23.4 实际问题与一次函数 暑期专项练习 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过分层题型构建"问题情境-模型建立-图像分析-方案优化"的完整解题体系，强化数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分段计费|3题|分类讨论+分段函数表达式构建|从常量到变量的思维转化，体现数学抽象| |行程问题|2题|图像信息提取+速度关系建模|几何直观与代数表达的结合，培养数学眼光| |经济决策|4题|利润公式+最优方案选择|实际问题数学化，发展应用意识| |综合应用|2题|多变量函数关系+参数求解|知识整合与迁移，提升数学思维|

23.4 实际问题与一次函数 暑期专项练习2025-2026学年 人教版八年级数学下册 一、单选题 1．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 4．一条小船沿直线从码头向码头匀速前进，到达码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回码头．在整个过程中，这条小船与码头的距离（单位：m）与所用时间（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从码头到码头的速度和从码头返回码头的速度分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 6．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 7．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 8．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 9．“漏壶”是中国古代一种全天候计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（     ） A． B． C． D． 10．已知直线，下列说法中 ①无论k为何值，直线总经过点 ②已知点，．若直线l与线段有交点，则 ③若直线l与x轴交于点，则当时， ④点是直线l上一点，是直线上一点，若无论m取何值，总有，则 正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．A，B两地相距，小明从A地出发骑自行车以的速度前往B地，用x（单位：h）表示骑行时间，y（单位：）表示小明与B地的距离，写出y关于x的函数解析式______． 12．学校准备购买乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．商店促销规则：若选购的乒乓球总数不少于盒，超出部分的乒乓球按原价打八折．某班计划购买球拍副，乒乓球盒（为整数，且），设付款总金额为元，写与之间的函数解析式____________． 13．在音乐与数学的探究活动中，同学们了解到：在一种简化的“等比律”近似模型中，乐器的弦长L（单位：）与发出的音高x（单位为“品”，即指板上的位置序号）近似满足一次函数关系．当（纯五度位置）时，对应的弦长为_____________． 14．将相同规格的纸杯整齐叠放在一起，设纸杯数量为（个），叠放后的总高度为，已知一个纸杯的高度为，每多叠放一个纸杯，总高度增加．总高度与纸杯数量之间的函数解析式为_______． 15．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是__________________（填序号）． ①小数比小文先出发15秒；②；③小文提速后的速度为；④从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． 三、解答题 16．如图，直线分别交x轴、轴于点，，直线交轴于点，两直线交于点． (1)求直线与坐标轴围成的的面积． (2)求点的坐标和的面积． 17．今年植树节，同学们种的树苗高约．据介绍，这种树苗在10年内每年长高约．求树高（）与年数之间的函数关系式，并算一算4年后这些树约有多高． 18．某公司要印制产品宣传材料．甲印刷厂的收费方案是：收1500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费． (1)分别写出两家印刷厂的收费y（单位：元）关于印制宣传材料数量x（单位：份）的函数解析式； (2)选择哪家印刷厂比较合算？ 19．某通讯公司推出，，三种纯流量特惠套餐，，，三种套餐的收费方式如下表： 套餐名称 每月基本费/元 每月免费使用流量 超出套餐流量费/（元） 超出免费流量上限，限制使用 设每月使用的流量为（单位：），，，三种套餐每月所需的流量总费用（单位：元）分别记为，，．其中，与之间的函数图象如图所示． (1)求与之间的函数解析式，并利用列表、描点、连线的方法，在图中画出的图象； (2)根据的图像填空：__________，__________，__________； (3)若一位成年人需要每月的流量在以上，请你估计你的一位熟悉的家长、亲人或成年朋友的每月流量使用约为__________，并通过计算为其选择一种合适的套餐． 20．综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C C A C B A 1．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【详解】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【详解】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 4．D 【分析】依据函数的图象获取信息，根据行程问题中的“路程=速度×时间”进行计算． 【详解】解：小船沿直线从码头向码头匀速前进，路程，时间，速度；抵达后停留；小船从码头返回码头，路程，时间，速度． 5．C 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 6．C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 7．A 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 8．C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 9．B 【分析】先利用待定系数法确定水面高度与漏水时间的函数关系，再把代入高度与漏水时间的函数关系，即可计算出水面高度从变化到所用的时间． 【详解】解：设壶中水面高度与漏水时间的函数解析式为， 把点，分别代入， 得， 解得， 高度与漏水时间的函数解析式为， 把代入， 得， 解得， 故水面高度从变化到所用的时间是． 10．A 【详解】解：整理直线的方程得 ，可知直线过定点，， ①将代入直线方程，得，解得，与矛盾，故①错误； ②线段满足，，令，解得， 若直线与线段有交点，则，解不等式得或，与题干给出范围不符，故②错误； ③将代入直线方程，得，解得，直线方程为，当时，，得，故③正确； ④由题意得，，对任意恒成立，整理得， 若，该式不可能对任意恒成立；若即，不等式为，恒成立，因此只有满足条件，故④错误； 综上，正确的说法只有1个. 11． 【分析】根据题意，小明与B地的距离等于A，B两地总距离减去小明骑行的路程，先得到y与x的等量关系，再确定自变量x的取值范围，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意可得， ∵x是骑行时间，不能为负数，∴， 当小明到达地时，代入得，解得， 因此最大为， 即． ∴y关于x的函数解析式为． 12．（为整数，且） 【分析】先求出超出部分的乒乓球的付款金额为元，再根据付款总金额球拍总金额 盒乒乓球金额超出部分的乒乓球的付款金额列式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴超出部分的乒乓球的数量为盒， ∵超出部分的乒乓球按原价打八折， ∴超出部分的乒乓球的付款金额为元， ∴付款总金额为， ∴与之间的函数解析式为（为整数，且）． 13． 【分析】将给定的值代入一次函数解析式，计算即可得到对应弦长． 【详解】解：将代入解析式，得， ∴当（纯五度位置）时，对应的弦长为． 14．（为正整数） 【分析】根据题意找到总高度与纸杯数量的等量关系，列出关系式化简即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，个纸杯叠放时，除第一个纸杯外，共有个额外增加高度的纸杯，每个额外纸杯增加高度， 因此总高度满足：（为正整数）． 15．①③④ 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 【详解】解：由图象可知：小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故③正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故②错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 综上：正确． 16．(1) (2) ，面积为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，一次函数与几何综合. （1）由函数解析式，求出与坐标轴的交点即可知道的底与高，即可求得面积； （2）点既在直线上，也在直线上，则可求得点坐标，求出与轴 的交点即可知道三角形的底边长以及底边上的高，进而求出面积. 【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于点，， 当时， 解得； 当时， ， ， ， ． （2）解：点在直线上， 把点代入， 得， ∴． 直线交轴于点， 当时， ， 解得， ， . 17． 函数关系式为，4年后树高约为 【分析】根据“树高初始树高每年生长高度年数”列出函数关系式，再代入年数计算对应树高即可 【详解】解：设树高为，种植年数为， 已知初始树苗高为，每年长高约， 且树苗生长范围为10年内，因此， 根据树高的组成，可得函数关系式， 将代入函数关系式，得， 答：函数关系式为，4年后这些树约高． 18．(1)， (2)当时，选乙；当时，甲，乙均可；当时，选甲 【分析】（1）根据两家印刷厂的收费方案分别列式即可； （2）根据题意分别列不等式和方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，甲印刷厂的收费；乙印刷厂的收费； （2）解：当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，选乙；当时，甲，乙均可；当时，选甲． 19．(1)， 列表如下： 的图象如下： (2)，， (3)如:，选择套餐（答案不唯一） 【分析】（1）根据表中的数据可求出与之间的函数解析式，再列表、描点、连线画出函数图象； （2）由图可知，当时，，即可求出、的值，当时，，利用待定系数法求出，即可求解； （3）如:，根据函数解析式以及图象分别求出，，，再比较即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， ， （2）由图可知，当时，， ，， 当时，， 将点代入得，， 解得； （3）如:， ，，， ， 选择套餐（答案不唯一）． 20．(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $