第20讲 双曲线及其标准方程（思维导图+3知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第20讲 双曲线及其标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 双曲线的定义、表示及辨析 题型02 求双曲线的标准方程 题型03 双曲线中的焦点三角形问题 题型04 双曲线中的轨迹方程问题 题型05 双曲线中的距离最值问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.双曲线的定义 2.双曲线的标准方程 1. 经历从具体情境中抽象出双曲线的模型,理解双曲线的定义,培养数学抽象与直观想象的核心素养. 2. 掌握双曲线的定义,会用双曲线的定义解决问题,培养数学运算的核心素养. 3. 掌握双曲线的标准方程,了解双曲线标准方程的推导过程,提升数学运算的核心素养. 学习重点：理解掌握双曲线的定义. 学习难点：掌握双曲线的标准方程及其推导过程. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 注意：（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 即时即练 1．（多选题）已知是双曲线的两个焦点．若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，则点M到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．10 C．22 D．32 【答案】BC 【分析】利用双曲线定义即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，根据双曲线的定义知， 即，解得或； 故选：BC. 2．（多选题）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 【答案】AB 【分析】利用垂直平分线的定义可判断A选项；根据、直接判断出点的轨迹为射线，可判断BC选项；利用双曲线的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对； 对于B选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的正方向，B对； 对于C选项，当时，，则点的轨迹是一条射线， 且射线的端点为，方向为轴的负方向，C错； 对于D选项，当时，，且， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，D错. 故选：AB. 3．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【分析】由题意可知，计算求解即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即， 故答案为：． 【方法总结】 1、双曲线的定义 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2、判断方程是否表示双曲线 将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 知识点02 双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 2、待定系数法求双曲线标准方程 即时即练 1．（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 【方法总结】 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 知识点03 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积。 （2）利用公式求得面积； 即时即练 1．（24-25高二上·上海·阶段检测）设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________. 【答案】3 【分析】根据题意可得，，利用勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 则，， 若，则， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【方法总结】 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 题型01 双曲线的定义、表示及辨析 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知为实数，若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线方程的性质，列式计算，即可得答案. 【详解】由表示双曲线，得，解得或 故选：D 3．（25-26高二上·湖南怀化·期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 4．（25-26高二上·天津河西·期末）已知是双曲线上一点，点分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．9 B．1或9 C．7 D．3或7 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离的范围求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，所以， 所以，由双曲线的定义可得，即， 可得或，又当点在双曲线左支上时，， 当点在双曲线右支上时，，所以不成立， 所以， 故选：A. 5．化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 6．“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的定义建立不等式组，求解参数范围，再结合必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】若方程表示焦点在轴上的双曲线， 则,，解得, 得到“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要不充分条件； 故选：B 【技巧归纳】 1、双曲线的定义 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 2、判断方程是否表示双曲线 将双曲线方程化为标准方程的形式,假如方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 题型02 求双曲线的标准方程 1．已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可得答案. 【详解】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 2．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选： 3．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）焦点为且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设双曲线的标准方程为，得，解出即可求解. 【详解】由题意有，焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为， 且，由双曲线性质得，即①， 双曲线过点， 将其代入标准方程得：，化简为②， 联立①②，得， 解得，， 所以双曲线方程为 故选：D. 4．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 5．已知双曲线经过点，则其标准方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 【技巧归纳】 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 题型03 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·陕西安康·期末）记双曲线的左，右焦点分别为上一点满足，，则的周长为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】D 【分析】由双曲线定义可得，从而求出，得到，求出答案. 【详解】由双曲线定义可知，即，故， 故，故， 所以，的周长为. 故选：D 2．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B.    3．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，，则面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，以及焦点三角形的性质，即可列式求解. 【详解】由条件可知，，， ，则， 则, 所以面积为. 故选：C 4．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 5．（24-25高二上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，用半焦距c表示，再结合双曲线定义求出，进而求得答案. 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为. 故选：C    6．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据圆的性质可知，利用勾股定理结合双曲线的定义可得，得即可求解. 【详解】设，由在以为直径的圆上可得， 所以，四边形为矩形，则， 由双曲线，得， 所以，又由双曲线的定义有， 所以，得， 所以， 即，而， 所以，所以的周长为. 故选：C. 【技巧归纳】 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形面积的方法 （1）①根据双曲线的定义求出； ②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出的值； ④利用公式求得面积． （2）利用公式求得面积； （3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题． 题型04 双曲线中的轨迹方程问题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线定义得到点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线，得到答案. 【详解】由题意得点到点与点的距离之差的绝对值为3，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的双曲线， 故， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 4．（24-25高二上·河南平顶山·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 6．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 【技巧归纳】 1、定义法 （1）用定义法求双曲线方程,应依据条件辨清是双曲线的一支,还是全部曲线. （2）与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. （3）如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 （1）定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,不能确定时应分类讨论. （2）设方程.根据焦点位置,设方程为-=1或-=1(a>0,b>0),焦点不确定时,可设为mx2+ny2=1(mn<0). （3）寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. （4）得方程.解方程组,将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 题型05 双曲线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 2．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 3．（多选题）（25-26高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知P为双曲线右支上一点，那么点P到双曲线左焦点F的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】由题意，根据双曲线的方程可得，结合即可下结论. 【详解】由已知可得： 所以， 所以 故选：CD 4．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 5．（24-25高二下·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是______． 【答案】10 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 1．已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 2．（25-26高二上·山西太原·期末）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得， 解得. 故选：C 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点是平面内一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为椭圆 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可. 【详解】由，结合椭圆的定义，显然的轨迹不是椭圆而是线段，故A错误； 设，由，所以， 整理得，所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，故B错误； 由，则点的轨迹为以为端点（向右）的射线，故C错误； 由，根据双曲线的定义，则点的轨迹为双曲线的右支，故D正确. 故选：D 4．过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 5．经过点和的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案. 【详解】设双曲线的方程为， 则解得 故双曲线的标准方程为． 故选：B． 6．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 7．设，分别是双曲线的下、上焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【分析】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【详解】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 8．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 9．在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点作圆的切线并交于点(点不在轴上)，则点的轨迹方程为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线长定理以及双曲线的定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支（不含顶点），再求出可得双曲线方程. 【详解】设分别与圆相切于点，则，，， 所以，且， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去与轴交点)， 这里，，，则， 故点的轨迹方程为. 故选：A 10．下列双曲线的焦点必在y轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在y轴上的双曲线标准方程的特点逐一判断即可. 【详解】A：当时，该双曲线的焦点在y轴上， 当时，该双曲线的焦点在x轴上，所以本选项不符合题意； B：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； C：因为该选项方程表示双曲线，所以， 因为， 所以该选项方程表示双曲线的焦点必在x轴上，不符合题意； D：当该选项方程表示双曲线时，则有，或， 由， 由， 综上所述：该选项方程表示双曲线时，则有， 此时有，所以该选项表示的双曲线的焦点必在y轴上，符合题意. 11．（25-26高二上·广东·期末）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】法1，由双曲线焦点三角形的面积公式求解；法2，在焦点三角形中利用定义和余弦定理求解. 【详解】法1：由双曲线焦点三角形的面积公式可知，解得，即. 法2：由双曲线定义， 在焦点三角形中，由余弦定理得 , 即，所以， 又，所以， 整理得，解得. 故选：A. 12．如图，已知双曲线的实轴长为4，左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于点，，，则的面积为（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的长，再由定义可得，由得为等腰直角三角形，从而可求得的面积. 【详解】由双曲线的实轴长为4，得， 所以， 又，所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 由，得， 所以的面积为. 故选：A. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据双曲线的对称性及定义，求出、长度，由直角三角形求解可得解. 【详解】如图， 因为双曲线，所以， 由双曲线的对称性知， 所以， 由双曲线定义可得， 所以，又， 所以，即， 所以, 故， 故选：A 14．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 15．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为， 则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值， 即的最小值是. 故选：B. 16．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20讲双曲线及其标准方程 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01双曲线的定义、表示及辨析 题型02求双曲线的标准方程 题型03双曲线中的焦点三角形问题 题型04双曲线中的轨迹方程问题 题型05双曲线中的距离最值问题 04过关检测一练考点·强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.经历从具体情境中抽象出双曲线的模型，理解双曲线的定义，培养数学抽象 与直观想象的核心素养 1.双曲线的定义 2.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题，培养数学运算的核心素养 2.双曲线的标准方程 3.掌握双曲线的标准方程，了解双曲线标准方程的推导过程，提升数学运算的 核心素养 学习重点：理解掌握双曲线的定义 学习难点：掌握双曲线的标准方程及其推导过程 02 教材全解 1/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于非零常数 注意：(1)若去掉定义中的绝对值”，常数a满足约束条件： |P明-P5引=2a<因引(a>0),则恸点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F的-支， 1、双曲线的定义 PF-PF=2a<5引(a>0),则助点轨迹仅表示双曲线中壶焦点耳的-支， (2)若常数a满足约束条件：PR-PF-2a=F5引) 动点轨迹是以、2为端点的两条射线（包括端点） (3)若常数a满足约束条件：P-P5引=2a>F5引，刚恸点轨迹不存在； （4)若常数a=0,动点轨迹力线段F5的垂直平分线。 双曲线及其 标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 2、双曲线的标准方程 a8=1(a>0,6>0) a-8=1(a>0,b>0 6 3、双曲线中的焦点三角形 S=- (8为焦距对应的张角) 知1识1精1讲 知识点01双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点尸、B的距离之差的绝对值等于非零常数（小于F引） 的点的轨迹叫做 双曲线.两个定点F、B称为焦点：两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为FE引， 2、双曲线的集合表示：P={MMF-ME引=2a,0<2a<FE}」 注意：(1)若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约東条件： |PF-PF=2a<FF(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F的一支： PF-PE=2a<FFB引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F的一支： (2)若常数a满足约束条件.PF-PF引=2a=FEl, 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）： 2/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若常数a满足约束条件： PF-PF=2a>FF 则动点轨迹不存在： (4)若常数a=0,则动点轨迹为线段F,,的垂直平分线。 即时即练 x2 y2 1.(多选题)已知F,E是双曲线916 =1的两个焦点.若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于 16,则点M到另一个焦点的距离为() A.8 B.10 C.22 D.32 2.(多选题)己知平面直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0),点P为平面内一动点，且 PA-PB=2a(aeR),则下列说法准确的是() A,当a=0时，点P的轨迹为一直线 B.当a=1时，点P的轨迹为一射线 C.当a=-l时，点P的轨迹不存在 D.当a=2时，点p的轨迹是双曲线 x2 y2 3。（25-26高二上：内蒙古包头阶段检测)已知方程5+2m+2m一1表示焦点在x轴上的双曲线，则实 数m的取值范围是 【方法总结】 1、双曲线的定义 (1)若去掉定义中的“绝对值”，常数4满足约束条件： |PF-PF引=2a<EF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点FB的一支： 若PF引-PF=2a<FF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点耳的一支： (2)若常数a满足约束条件：PF-PF=2a=EE引， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）： (3)若常数a满足约束条件：PF-PF,=2a>FF引，则动点轨迹不存在； (4)若常数a=0,则动点轨迹为线段FF的垂直平分线， 2、判断方程是否表示双曲线 3/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +义1，则当mm<0时，方程表示双曲线若0，则方程表 m>0, 将双曲线方程化为标准方程的形式，假如方程为 m n m<0 示焦点在x轴上的双曲线；若 n>0. 则方程表示焦点在y轴上的双曲线， 知识点02双曲线的标准方程 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 y2 y2 x2 a京=1(a>0,b>0) a示=1（a>0,b>0) 图象 2 焦点坐标 E(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F(0,c) a,b,C的关系 c2=a2+b2 2、待定系数法求双曲线标准方程 定位置 根据条件确定双曲线的焦，点在哪条坐标 轴上，还是两种都有可能 设方程 根据焦点位置设方程为益域艺】 a2b2 (a>0,b>0),焦点不定时，亦可设为 mx2+ny2=1(mn<0) <寻关系根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组 得方程 解方程组，将a,b,c(m,n)代入所设方程 即得所求 即时即练 1.(2425高二上·全国课后作业)求满足下列条件的双曲线的标准方程： )c=5,b=3,焦点在x轴上； 2)a=25,经过点4(2，-5)，焦点在y轴上： 4/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⑧)双曲线过两点P3C欧6 35 【方法总结】 1、定义法 (1)用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是双曲线的一支，还是全部曲线 (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解。 (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 (1)定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论. 2 X y (2)设方程.根据焦点位置，设方程 a26-1或 b2=1(a>0,b>0,焦点不确定时，可设为 mx2+y2=1(mn<0) (3)寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程.解方程组，将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求 知识点03双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形△PB面积的方法 1)①根据双曲线的定义求出PF-P?=2a ②利用余弦定理表示出P、PE引、FF之间满足的关系式。 ③通过配方，利用整体的思想求出PP的值， ④利用公式 --PsiFPR 求得面积。 s=2×EFy。 (2) 利用公式2 求得面积： 即时即练 1.（2425商上上海阶安检剥)设F:F是双曲线C-号-1的两个焦点，0为整标原有，点P在 双曲线C上且PF1PE,则△PFF的面积为 5/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【方法总结】 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形△PF面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出PF-PF引=2a: ②利用余弦定理表示出PF、PF引、EF之间满足的关系式： ③通过配方，利用整体的思想求出PPF的值： ④利用公式S=)×Pl-PEsin∠FPF求得面积. (2)利用公式S=×刘5求得面积： S=b2 (3)若双曲线中焦点三角形的顶角 ∠EPE=' 则面积 日，结论适用于选择或填空题. tan 2 03 题型突破 题型01双曲线的定义、表示及辨析 1.(25-26高二上云南文山阶段检测)己知A(0,-5),B(0,5),动点P满足PA-PB=6,则点P的轨 迹是() A.双曲线的一支B.双曲线 C.椭圆 D.射线 2 x2 2.(25-26高二上安微阜阳期末)已知m为实数，若方程2-m十m- 1表示双曲线，则实数m的取值 范围是() A.m<1 B.m>2 C.1<m<2 D.m<1或m>2 325-26高三上湖南怀化期末)已知双曲线C： =1的左右焦点分别为F,E,P为双曲线上一 点且PF=6,则PE=() A.2 B.10 C.2或10 D.4或8 6/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二上·天津河西期末)已知M是双曲线412 之-=1上一点，点R,厅分别是双曲线的左、右焦 点，若MF=5,则MF=() A.9 B.1或9 C.7 D.3或7 5.化简方程V+5)+2-V(x-5)+ =8的结果是（) 2-1 A.4 B x2 y2 =1 x2 y2 C.2516 D.169 =1 x2 “m>1”是“方程2m-3+m 6. =1表示焦点在y轴上的双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【技巧归纳】 1、双曲线的定义 (1)若去掉定义中的“绝对值”，常数Q满足约束条件： PF-PF引=2a<FF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点B的一支： 若PF引-PF=2a<FF引(a>0),则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点E的一支： (2)若常数a满足约束条件：PF-PF=2a=FE引， 则动点轨迹是以F、F2为端点的两条射线（包括端点）： (3)若常数a满足约束条件：PF-PF=2a>FF引，则动点轨迹不存在； (4)若常数a=0,则动点轨迹为线段FF的垂直平分线. 2、判断方程是否表示双曲线 m>0, 将双曲线方程化为标准方程的形式，假如方程为 ,少1，测当m0时方程表示双曲线若<0， 则方程表 'm n >0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线， m<0, 示焦点在x轴上的双曲线若 7/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02求双曲线的标准方程 1.己知点M(-25,0),N(2W5,0),动点p满足条件PM-PN=4.则动点p的轨迹方程为() A46 xy 1(x22) =1(x≤-2) e.需苦=4) D.君苦=6s4 2.相距1400m的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s,已知声速是340m/s,炮弹爆炸点一定 在曲线()的方程上 x2 x2 y2 A.260102900-1(x≤-510) B.26010029900-1(x2510) x2 C.y=0(x≤-700或x2700) D. =1 260100229900 3.(25-26高二上江苏南通阶段检测)焦点为(0，-2)，(0,2)且经过点(N2,-2的双曲线方程为（) 4.过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2-45有相同焦点的双曲线的标准方程为() c号 5.已知双曲线经过点A22,V5),B-25,V6),则其标准方程为() A.4 C y2 x =1 34 4 =1或43=1 【技巧归纳】 1、定义法 (1)用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是双曲线的一支，还是全部曲线 (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解 (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 (1)定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论. 8/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2y2 y2 x2 (2)设方程根据焦点位置，设方程为疗或产行1(a0b>0),焦点不确定时，可设为 mx2+y2=1(mn<0): (3)寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程.解方程组，将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求 题型3双曲线中的焦点三角形问题 1.（25-26高二上陕西安康期未)记双曲线E:-上 a216 =1(a>0)的左，右焦点分别为F,E,E上一点p满 足PF=12,PF引=6，则△PFE的周长为() A.22 B.24 C.26 D.28 已知双曲线C:X一x1的上、下焦点分别为E,B,过E的直线，与双曲线。的上支交于A,B成 若AB=2,则△ABF的周长为() A.14 B.12 C.10 D.8 3.(2425高二上江苏南京·期中)己知双曲线6436 1的左、右焦点分别为F?E:点P在双曲线上， ∠FPF,=90°，则△PF面积为() A.9 B.18 C.36 D.72 x2 y2 4.（24-25高二上：河南：阶段检测)已知F:F,分别是双曲线c:立云=1(a>0,6>0)的左、右焦点， p为C上一点，∠RPA-子，且FP5,的面积等于6N5,则b-（) A.6 B.6 c.5 D.3 ；、425高上河市份银相)E如0幽标原点，双线C号名-0>0的东、右点分列为 3 F,F,以线段FE,为直径的圆与C在第一象限内的交点为p若cos∠PF,5=5,则点O到直线PF的距 离为() A. B.1 C.2 D.2 9/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6已知双曲线C:菁1的左右焦点分别为5,5·以F5为直径的圆与双曲线在第、三象限的交点 分别为M,N,则△MFN的周长为() A.8+2V5 B.8 C.4+25 D.8+2√5 【技巧归纳】 双曲线的焦点三角形 求双曲线中的焦点三角形△PF面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出PF-PF=2a； ②利用余弦定理表示出PF、PF引、引之间满足的关系式： ③通过配方，利用整体的思想求出PPF引的值： ①利用公式S=×P9 in∠FPR求得面积 (2②)利用公式S=×刘F,求得面积： (3)若双曲线中焦点三角形的顶角 ∠EPE,=0' 则面积 ),结论适用于选择或填空题。 tan 2 题型04双曲线中的轨迹方程问题 1.(2425高=上浙江宁波期中)若动点P(k)满足方程N+2+严-x-2+-3,则动点P 的轨迹方程为() x2 y2 A.9-71 x2 y2 B.9 71 -=1 D.x2 y2 =1 44 44 84 1612 2.(25-26高二上·北京延庆期末)已知F(-2,0)、F(2,0),动点P满足PF-PF引=2，则动点P的轨 迹方程为() A.x2 --1 B.x2-2=1x≤) 3 3 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 er-苦-r D.-若=02) 3.(25-26高二上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知圆A:(c+3}'+y=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线 段PB的垂直平分线和直线A的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() A-管-≥B-号1 c.2-上=1x21D.x-上=1 8 6 6 4.(24-25高二上河南平顶山阶段检测)在平面直角坐标系中，己知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),其 内切圆圆心在直线x=1上，则顶点C的轨迹方程为() -=1(x>1) B.x2 -=1(x>1) 3 -=1(0<x<1) -=1(0<x<1) 5.(25-26高二上陕西西安阶段检测)设点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，直线AM,BM相交于 4 点M,且它们的斜率之积是g,则动点M的轨迹方程为 6.(24-25高二上广西玉林期中)一动圆与圆C:x2+y2+10y+24=0和C2:x2+y2-10y-24=0都外切， 则动圆的圆心的轨迹方程为 【技巧归纳】 1、定义法 (1)用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是双曲线的一支，还是全部曲线， (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解， 2、利用待定系数法求双曲线的标准方程的步骤 (1)定位置.根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论. (2)设方程根据焦点位置设方程为矿言-1或好。1(@0b0,焦点不确定时，可设为 mx2+y2=1(mn<0) (3)寻关系.根据已知条件列出关于a,b(或m,n)的方程组. (4)得方程.解方程组，将a,b(或m,n)的值代入所设方程即为所求. 11/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05双曲线中的距离最值问题 L(2526高三上河北石家庄阶段检测已知是双曲线C:奷-1的左焦点，点p是双曲线。的右 支上的动点，点A(-l,3),则PF到+PA的最小值为() A.8 B.9 C.10 D.11 x2 y 2.已知点p是双曲线36641的右支上一点，M'N分别是圆(x+10+少=4和(x-10+y=1上的 点，则PM-PN的最大值为() A.12 B.15 C.16 D.18 3(多选题)(25-26高三上内蒙古锡林郭勒期末)已知P为双曲线-41右支上一点，那么点P到 双曲线左焦点F的距离可能是() A.4 B.5 C.6 D.7 4(25-26高二下陕西宝鸡阶段检测)已知双曲线C: :45=1的左焦点为F,M为双曲线C右支上任 意一点，点D的坐标为(3,1)，则MD-M的最大值为 x2 y2 5.(2425高二下福建宁德·开学考试)已知双曲线)7=1的左焦点为F,M为双曲线右支上任意一点， N为圆C:x2+(y-3)=1上任意一点，则MF+MN的最小值是 04 过关检测 1.己已知A(-2,0),B(2,0).若动点P满足PA-PB=2,则P的轨迹的方程为() 3 B.x 3=l(xs-) 0. 。r-背=e x2 y2 2.（25:26高二上山西太原期未)已知方程2m3一m=1表示焦点在，轴上的双曲线，则实数m的取值 12/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 范围为() A.(0,+oo) B.(1,+oo) c.(0,5) D.5) 3.(24-25高二上湖北武汉期末)在平面直角坐标系x0y中，已知点A(-2,0),B(2,0),点P是平面内 一个动点，则下列说法正确的是() A.若PA+PB=4,则点P的轨迹为椭圆 B.若PA-2PB=0,则点P的轨迹为椭圆 C.若PA-PB=4,则点P的轨迹为直线 D.若PA-PB=2,则点P的轨迹为双曲线的一支 4.过点(2,2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为() 1 24 5.经过点P(-3,27)和(62，-7）的双曲线的标准方程是() B.x =1 2575 x=1 c.2575 6,(25-26高二上广西柳州期中)设点A(-25,0以B(25,0）,M为动点，已知直线AM与直线BM的 1 斜率之积为定值3，点M的轨迹方程是() A号-00 B日苦0go0) c.号r=i02o叭 之号=1心0) D.186 y2 x2 7.设R,F分别是双曲线4121的下、上焦点，p是该双曲线上的一点，且3PF=5P5,则 △PFE的面积等于() A.12 B.24 C.125 D.245 8.(2425高二上福建莆田期中)己知圆C:(x+3)+y2=1和圆C2:(x-3+y=9,动圆M同时与圆 C及圆C,相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是() 13/15 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x2 A.gty-1 B.+g-1 8 。.5-y=62 D.-=1xs-) 8 9.在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点4(4,0)，分别过点M(-5,0),N(5,0)作圆C的切线并交于 点P(点P不在x轴上)，则点P的轨迹方程为() 4后号=e0 B.6号=es c后号-城6 2y=1 D.169 10.下列双曲线的焦点必在y轴上的是（) A上￡-1 B.+上-1 m 2m m+2 m =1 D. =1 m m+2 x2 y2 Ⅱ.(25-26高二上广东期末)已知F?F,是双曲线c:京存-1(a>0,b>0)的两个焦点，p为c上 8V3 点，且∠FPR-,若APF5的面积是8，则6=(） A.2W2 B.2W5 C.3 D.4 x2 y2 12.如图，已知双曲线。方=1(a>0,6>0)的实轴长为4，左、右焦点分别为F,乃，过B的直线，交 双曲线的右支于点M,N,ME=4,∠FM=牙，则△FMN的面积为() A.16 B.16v2 C.32 D.322 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13,已知双曲线C: 48 =1的左、右焦点分别为F、F,过坐标原点的直线与双曲线C交于AB两点， 若F4=2EB,则AB=() A.47 B.27 C.45 D.4 y2 x2 14.(25-26高二上~黑龙江哈尔滨阶段检测)已知F是双曲线4~5=1的上焦点，点p是双曲线下支上 的动点，点A(3,),则PF+P4的最小值为() A.11 B.9 C.13 D.5 15.已知点F是双曲线C兰f=1的上焦点，M是C下支上的一点，点N是圆G:+y2-4+3=0上 一点，则MF+MN的最小值是() A.7 B.6 C.5 D.4V2-1 x2,y2 16.(2024高二上全国专题练习)设4,4，是椭圆)+4=1与x轴的两个交点，B,B是椭圆上垂直于 AA的弦的端点，则直线AB与A交点的轨迹方程为() 。号+号=*) Q号号- n.号手划 15115