第23讲 抛物线的简单几何性质（思维导图+3知识点+6大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第23讲 抛物线的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 抛物线的简单几何性质 题型02 直线与抛物线的位置关系 题型03 弦长及面积问题 题型04 中点弦问题 题型05 焦点弦问题 题型06 抛物线中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.抛物线的几何性质 2.直线与抛物线的位置关系 3.抛物线的焦点弦、中点弦 1. 掌握抛物线的几何性质,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 3. 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养. 学习重点：了解抛物线的几何性质. 学习难点：掌握直线与抛物线的位置关系的判断，能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的几何性质 一、抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 二、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 即时即练 1．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【方法总结】 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 知识点02 直线与抛物线的位置关系 一、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 二、直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 即时即练 1．已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【方法总结】 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、求抛物线弦长问题的方法 （1）一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. （2）焦点弦长. 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 知识点03 抛物线的焦点弦性质 一、抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 即时即练 1．已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 2．（多选题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型01 抛物线的简单几何性质 1．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 5．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 题型02 直线与抛物线的位置关系 1．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 4．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【技巧归纳】 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 题型03 弦长及面积问题 1．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 2．（25-26高二下·北京·开学考试）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过的直线与交于两点． (1)当轴时，求； (2)当直线的斜率为时，求的面积． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 4．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线：的焦点到直线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 7．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 【技巧归纳】 求抛物线弦长问题的方法 （1）一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. （2）焦点弦长. 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型04 中点弦问题 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 2．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 5．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【技巧归纳】 中点弦问题的两种解题策略 1、点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=(x1≠x2)求斜率,再由点斜式求解. 2、传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 题型05 焦点弦问题 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 4．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．可能为直角. 7．（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【技巧归纳】 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型06 抛物线中的定点、定值问题 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 3．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 4．已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点. (1)求准线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 1．（2025高二上·全国·专题练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 2．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 7．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 8．（24-25高二上·天津和平·阶段检测）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 11．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 12．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知动圆与直线相切且与圆：外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于两点，若的倾斜角为，求弦长的值； (3)若是轨迹上两点，是坐标原点，直线，的斜率之积等于，求证：直线过定点. 15．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 16．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 17．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 18．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，点到轴的距离恰为. (1)求点的坐标； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线上是否存在一定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 抛物线的简单几何性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 抛物线的简单几何性质 题型02 直线与抛物线的位置关系 题型03 弦长及面积问题 题型04 中点弦问题 题型05 焦点弦问题 题型06 抛物线中的定点、定值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.抛物线的几何性质 2.直线与抛物线的位置关系 3.抛物线的焦点弦、中点弦 1. 掌握抛物线的几何性质,培养数学抽象的核心素养. 2. 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 3. 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养. 学习重点：了解抛物线的几何性质. 学习难点：掌握直线与抛物线的位置关系的判断，能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 抛物线的几何性质 一、抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 二、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 即时即练 1．（多选题）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 【方法总结】 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 知识点02 直线与抛物线的位置关系 一、直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 二、直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 即时即练 1．已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况. 【答案】答案见解析 【分析】分别讨论直线斜率不存在和存在的情况，在斜率存在的情况下，与抛物线方程联立，根据二次项系数是否为零和判别式来进行讨论即可. 【详解】    若直线斜率不存在，此时为轴，与抛物线有且仅有一个交点； 若直线的斜率存在，记为，则可设直线的方程为：， 由得：； ①当时，，解得：，此时， 直线与抛物线有且仅有一个公共点 ②当时，方程的判别式； 若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点； 若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点； 若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点； 综上所述：当直线斜率不存在或直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；当直线斜率时，直线与抛物线无公共点；当直线斜率且时，直线与抛物线有两个公共点. 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求解； （2）利用韦达定理求得，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）根据抛物线的定义可知， ，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 3．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义计算即可； （2）利用点差法结合点斜式计算即可. 【详解】（1）设，因为到点的距离比它到直线的距离小2， 则有，根据距离公式得，化简得， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. （2）设，则 两式相减得， 整理可得. 因为线段的中点坐标为，易知在抛物线内部，且， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 【方法总结】 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、求抛物线弦长问题的方法 （1）一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. （2）焦点弦长. 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 知识点03 抛物线的焦点弦性质 一、抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 即时即练 1．已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为． (1)求的方程； (2)若经过点且斜率为1的直线与交于两点，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意有，求出参数值，即可得方程； （2）由题意可得，联立抛物线，应用韦达定理和焦点弦长公式求. 【详解】（1）由题设，准线为，而焦点关于的准线的对称点为， 所以，可得，故； （2）    由（1）知，则直线，联立， 所以，可得，显然， 所以，，(的横坐标分别为)， 则. 2．（多选题）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设过焦点的直线方程，与抛物线方程联立，由韦达定理可知根与系数的关系，进而可判断A,B选项是对的.对于C,D选项，根据焦半径公式以及根与系数的关系，代入化简即可知C对D错. 【详解】由题意知， 直线的斜率不可能为0，故可设其方程为， 联立，消去，得, ,故B对 故，故A对 由抛物线的定义知，, 又 ∴＝ ＝＝，即选项C对，D错. 故选:ABC 【方法总结】 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型01 抛物线的简单几何性质 1．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 2．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案. 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 3．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线的图象上，则这个正三角形的边长为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【分析】先设正三角形的边长为，根据题意得到其中一个顶点坐标，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设正三角形的边长为，由抛物线的对称性及题意可得，其另外两个顶点的坐标为， 又另外两个顶点在抛物线上， 所以，得， 所以这个正三角形的边长为6. 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 5．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 题型02 直线与抛物线的位置关系 1．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D 2．直线与抛物线：的图象相切，则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线方程，消元，由求出，即可得到抛物线方程，从而得到准线方程. 【详解】由，消去整理得， 由，解得或（舍去）， 所以抛物线：，则的准线方程为. 故选：A 3．过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有几条？ 【答案】条 【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解； 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时与抛物线只有一个公共点，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 当时，符合题意； 当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有条． 4．已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形． (1)求的方程； (2)讨论过点的直线与的交点个数． 【答案】(1) (2) 当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【分析】（1）根据抛物线和等边三角形的对称性进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为， 以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形， 而这个等边三角形的高为， 即焦点到准线的距离，解得（负值舍去）， 所以的方程为． （2）若直线的斜率存在，设的方程为． 由方程组可得． （Ⅰ）当时，解得，此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点； （Ⅱ）当时，方程的根的判别式为， （ⅰ）由，解得或，此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点； （ⅱ）由，解得或，此时方程有两个不等的实数解，与有两个公共点； （ⅲ）由，解得，或，此时方程没有实数解，与没有公共点； 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知与没有公共点． 综上，当的方程为或的斜率或时，与的交点个数为0；当的斜率或或时，与的交点个数为1；当的斜率时，与的交点个数为2． 【技巧归纳】 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 题型03 弦长及面积问题 1．（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线相交于，两点，求，中点坐标及弦长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据抛物线的定义列式计算即可求解； （2）设，直线与抛物线联立方程组，由韦达定理结合中点坐标公式及弦长公式计算即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，所以， 即抛物线的方程为； （2）设， 直线与抛物线联立方程组可得， 则，， 所以，， 所以，中点坐标为，. 2．（25-26高二下·北京·开学考试）抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过的直线与交于两点． (1)当轴时，求； (2)当直线的斜率为时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）拋物线的焦点， 当时，直线的方程为， 由，得， 则； （2）设直线的方程为． 设， 由，得， 则，所以， 所以， 当时，． 此时直线，点到直线的距离， 因为， 所以. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【分析】（1）根据给定条件求出p值即可求解； （2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得. 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 4．（25-26高二下·福建福州·期中）已知抛物线：的焦点到直线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用抛物线焦点到直线的距离公式列方程求出的值，即可确定标准方程； （2）设直线方程并与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式与点到直线距离公式表示三角形面积，建立方程求解即得. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 所以焦点到直线的距离为， 解得，则抛物线的标准方程为. （2）由题意设过点的直线方程为，设. 联立方程，消去得：， 所以，， 所以， 由弦长公式，. 原点到直线的距离为. 所以， 解得 ，即. 故直线方程为：或，即或. 5．（25-26高二上·福建福州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其横坐标为，且． (1)求的值； (2)已知直线与抛物线交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【详解】（1）分析可得，点在抛物线上，其横坐标为，代入抛物线方程，得点的纵坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    6．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线，分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限． (1)若直线的倾斜角为，求线段的长； (2)求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义可求； （2）设，，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理以及抛物线的定义求出，最后根据以及基本不等式求最值. 【详解】（1）由题可知，， 则直线的方程为 联立，得，． 设，则， 则线段的长为. （2）依题意，，直线的斜率存在且不为0，设，， 由，得，显然， 设，则，得， 同理可得，， 四边形的面积，等号成立时， 故四边形的面积取得最小值32． 7．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）8； （ii）32 【分析】（1）判断直线与圆相离，设动圆圆心，根据题意列出相应的方程组，化简可得圆心的轨迹的方程； （2）（i）由（1）知轨迹为抛物线，设，，联立抛物线与直线的方程，由韦达定理求得，结合抛物线的焦半径公式，求得弦长；（ii） 【详解】（1）定圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，且在圆左侧. 设圆心的坐标为，动圆的半径为， 由动圆与直线相切，得， 由两圆外切，得，即，化简得. 所以圆心的轨迹的方程为. （2）（i）抛物线的方程为：，焦点为， 直线的方程为：， 联立方程，消去得. 设，，则， 得弦长. （ii）设直线的方程为，则直线的方程为. 联立方程，消去得. 设，，则，， 所以， 联立方程，即以代换，可得. 所以四边形的面积为：， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以四边形的面积的最小值为：32. 【技巧归纳】 求抛物线弦长问题的方法 （1）一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. （2）焦点弦长. 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型04 中点弦问题 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】根据点在抛物线上，利用点差法可求直线斜率. 【详解】设，则，两式相减得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以. 故选：A. 2．已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 3．已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，代入抛物线方程两式相减可得，进而求得，由求得值. 【详解】设， 则两式相减，可得， 所以，即， 所以，所以， 代入直线，得， 所以，所以，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段检测）已知抛物线，过点的直线l与C相交于A，B两点，且M为弦AB的中点，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，结合中点坐标公式和韦达定理即可求出直线的方程. 【详解】显然直线不垂直于轴，如图所示，故设直线的方程为, 联立直线的方程与抛物线方程得,消去得, 由弦AB的中点为，结合韦达定理和中点坐标公式得， 此时方程有两个不等实根， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 5．已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 【技巧归纳】 中点弦问题的两种解题策略 1、点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=(x1≠x2)求斜率,再由点斜式求解. 2、传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 题型05 焦点弦问题 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·期中）AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 4．设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由抛物线的定义可知，再由抛物线的性质可得即可求解. 【详解】如图所示，抛物线及准线如图所示，过点作垂直准线于点， 过焦点作垂直于于点，由题意可知， 根据抛物线的定义 在中，，又， 所以， 解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 6．（多选题）（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理求得，，即可判断BC，对于D，通过计算即可判断. 【详解】对于A，由题意，，所以无最小值，故选项A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，，则， 则，所以选项BC正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，即不可能为直角，故D错误. 故选：BC. 7．（多选题）（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，下列说法正确的有（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．若，则线段AB的中点到轴的距离为3 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切 【答案】BCD 【分析】由抛物线的标准方程可判断A，由抛物线的焦点弦公式可判断B，由抛物线的定义计算圆心到直线的距离等于半径可判断C和D. 【详解】对于A，抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误． 对于B，设点，由抛物线的定义可得， 可得，所以线段的中点到轴的距离为，故B正确． 对于C，因的中点为  该点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故C正确． 对于D，因，故以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，即D正确． 故选：BCD. 【技巧归纳】 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 题型06 抛物线中的定点、定值问题 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点到点的距离与到直线的距离相等．记动点的轨迹为，过点的直线与曲线相交于，两点． (1)求轨迹的方程； (2)设点关于轴对称的点为，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由抛物线的定义，直接得到轨迹的方程； （2）结合设直线的方程和，两点坐标，联立曲线的方程，写出直线的方程，结合韦达定理化简即可到直线恒过定点． 【详解】（1）∵平面内动点到点的距离与到直线的距离相等， ∴由抛物线的定义知，动点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， ∴其轨迹方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，则. 由，得. 恒成立，， ∵不重合，∴，即， ∴直线的方程为， 即. ∴直线过定点. 3．已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线． (1)求的方程； (2)不过点的直线与交于两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解； （2）设直线的方程为，,，,，利用韦达定理及可得，，，进一步求出的中点坐标，然后求出直线的方程即可求解． 【详解】（1）由题可知，动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线， ， 曲线的方程为； （2）设直线的方程为，,，,， 直线与抛物线联立：， 消去化简得，则，即， ，，又，即， 又， ，即， 设点为的中点，则， 直线的方程为， 令，则， 故点为定点，坐标为． 4．已知抛物线经过点中的两个点，准线为，为坐标原点. (1)求准线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，直线与交于点，过点作的垂线，垂足为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意，得到抛物线经过点，代入求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，得到，进而求得和，化简得到，即可求解. 【详解】（1）因为抛物线关于轴对称， 可得必过中的两点， 代入可得，解得， 所以抛物线的方程为，准线的方程为. （2）证明如下： 设直线的方程为且， 联立方程组，整理的， 可得，且， 则. 又直线的方程为，令，得点的纵坐标， 又由过点作的垂线，垂足为，所以点的纵坐标， 所以 （定值）. 5．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线C上，且，直线过定点（其中，）与抛物线相交于A，B两点（点位于第一象限）． (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：； (3)如图，连接，并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，求． 【答案】(1)； (2)见解析 (3). 【分析】（1）根据及已知列方程求参数，即可得抛物线方程； （2）设直线方程为，，，联立抛物线并应用韦达定理和向量数量积的坐标运算，即可证； （3）设直线的方程为，的方程为，，，，， 联立抛物线，应用韦达定理和三角形面积公式即可得. 【详解】（1）∵， ∴，则； （2）设直线方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 则， 即； （3）设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以， 设，，的方程为， 联立直线与抛物线的方程， 消去并整理，得， 所以，，则，同理得， ∴. 1．（2025高二上·全国·专题练习）在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，将化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【详解】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得，因，故该方程表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 2．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形的边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 3．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 5．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 6．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）过抛物线焦点的直线交于两点，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，若是正三角形，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由是正三角形得到直线的倾斜角是，即可得到直线的方程，联立抛物线和直线方程，得到，根据抛物线定义可得结果. 【详解】 设直线的倾斜角为，根据是正三角形得，故直线斜率为. 因为，所以， 由得， 设，则， 所以. 故选：B. 7．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线C交于点，若，则（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】结合图形特征得到直线AB的倾斜角，求出斜率，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理结合焦点弦公式求解. 【详解】因为抛物线，所以，焦点，准线， 过分别作，垂足分别为， 由抛物线定义可知，过点作，垂足为， 设，因为，所以， 所以， 在中，，所以， 所以直线的倾斜角为，斜率，所以直线方程为， 由，得， 设，则， 由焦点弦公式， 故选：B. 8．（24-25高二上·天津和平·阶段检测）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程为，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理得，，故选项AB正确；由，故C正确；由，当时，，即,故D错误. 【详解】设过抛物线的焦点的直线为：， 联立，消去得， 由韦达定理得， 则，故AB正确； 由，故C正确， 因为， 所以， 当时，，即,故D错误. 故选：D. 9．（多选题）（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10．已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 11．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，抛物线上的一点到焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)为坐标原点，若直线经过点，且与抛物线交于，两点，的面积为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）结合抛物线定义建立关于的方程并求解即可； （2）设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式和面积建立关于的方程并求解. 【详解】（1）对于抛物线，准线方程为，根据抛物线的定义： 点到焦点的距离为，则， 故抛物线的方程为：. （2）求直线的方程 设直线的方程为，设, 联立直线与抛物线方程：，整理得：， 由韦达定理得：， 的面积：，其中， 因此：， 由弦长公式：， 的面积为，因此：， 整理得直线的方程为：或. 12．（25-26高二下·上海·期中）已知抛物线，过点的直线交抛物线于. (1)求证：为定值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）设过点的直线方程，与抛物线联立后由韦达定理得到交点横纵坐标的关系，将坐标化后代入该关系，即可证明其为定值； （2）利用原点到直线的距离和弦长公式得到面积关于直线斜率的表达式，再通过均值不等式求最值即可得到面积的最小值. 【详解】（1）设过点的直线方程为，设， 联立直线与抛物线方程： 消去得一元二次方程：， 由韦达定理得： ， 所以， 因此， 故为定值，得证. （2）因为，，，故， 所以， 由韦达定理， ，当（即）时，取得最小值， 即面积的最小值是.    13．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值－12． 【分析】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的一样，可得，在抛物线上，从而在椭圆上，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由根与系数的关系可判断是否为定值． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知动圆与直线相切且与圆：外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于两点，若的倾斜角为，求弦长的值； (3)若是轨迹上两点，是坐标原点，直线，的斜率之积等于，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)8 (3)证明见解析 【分析】（1）解法1：设圆心C的坐标为，根据题意，得到，化简求得圆心的轨迹的方程； 解法2：根据题意得到动圆的圆心到的距离等于点到直线的距离，结合抛物线的定义，求得圆心的轨迹的方程； （2）由直线的方程为，联立方程组，求得，结合抛物线的焦点弦的性质，即可求解. （3）设直线，且，联立方程组，求得和，由和抛物线的方程，化简得到，求得，进而得到过定点. 【详解】（1）由定圆，可得圆心为，半径， 因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，且在圆左侧， 如图所示，动圆必在直线右侧， 解法1：设圆心C的坐标为，动圆的半径为， 由动圆与直线相切，可得， 由圆与圆外切，可得，即， 整理得，所以圆心的轨迹的方程为. 解法2：设为动圆圆心到的距离，由题意得， 即动圆的圆心到的距离等于点到直线的距离， 所以动圆圆心的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 设动圆圆心的轨迹方程为，则，解得， 所以圆心的轨迹的方程为. （2）由题意得，直线的方程为，设，， 联立方程组，整理得，则，且， 由抛物线的定义，可得. （3）由题意知，直线的斜率不为0，设直线，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 因为直线与的斜率之积等于，所以， 即，所以， 又因为，，所以，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 15．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）抛物线被直线所截得的弦PQ的中点的纵坐标为1． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，直线与拋物线相交于，两点，直线与抛物线相交于，两点. （i）若，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) ，准线方程为 (2)（i）或；（ii）32 【分析】（1）解法一：联立直线与抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用抛物线定义计算可得，即可得抛物线的准线方程；解法二：借助点差法与中点弦性质计算可得，即可得抛物线的准线方程； （2）解法一：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解；解法二：（i）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，结合抛物线弦长公式计算即可得解；（ii）结合（i）中所得，可表示出、，即可表示出四边形的面积，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）解法一：设抛物线与直线交于，， 联立方程组，整理得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； 解法二：设抛物线 与直线交于，， 因为截得的弦的中点的纵坐标为1，故，， 则，作差得， 所以，因为，所以， 则抛物线方程为，准线方程为； （2）解法一：（i）依题意设直线的方程为，，，， 联立方程组，整理得 ，故， 所以 ，解得， 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即 时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32． 解法二：（i）依题意设直线的方程为，，，． 联立方程组，整理得，故， 所以，解得 所以直线的方程为， 即或； （ii）因为，，同理可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以四边形面积的最小值为32．    16．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程． (2)求证：为定值． (3)求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1)标准方程为，准线方程为； (2)证明见解析； (3)证明见解析，. 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【详解】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； （2）设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3）由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 17．（24-25高二上·广西河池·阶段检测）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案； （2）设设的方程为，，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为， 即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知， 设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得， ， 所以 ， 所以， 侧直线与直线的倾斜角互补，所以． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由韦达定理判断. 18．已知抛物线上一点到焦点的距离为3，点到轴的距离恰为. (1)求点的坐标； (2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线上是否存在一定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用抛物线定义以及焦半径公式联立方程组即可解得，可求出； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程并利用两直线垂直的斜率表示，结合韦达定理即可求得满足题意. 【详解】（1）设，焦点， 由题可知， 解得，所以， 所以点的坐标为. （2）由（1）知抛物线的方程为，设， 因为直线的倾斜角不为0，设直线的方程为，如下图所示： 由消去，得. 则. 由以线段为直径的圆与该抛物线交于点， 当与之一重合时，满足题意； 当与均不重合时，则的斜率均存在，记为，且满足. ，同理， 所以. 即. 又因为， 所以.整理得. 当时，上式恒成立，即为定点. 所以存在抛物线上的定点始终在以线段为直径的圆上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中有关垂直或圆直径的问题，经常利用平面向量数量积为0或斜率之积为来表示垂直，并结合韦达定理即可求解. 19．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线的定义得到轨迹方程； （2）①设出直线的方程为，直曲联立，得到，可得，再由斜率的定义，进而可得结论；②由点斜式写出直线的方程，得到过定点，再由三角形面积公式表达出面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值. 【详解】（1）由题可知，点P到点的距离与到的距离相等， 所以曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为． （2）①设， 由题意可知的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，消去，得， 显然，所以， 直线的方程为，联立得， 消去，得，整理得， 则是方程的两根，，所以，所以，同理可得， ， 因为，所以 ②由①知的方程为：，所以，所以， 令，则， 所以过定点． 所以 ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $