23.4 实际问题与一次函数 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，分层设计从概念理解到综合建模，梯度清晰，强化用数学思维解决实际问题的能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|一次函数概念、简单图像与性质|单选1-2、填空7-8，结合弹簧、水温等生活情境，考查函数关系判断与基本计算，培养抽象能力| |中档|图像分析与多步应用|单选3-6、填空9-10，涉及矩形面积、机器人行程等复杂图像，需结合几何直观与推理，发展运算能力| |提高|综合建模与方案优化|解答11-16，通过机器人购买、货车行驶等实际问题，构建函数模型解决最值问题，体现模型意识与应用意识|

23.4《实际问题与一次函数》小节复习题 一、单选题 1．在物理实验课上，小华利用弹簧测力计及相关器材进行实验，他把得到的弹簧长度和所悬挂物体的质量的数据用电脑绘制成如图所示的图象，下列结论正确的为（  ） A．弹簧的长度与悬挂物体质量成正比例函数关系 B．没有悬挂物体时，弹簧长度为 C．当悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了 D．当悬挂的物体质量为时，弹簧长度为 2．某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 3．如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 4．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 5．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，蓄水池中的水量和放水时间的关系如表所示，下面说法不正确的是（    ） 放水时间x（） 1 2 3 4 … 水池中水量y（） 45 40 35 30 … A．放水时间是自变量，水池中水量是自变量的函数 B．每分钟放水 C．放水后，水池中还有水 D．y与x的关系式为 6．哈尔滨路公交车匀速通过萧红中学旁的北京街地道桥．设公交车在桥洞内的车身长度为（米），车长小于桥洞长．公交车行驶时间为（秒），与的函数图象完整记录了公交车通行桥洞的全过程．下列说法正确的是（    ） ①该路公交车车身长为米； ②公交车行驶速度为； ③公交车整体全部在桥洞内的行驶时间为秒； ④北京街地道桥桥洞净长为米． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 8．某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为______元． 9．A，B两地相距，甲，乙两人沿同一条路从A地到B地．（甲骑摩托车，乙骑自行车）．甲，乙两人离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，下列说法： ①乙比甲提前出发； ②甲的速度为； ③的值为50； ④或时，乙比甲多行． 其中正确的是：________（填序号） 10．如图，直线的解析式是，点C在直线上，其坐标是．连接，D为一次函数图象上的一点，过点D分别作轴，轴，垂足分别为E，F；若，则点D的坐标是______________． 三、解答题 11．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 12．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)甲货车到达配货站之前的速度是 ，乙货车的速度是 ； (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式； (3)直接写出乙货车在到达配货站前，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 13.张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 14．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 15．“一窟一世界，一壁一史书”，洛阳龙门石窟，文化底蕴深厚．某校同学分三个小组进行“石窟中的文化”的项目式学习研究，第一小组负责调查龙门石窟的历史及结构特点，第二小组负责研究石窟中蕴含的数学知识，第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 龙门石窟位于河南省洛阳市，始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛，十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长、造像最多、规模最大的石窟，与敦煌莫高窟、大同云冈石窟并称为中国三大石窟． 【数学情境】 龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品．下面是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）： 序号 规格 单位 数量 单价 金额 1 A款 件 28 ■ 共4190 2 B款 件 30 ■ 店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元．” 【建立模型】 请你解决下列问题． (1)求A，B两款文创产品的进货单价各是多少元． (2)已知A款文创产品每件的售价为110元，B款文创产品每件的售价为85元．根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售．问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 16．如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线AC交轴负半轴于点，且． (1)线段的长度为______，线段的长度为______． (2)为线段（不含，两点）上一动点． ①如图2，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值． ②为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、单选题 1．C 解：∵图象是一条直线，但不过原点， ∴弹簧的长度与悬挂物体质量成一次函数关系，但不成正比例函数关系， ∴A不正确，不符合题意； 当时，，即没有悬挂物体时，弹簧的长度为， ∴B不正确，不符合题意； 当时，，， ∴悬挂物体的质量为时，弹簧伸长了， ∴C正确，符合题意； 悬挂的物体弹簧的伸长量为， 当时，， ∴当悬挂的物体质量为时，弹簧的长度为， ∴D不正确，不符合题意． 2．D 解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 3．B 解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 4．C 解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 5．C 解：由表格可知，放水时间变化时，水池水量随之变化， ∵放水时间是主动变化的量，水池水量随放水时间变化， ∴放水时间是自变量，水池中水量是自变量的函数，A正确，不符合题意； ∵初始水量为，放水后水量为， ∴每分钟放水量为，B正确，不符合题意； 由每分钟放水，可得水量与放水时间的关系式为，D正确，不符合题意； 当时，，即放水后水池中还有水，不是， ∴C错误，符合题意． 6．C 解：由图像得，公交车在桥洞内的车身长度最大为米，所以该路公交车车身长为米，①正确； 从秒，公交车完全进入桥洞，行驶了一个车身米的距离， ，②正确； 由图像得，秒，车身长度均为米，表示秒公交车整体全部在桥洞内， 秒，③正确； 桥洞净长完全在桥洞内行驶的路程车身长度， 完全在桥洞内行驶的路程：米， 桥洞净长：米米，④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 二、填空题 7．4 解：由图可知，直线与的交点坐标为， 即当销售量为吨时，销售收入等于销售成本； 当销售量吨时，在上方，即销售收入大于销售成本，产品开始盈利． 故答案为：． 8．3600 解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 9．①②④ 解：由图可知，乙比甲提前出发，①正确； 由图可知，甲的速度为，②正确； 设乙离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将代入关系式得， 解得， ， 当时，，③错误； 设甲离开A地的距离（单位：）与时间（单位：）的函数关系式为， 将、代入关系式得， 解得， ， 乙的速度为， 当时，则乙比甲多行时，； 当时，则时，解得； 在或时，乙比甲多行； 综上所述，正确的序号是①②④． 10． 解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ， ， ，即， 设点的坐标为， ， ， ， 解得，， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， 点为线段的中点， 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． 三、解答题 11．（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 12．（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为， ∴甲货车到达配货站之前的速度是，乙货车到达配货站路程为， ∵到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地， ∴总路程为， ∴乙货车的速度为． （2）解：∵甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，比甲货车晚半小时到达B地． ∴和， 设的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为． （3）解：设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，由题意可得，甲货车与配货站的距离为，乙货车与配货站的距离为， ∴， 解得：， 答：乙货车在到达配货站前，出发甲、乙两货车与配货站的距离相等． 13．（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 14．（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 15．（1）解：设A款文创产品的进货单价是x元，B款文创产品的进货单价是y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A款文创产品的进货单价是80元，A款文创产品的进货单价是65元． （2）解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，总利润为元， 根据题意，得， 解得． 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，W的最大值为， 此时， 答：购进A款文创产品件，B款文创产品40件时，获得的利润最大，最大利润是2600元． 16．（1）解：∵ ∴， 把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴，则 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：①设， ∴在线段上， ∴， 设直线的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在∆AOB与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当点在轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以为直角边的等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $