，解得， 因为点在第一象限，所以， 所以直线的斜率为，则直线的倾斜角为. 【例8】设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 【变式4-1】已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 【变式4-2】已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，抛物线方程为，焦点，准线为， 设点坐标为，满足，作准线于点，轴于点， 则由抛物线的定义可知， 因此，故B正确. 【变式4-3】过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线交于A，B两点（A在x轴上方），则_______． 【答案】 【详解】易知抛物线的焦点F，准线. 所以直线的方程为，即， 代入得，即， 所以或. 所以. 所以. 题型5 抛物线的实际问题 【例9】彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 【例10】如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 【变式5-1】如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 【变式5-2】一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点F处，已知接收天线的口径（直径）为4m，深度为1m，则该抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A．1m B．2.88m C．5.76m D．1.44m 【答案】A 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点A的坐标代入抛物线的方程， 可得解得，∴抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即，∴抛物线焦点到顶点的距离为1m． 故选：A． 【变式5-3】一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为________m.    【答案】 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 故答案为：. 释疑惑·重难拓展 题型1 抛物线上点到定点和焦点距离的和差最值问题 方法技巧 核心思路是利用抛物线定义，把抛物线上点到焦点的距离等价转化为该点到准线的垂线段距离，去掉焦点简化线段。 求距离之和最小值：转化为定点到准线的最短路径，依据两点之间线段最短、垂线段最短作图，找到抛物线上临界点，联立求出对应点坐标再计算最值；若定点、焦点分居抛物线两侧，可直接连线找交点。 求距离之差最值：结合三角形三边关系，两点连线与抛物线交点为取等点，差值最大值为定点与焦点间线段长度；需要区分动点在抛物线左右/上下支的限制，避免出现取不到的极值。 【例1】抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 【例2】已知抛物线的准线为l，P为抛物线C上任意一点，则点P到准线l的距离和点P到直线的距离之和的最小值为______． 【答案】 【详解】 对于抛物线可得，因此焦点，准线的方程为。 过点作垂直于，垂足为，作垂直于直线，垂足为，如下图所示：    易知点到准线的距离等于点到焦点的距离，即为， 点到准线的距离和点到直线的距离之和为， 当三点共线时，距离之和最小， 即为点到直线的距离 ， 故所求最小值为. 【变式1-1】已知抛物线上有一点，过点作的垂线，垂足为，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记的焦点为，由抛物线定义可知， 于是， 当且仅当依次共线且在之间时等号成立． 此时取最大值为3. 【变式1-2】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 【变式1-3】已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 题型2 抛物线的轨迹问题 方法技巧 第一种方法：定义法。若动点满足到定点、定直线距离相等，且定点不在定直线上，可直接判定轨迹为抛物线，求出参数后写出标准方程；若定点在定直线上，轨迹为直线，舍去抛物线解。 第二种方法：直译法。设动点坐标，根据题干距离、长度等量关系列出等式，平方化简后整理方程，化简完成后要剔除增根。 第三种方法：相关点代入法。已知主动点轨迹，从动点随主动点运动，设两点坐标，建立坐标关系式，反解主动点坐标代入已知方程，化简得到从动点轨迹。 最后必须标注或的取值范围，排除不在抛物线上的无效部分。 【例3】设点，，为动点，记，的斜率分别为，，若，则点的轨迹为（    ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】D 【详解】令且，则，，而， 所以，则，即且，显然为抛物线的一部分. 【例4】已知动点到定点的距离比它到轴的距离大，则动点的轨迹为（ ） A．抛物线 B．射线 C．抛物线和射线 D．抛物线和直线 【答案】C 【详解】由题意可得， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为抛物线， 当时，则有，化简得，此时点的轨迹为射线， 故点的轨迹为抛物线或射线. 故选：C. 【变式2-1】已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 【变式2-2】设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2-3】如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 3．（2026·上海·高考真题）已知点为抛物线上一点，若点到的焦点的距离是到轴的距离的两倍，则点的横坐标是____________. 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点为，准线方程为，设， 由题有，解得， 故答案为：. 4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 5．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 一、单选题 1．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线的标准方程为，则其焦点在轴上，且，所以焦点坐标为. 2．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 4．已知抛物线：（），若圆与的准线相切，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为3， 由C的准线与该圆相切，得圆心到准线的距离为，解得， 所以C的焦点坐标为. 5．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 7．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若直线的倾斜角为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    抛物线的焦点的坐标为， 直线的倾斜角为，故斜率，直线的方程为， 联立方程，得， 解得（舍去），，，所以， 直线的斜率， 所以直线的方程，即， 所以原点到直线的距离． 8．卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．已知该卫星接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以抛物线顶点为原点，对称轴为轴， 设抛物线方程为，焦点，焦点到顶点距离为． 天线口径（直径），深度，故抛物线过点（或）， 将代入：， 焦点到顶点距离为． 二、多选题 9．已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（   ） A． B．的方程为 C．若圆心在上，则圆与相切 D．若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 10．已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 三、填空题 11．抛物线经过点，其标准方程为_______. 【答案】或 【详解】因为点在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为或． 若抛物线的标准方程为， 则由，解得； 若抛物线的标准方程为， 则由，解得. 故所求抛物线的标准方程为或. 12．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 13．已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 四、解答题 14．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上. 【答案】(1) (2)或； (3) 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在y轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点， 则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，求得， 故抛物线标准方程为或； （3）由于直线与x轴的交点为， 由题意可知抛物线焦点为，则， 故抛物线标准方程为； 15．某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分（从点C到点B）．已知观测点A的坐标为，当航天器与点A距离为4时，指挥中心向航天器发出变轨指令． (1)求航天器变轨时点C的坐标； (2)求航天器降落点B与观测点A之间的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】 【详解】（1）（1）设，由题意，，即，得 又点上在，所以联立得方程组， 解方程组得或（舍去），当时，， 由图可知，所以， 故C的坐标为． （2）（2）由题意设抛物线的方程为， 因为抛物线经过点，， 所以，，解得，即． 令可得或（舍去），即， 所以， 故航天器降落点B与观测点A之间的距离为3． 16．如图，已知点，轴于点，是线段OB上任意一点，轴于点，于点，与相交于点.求点的轨迹方程.    【答案】 【详解】设，因为， 所以线段的方程为， 因为是线段OB上任意一点， 所以有，且点的坐标为， 因为，所以线段的方程为，所以， 因为，所以，所以点， 即， 所以的轨迹方程是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $