暑假作业11 一次函数应用（10题型50题)（巩固培优）八年级数学新教材人教版

**基本信息** 以“建模流程-题型突破-思想提炼”为主线，系统构建一次函数应用从基础到压轴的全链条训练体系，融合数学建模与分类讨论思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础建模|10题|六步建模法（审题-定变量-找关系-列函数-定范围-求解）|从正比例/一次函数概念延伸至行程/工程/利润三大基础模型| |分段函数|12题|区间划分-逐段列式-范围标注-分段求解四步法|通过计费/行程/销售场景掌握多规则变量关系转化| |方案选择|8题|函数建模-交点分析-区间比较-最优决策|结合不等式与函数图像解决费用最少/利润最大问题| |图像解读|10题|坐标轴含义-关键点提取-线段趋势分析|实现“图像信息→数学模型→实际意义”的转化| |综合压轴|10题|多变量消元-边界分析-数形结合|整合复杂场景下的函数应用与几何综合问题|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 一次函数应用10题型50题 【知识点1 一次函数建模通用步骤（简单函数关系式建立）】 所有基础实际应用题，遵循统一建模流程，是列式解题的根本： 1. 审题：梳理题干信息，区分已知量、未知量，明确问题背景； 2. 定变量：确定自变量 、因变量 ，分析两个变量的对应关系； 3. 找等量关系：结合对应公式、生活数量关系，搭建等式； 4. 列函数式：根据等量关系，列出 关于 的一次函数/正比例函数解析式； 5. 定取值范围：结合实际意义，确定自变量 的取值范围（如时间、数量为非负数、正整数等）； 6. 求解作答：代入数值计算，最终答案回归实际问题作答。 补充说明：无初始基础量、匀速/匀速工作场景，一般为正比例函数 ；存在初始量、固定成本、原有路程/工作量的场景，一般为一次函数 。 【知识点2 三大基础应用题型】 一、行程问题 1.核心公式：路程=速度×时间，即 s=vt 2.常见题型： 单一物体匀速行驶：路程随时间变化，解析式为 y=kx（k 代表速度）； 含初始路程的行驶（如从距离起点一段距离处出发）：解析式为 y=kx+b（b 为初始路程，k 为行驶速度）。 3.考点：根据解析式求路程、时间，判断行驶快慢。 二、工程问题 1.核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 2.常见题型： 单人/单组匀速做工：工作量随时间变化，解析式为 y=kx（k 代表工作效率）； 已有部分工作量，后续继续施工：解析式为 y=kx+b（b 为原有工作量）。 3.考点：计算总工作量、工作时长、工作效率。 三、利润问题（基础销售利润） 1.核心公式： 总利润 = 单件利润 × 销售数量； 总销售额 = 单件售价 × 销售数量； 含固定成本时：总利润 = 总收入 − 固定成本。 2.常见题型： 无固定成本：总利润随销量变化，解析式为 y=kx； 有固定租金、人工费等成本：解析式为 y=kx+b（b 常为负数，代表固定支出）。 3.考点：根据销量求利润、根据目标利润求销售数量。 【知识点3 基础题型考查形式】 1. 根据文字描述，直接写出函数关系式并标注自变量取值范围； 2. 已知自变量，代入解析式求函数值； 3. 结合函数式，解释系数 k、b 的实际意义； 4. 简单实际问题求解与简答。 【知识点4 基础题型高频易错点（必规避）】 1. 自变量范围遗漏：忽略实际限制，如时间、数量不能为负数，人数、件数需为正整数； 2. 系数意义混淆：分不清 k（变化速率）与 b（初始量/固定量）的实际含义； 3. 等量关系出错：行程、利润、工程公式套用错误，函数关系式列写偏差； 4. 单位不统一：题干单位混用（如小时与分钟、元与角），导致计算结果错误； 5. 作答不规范：只算出数值，不结合实际问题总结答案，缺少文字说明。 【知识点5 分段函数实际应用（培优核心高频题型】 1.题型整体特征 实际场景中规则发生变化，无法用单一一次函数表示全程，需按不同规则划分区间，每个区间对应独立的一次函数，图像由多条线段拼接而成。 2.三大常考分段场景 · 计费类分段函数：打车费、水电费、燃气费、通讯话费、会员收费等阶梯计费，不同区间单价/收费标准不同； · 行程类分段函数：变速行驶、中途停车停留、往返行驶、分段提速/减速等非匀速行程问题； · 销售类分段函数：阶梯定价、满减优惠、分段打折、销量不同单价不同的销售问题。 3.标准解题步骤 ① 划分分段区间：根据规则变化节点，确定自变量的不同取值范围； ② 逐段列式：在每个区间内，分别建立对应的一次函数解析式； ③ 标注范围：每一个解析式必须搭配对应自变量区间； ④ 分段求解：根据题干条件，锁定对应区间，代入计算、分析问题。 【知识点6 方案最优选择问题（应用题压轴必考）】 1.题型特征：题干给出两种及以上可行方案（收费方案、采购方案、运输方案、销售方案等），要求选择费用最少、利润最大、用料最省的最优方案。 2.核心解题思路 ① 分别为每一种方案建立一次函数解析式； ② 联立不同函数解析式，求交点横坐标（方案优劣的分界点）； ③ 以分界点为参照，分区间比较函数值大小； ④ 结合自变量实际取值范围，确定不同条件下的最优方案。 3.延伸考点：限定取值时，直接计算各方案结果对比择优。 【知识点7 多变量函数建模（难点拔高题型）】 1.题型特征：题干包含三个及以上关联变量，变量之间存在多层数量关系，无法直接列式，需要分步转化。 2.解题逻辑 ① 梳理变量间从属关系，先根据基础公式求出中间变量； ② 将中间变量代入，逐步消元，最终整合为两个变量的一次函数； ③ 结合取值范围、题干限制完成计算与分析。 3.能力要求：侧重逻辑梳理与公式综合运用，是区分中档与高分的关键题型。 【知识点8 图像信息解读压轴大题（期末综合压轴）】 1.题型特征：以折线型函数图像为载体，融合分段变化、多过程场景，结合文字+图像双重条件设问，包含计算、推理、方案分析、最值求解等多小问。 2.核心解读要点 ① 识别坐标轴含义：明确横轴、纵轴分别代表的实际量； ② 提取关键点：线段端点、拐点、交点的坐标，对应实际场景的变化节点； ③ 分析线段趋势：上升、下降、水平线段分别对应变化、反向变化、静止状态； ④ 结合图像列式：根据分段线段，写出各段函数解析式，再解答后续问题。 3.常考设问：求速度/效率、求解析式、求相遇时间、计算总费用、判断方案优劣、求解最值。 【知识点9 核心能力训练】 完整解题思维链：提取实际信息 → 梳理数量关系 → 划分区间/建立模型 → 列式计算 → 结合实际分析结果，实现“实际问题→数学模型→回归实际”的闭环。 【知识点10 培优核心解题思想与方法】 数学建模思想（核心）：把生活场景抽象为一次函数、分段函数模型，用代数方法解决实际问题； 分段讨论思想：分段函数严格按区间拆分，逐段分析、逐段列式，不混淆区间规则； 数形结合思想：图像类应用题，以“图”助“数”，从图像中挖掘隐藏条件，简化计算； 比较分析思想：方案选择类题型，通过函数值大小对比，判定最优方案； 边界分析思想：重点关注分段节点、函数交点、区间端点，这些位置往往是答案分界点与最值点。 【题型1 分配方案问题】 1．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元 (2)购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，根据已知条件列出分式方程和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元，根据题意列出分式方程，解方程即可，注意检验是否为分式方程的解； （2）设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用，根据题意列出不等式，求出购买的总费用，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根， 则， 答：甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元； （2）解：设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用， 根据题意可得：， 解得：， 则购买的总费用是， ， 随着y的增大而减小， 当时，最少费用是（元）， 此时（套）， 答：购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少． 2．某校八年级班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠． (1)若用表示乘车人数，请用含的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用与； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 【答案】(1) ， (2) 当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 【分析】（1）根据甲、乙旅行社的优惠条件列出函数关系式； （2）分三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：甲旅行社支付的费用是， 乙旅行社支付的费用是； （2）解：当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 当时， 可得：， 解得：； 综上所述，当乘车人数满足时，选择甲旅行社支付的费用较少；当时，两家旅行社支付费用相同；当时，选择乙旅行社支付的费用较少. 3．在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】(1)甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 (2)购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． （2）解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 【题型2 最大利润问题】 4．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店计划从工厂购进长、短两款传统服饰共200件进行销售，进货价和销售价如下表： 价格／类别 短款 长款 进货价（元／件） 80 90 销售价（元／件） 100 120 设购进长款服装件，销售总利润元． (1)写出与之间的函数关系． (2)若此次进货总价不高于16800元．服装店应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当购进长款服装80件，购进短款服装件时，能获得最大销售利润，最大销售利润是元． 【分析】（1）结合表格写出与之间的函数关系即可； （2）根据进货总价不高于16800元列出一元一次不等式得出，再根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵购进长款服装件， ∴购进短款服装件， 由表格可知 ； （2）解：∵此次进货总价不高于16800元， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当购进长款服装80件，购进短款服装件时，能获得最大销售利润，最大销售利润是（元）． 5．学校安排560名师生外出研学两天，旅游公司有A，B两种型号的大巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 335 5 2 325 (1)求A，B两种型号的大巴车满载时可乘载人数分别为多少： (2)公司现有A型和B型大巴车共12辆可以调配使用，已知每辆A型大巴车每天的租金600元，每辆B型大巴车每天的租金800元．当总租车费用最少时，求租了多少辆A型大巴车？ 【答案】(1)A型大巴车满载时可乘载45人，B型大巴车满载时可乘载50人 (2)总租车费用最少时，租了8辆型大巴车． 【分析】（1）设A种型号的大巴车满载时可乘载x人，B种型号的大巴车满载时可乘载y人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设当租了m辆A型大巴车时，总租车费用为w元，根据题意列出不等式，求得m的取值范围，再列出函数解析式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设A种型号的大巴车满载时可乘载x人，B种型号的大巴车满载时可乘载y人， 根据题意列方程组： 解得： 答：A型车满载时可乘载45人，B型车满载时可乘载50人． （2）解：设租辆型车，则租辆型车． 由题意，得 解得： ∵为非负整数， ∴ 设总费用为元，由题意，得 ， 随增大而减小 当时，最小 答：总租车费用最少时，租了8辆型大巴车． 6．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．设购买两种机器人的总花费为，购买A型机器人的数量为台，求与的函数关系，并写出的取值范围 (3)在（2）的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)500元，300元 (2) (3)购买A型机器人10台，B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】（1）先设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为，再根据购买两种机器人的数量相等列出分式方程，求出解并检验； （2）设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费w元，再列出不等式，并求出解集，然后根据购买两种机器人的费用和等于W得出一次函数； （3）根据一次函数的性质讨论得出最小值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，B型机器人模型单价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 所以A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，根据题意，得 ，且， 解得， ∴ ，其中； （3）解： ， ∵，且， ∴W随着m的增大而增大， ∴当时，W取最小值，此时， 所以购买A型机器人模型10台，购买B型机器人模型30台时花费最少，最少花费11200元． 【题型3 行程问题】 7．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 【答案】40 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间的函数解析式，再将分别代入两个解析式求出对应的距离，最后计算两人的距离差即可． 【详解】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 解得， 则， 设乙的解析式为，代入， 得， 解得， 则， 当时，，， 则， 则时，甲、乙两人相距． 8．甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发________，乙提速前的速度是每秒________，________，________； (2)求出何时乙恰好追上甲？ 【答案】(1)，，， (2)当秒时，乙追上了甲 【分析】（1）由图可知，乙比甲晚出发，由乙提速前的路程除以其时间即可得到乙提速前的速度，进而求出乙提速后的速度，得到乙提速后的所用的时间，即可得到，从而可求出甲的速度，最后根据路程除以速度可求出； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，乙比甲晚出发，乙提速前的速度是， 乙提速后的速度是， 乙提速后的所用的时间为， ， 甲的速度为， ， 故答案为：，，，； （2）设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ． 设段对应的函数关系式为， 在上， ， 解得， ， 由乙追上了甲得， 解得． 答：当秒时，乙追上了甲． 9．4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场击败辽宁铁人，斩获中超五连胜．球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进，最终乙先到达沈阳．如图是甲、乙距离大连的距离（单位：）与车辆行驶时间（单位：h）的函数的完整图象． (1)请直接写出甲车的速度为_____，图中_____，_____； (2)求乙车的行进过程中的与的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象分析即可； （2）根据“乙比甲晚出发1小时，以的速度匀速前进”即可写出函数表达式； （3）联立甲乙的函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：甲的速度为，； （2）解：由题意得， （3）解：由题意得，当时，， ∴， 解得 此时距离沈阳 【题型4 梯度计价问题】 10．2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推出优惠服务，收费标准如下： 甲充电站：所有充电度数统一按原价的计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价的计费．单位：度 (1)分别直接写出甲充电站的充电费用（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数（，单位：度）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由． 【答案】(1)；当时，，当时， (2)当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 当时，， 当时， ， 当，即时，，即当充电度数度时，选择甲充电站更划算； 当，即时，，即当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可； 当，即时，，当充电度数度时，选择乙充电站更划算； 综上可知，当充电度数度时，选择甲充电站更划算；当充电度数度时，两家充电站花费相同，任选即可；当充电度数度时，选择乙充电站更划算． 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：甲充电站的充电费用； 当时，， 当时，； （2）略 11．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱；②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多；③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【分析】（1）根据题意，得；乙商场的费用：分类计算即可； （2）根据表达式代入计算即可； （3）根据表达式描点，画图，连线画图象即可； （4）根据题意，分类讨论即可； 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， （3）解：画图如下： （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 12．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 【题型5 一次函数与几何综合】 13．如图，已知一次函数与轴相交于点A，与轴交于点B． (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是： ①是_____三角形（按角分类）； ②点P是轴上的点，若，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)①直角；②或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据勾股定理及其逆定理判断即可；②根据求出长即可求解； 【详解】（1）解：∵当时， 解得， ∴， ∵当时，， ∴； （2）解：①∵，，点的坐标是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴， ∴或． 14．如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于两点． (1)求b的值，并结合图象写出关于的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)3， (2) (3)或 【分析】（1）将交点的横坐标代入直线的解析式中求解出b，观察发现，二元一次方程组变形后正好是两条直线的解析式，则方程组的解即为两直线交点P的坐标； （2）令两直线解析式中的，求出点的坐标，进而求出线段的长度，最后利用三角形的面积公式即可求解； （3）将分别代入和的解析式，由轴可知，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由条件可得：， ， ∴方程组的解为， ∴方程组的解为； （2）对于直线， 令，则， 解得：， ∴， 对于直线， 令，则， 解得：， ， ∴， ∴； （3）当时，，， ∵， ， 即， 解得：或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 1．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（     ） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水面高度为 C．甲容器的水面高度为 D．甲容器的水流光 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式，根据解析式分别求出、、、时，对应的的值，根据计算结果逐项判断即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把点和的坐标代入函数关系式， 可得：， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 时甲容器的水面高度为， 当时，可得：， 甲容器的初始水面高度为， 故A选项正确； 故B选项错误； 当时，， 时甲容器的水面高度为， 故C选项正确； 当时，， 时甲容器的水流光， 故D选项正确． 2．甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B．购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C．购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D．购买少于4件时，在乙商店购买更合算 【答案】A 【详解】解：买2件时，甲、乙两家售价一样，由图像可知，当购买数量时，甲、乙两家的函数图像相交于点，表示此时两家的售价均为4元． 根据函数图象可得：当，即购买少于2件时，在甲商店购买更合算． 3．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 【详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 4．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 【答案】C 【分析】根据函数的图象分别求出线段 和线段 对应的函数表达式逐项求解即可． 【详解】A．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为，错误； B．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 把代入，得，故仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为60%，错误； C．仅用普通充电器充电，即把代入，，正确； D．，∴快速充电器的充电效率是普通充电器的3倍，错误． 5．如图，点是矩形边上的一动点，它从点出发沿着路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分点在上，在上和在上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：①当在边上时，如图， ， 随的增大而增大，不变，且匀速运动， 随的增大而增大，且成正比例， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小，故选项A正确． 6．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 7．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 8．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，连接交轴于点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，则，当所走路线最短时，点重合，进而求得直线解析式，令，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接交轴于点，连接 ∵点的坐标， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴所走路线最短时，点重合， ∵，则 设直线的解析式为 代入得 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得； ∴，即当所走路线最短，则点的坐标为 10．如图，将一个等腰直角三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上．将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．下列说法正确的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为16 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求出直线与轴交于点，由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度，故点的坐标为，即可判断A选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒，从而可得点的坐标为，进而得出，求出，，的面积为，即可判断B选项错误；待定系数法求出直线的解析式为，即可判断C选项错误；当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即可判断D选项正确． 【详解】解：在直线中，令，则， 解得， ∴直线与轴交于点， 由图2可得：当时，开始大于，即此时直线开始与相交，直线向左平移了两个单位长度， 故点的坐标为，即，故A选项错误，不符合题意； 当时，该直线被的边截得的线段最大，结合图1可得，此时经过点，平移了秒， ∴点的坐标为，即， ∴， ∴，，的面积为，故B选项错误； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为，故C选项错误； 当时，该直线被的边截得的线段最大，且过点，此时截得的线段长度，即D点坐标为，故D选项正确． 11．如图，一次函数过点和点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点D在线段上，点E在线段上，且，当最小值为时，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】过A作，使，连接，根据条件证明，得出对应边相等，当E在上时取最小值，最小值，由勾股定理确定，代入解析式即可得出答案． 【详解】解：过A作，使，连接， 由条件可知， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当E在上时取最小值，最小值， ∴， ∵点和点， ∴， 解得或， ∵由图形可知在第一象限， ∴， ∴， ∴， 把和，代入得， 解得． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，点，直线m经过点，且与x轴平行，点M，N分别是x轴和直线m上的动点，且轴，连接，，．当取得最小值时，点M的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点向上平移1个单位得到，连接、，设，则，证明，得到，当最小时，取得最小值，再根据为定值，从而得到取得最小值，求出直线的解析式，令求解即可得到答案．解题的关键是将转化为． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到，连接、， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最小，即取得最小值， 又∵直线经过点，且与轴平行，轴，则，为定值， ∴此时取得最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 13．恺撒密码应用：若密文“”由恺撒密码（加密密钥为）加密得到，则明文为________． 【答案】 【分析】恺撒密码加密规则为：密文字母对应数字 ，其中为明文字母对应数字，为加密密钥．由加密密钥为可得，找出密文对应的数字，代入计算即可． 【详解】解：设为明文字母，为密文字母，则， 将26个英文字母按顺序对应数字到，即A对应，B对应，…，Z对应． 可得密文对应，密文对应， 当时，有，解得：，对应字母为． 当时，有，解得：，对应字母为． ∴明文为． 14．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知，， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 15．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 【答案】 【分析】已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． 16．最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【答案】63 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 【详解】解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 17．为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 【答案】 【分析】根据函数图象，分别求得直线，的解析式，联立解析式求得交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图， 设直线的解析式为，代入 得， 解得， 故直线的解析式为， 设的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：． 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒． 18．已知四边形四个点的坐标分别为，若一次函数的图像将四边形分成面积相等的两部分，则k的值为____． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到一次函数的图像经过平行四边形对角线的交点，利用中点坐标公式求得交点坐标，将交点坐标代入一次函数解析式中求得k值即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对称中心为对角线的中点，取对角线，其中点坐标为，即， ∵一次函数将四边形分成面积相等的两部分， ∴一次函数图像经过对称中心， 将点代入解析式得， 解得． 19．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 20．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发40秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距100米时，x（秒）的值是________． 【答案】20或140或340 【分析】根据图象求出两人的速度，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由图象可知，甲的速度为（米/秒）， 当甲出发240秒时，乙追上甲， 故乙的速度为（米/秒）， 当甲、乙两人相距100米时，分3种情况： ①乙未出发时，； ②乙追上甲之前，，解得； ③乙追上甲之后，，解得； 当乙到达终点时，甲跑了（秒），此时甲乙正好相距100米，此后乙原地休息，甲继续跑向终点，两人距离逐渐减小，不存在相距100米的情况； 综上：x的值是20或140或340. 21．一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为，慢车离乙地的距离为，慢车行驶时间为，两车之间的距离为．，与的函数关系图象如图1所示，与的函数关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中；②当时，两车相遇；③当时，两车相距；④图2中点的坐标为；⑤当或时，两车相距．其中正确的有___________（请写出所有正确判断的序号） 【答案】①③④ 【分析】结合两个图确定快车到乙地的时间，再计算出两辆车的速度，根据两车的位置关系，逐项判断即可． 【详解】解：对于①，由图2可知，时，直线斜率变小， ∴此时快车到达乙地，即，故①正确； 对于②，快车的速度为，慢车的速度为， ∴两车相遇时间为，即，故②错误； 对于③，∵， ∴此时两车相向而行， ∴两车距离为，故③正确； 对于④，当时，快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距， ∴点的坐标为，故④正确； 对于⑤，∵， ∴两车相向而行， ∴两车距离为， ∵， ∴快车到达乙地，慢车离开乙地， ∴两车相距，故⑤错误． 综上所述，正确的结论为：①③④． 22．甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价九折优惠．某班需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）． (1)设这个班购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为元，在乙店的付款金额为元，分别写出在两家商店的付款金额，与乒乓球盒数x之间的函数解析式． (2)购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ (3)如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ 【答案】(1)； (2)当购买16盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样 (3)购买盒数时选甲店，等于16盒两家均可，大于16盒选乙店 【分析】（1）由题意列函数解析式即可； （2）当时，得到，求出x的值即可； （3）分类讨论：①当时，即甲店更划算：②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 即， ， 即； （2）解：当时， ， 解得 当购买16盒乒乓球时，在两家商店的付款金额一样． （3）解：①当时，即甲店更划算： 解得 ， 结合，可知当时，选择甲商店更划算． ②当时， ， 解得 ， 即当，此时两家商店付款金额相同，任选其一即可， ③当时，即乙店更划算， 解得 ， 可知当时，选择乙商店更划算． 综上，根据购买数量选择商店的方案为：购买盒数时选甲店，等于16盒两家均可，大于16盒选乙店． 23．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】（1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 24．某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为元．由于该体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） (1)分别写出方案一所需费用元、方案二所需费用元与社团人数之间的函数关系式； (2)当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用． 【答案】(1)（，且为整数），（，且为整数） (2)当社团人数满足（为整数），即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案二费用 【分析】（1）根据收费方案分别列出函数关系式即可； （2）根据得到不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，则（，且为整数）； ，则（，且为整数）； （2）解：由题意得， 解得， 而 ∴（为整数）， 故当社团人数满足（为整数），即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案二费用． 25．如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为． (1)的面积为，若，求的值； (2)若当时，直线上的点的纵坐标的值大于，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，在平面直角坐标系中由，解方程即可； （2）由点坐标，分两种情况：和，分别求出直线的解析式，由一次函数图象与性质，列不等式讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点坐标分别为， ， 点坐标分别为， 点到x 轴的距离为，则， ， ， 则 或， 解得或； （2）解：当 时，，由得直线为，直线上的点的纵坐标的值为任意实数，不能保证大于，不合题意，舍去； 当时，直线的解析式为， ①当，即或时，在上，随的增大而增大， ∴当时，，即， 若，则、， ，解得， 从而得到不等式无解； 若，则、， ，解得， 从而得到； ②当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，，即， 此时，、， ，解得， 从而得到； ③当，即时，； 综上所述，①；②；③； 的取值范围为． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点、，过点的直线与轴、轴分别交于点、． (1)______，点坐标______，点坐标______； (2)若点、关于点对称， ①求直线的解析式； ②求的面积； (3)在（2）的条件下，已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)①；② (3)或 【分析】（1）把点代入直线中，求得b的值，即得到直线的解析式，再分别令，，即可求得点A，B的坐标； （2）①根据点，关于点对称可得，采用待定系数法，将，代入直线即可求解； ②先求得点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）根据（2）得出的面积为，结合题意得出的面积为，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得：， 直线， 令，得，令，得， 点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：①∵点，关于点对称， ∴点D是的中点， ∴点的坐标为， 将，代入，得 ，解得， 直线的解析式为； ②当时， 解得： ∴ ∴ ∴的面积为 （3）解：由（2）可得 ∵的面积是面积的， ∴， ∵点在直线上， 设的纵坐标为， 当在点的下方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴； 当在点的上方时， ∴ ∴ 代入直线的解析式； ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 27．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 (1)求购进A，B两种机器人玩具的单价； (2)因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1)购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 (2)购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 28．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法求出直线表达式为，然后和直线联立求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （2）解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 29．在平面直角坐标系中，如果点A，点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“极美菱形”．如图为点A，C的“极美菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为． (1)点，，中，能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点的是______； (2)如果四边形是点M，P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为时，求四边形的面积； ②当四边形的面积为15，且与直线有公共点时，请直接写出b的取值范围； ③当四边形的面积为时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数． 【答案】(1) (2)①，②，③ 【分析】（1）根据“极美菱形”的定义，验证的长度即可判断； （2）①先求出两点的中点坐标，再求的长度，最后由四边形的面积计算即可； ②由四边形的面积求出的长度，进而求出的坐标，代入直线，结合图象求解b的取值范围即可； ③由四边形的面积求出的长度，再求出的长度，可得为等边三角形，即可求较小内角的度数即可． 【详解】（1）解：点M的坐标为，点P的坐标为， 点在直线上， 点，，， ， ， ，， ，， 能够成为点M，P的“极美菱形”的顶点． （2）解：①如图，四边形是点M，P的“极美菱形”，连接与交于， 四边形是菱形， ，为中点， 点M的坐标为，点P的坐标为，点N的坐标为， 的中点的坐标为，即， ，， 四边形的面积． ②如图： 当四边形的面积为15， 由①得，解得， ， ，且， 为等腰直角三角形，， 在直线上，直线平分第一、三象限， 与轴正方向的夹角为， 点在轴上， ， 点的坐标为，同理可得点坐标为， 将，代入，分别解得，， 如图，当四边形与直线有公共点时，b的取值范围为． ③如图： 当四边形的面积为， 由①得，解得， ， ， 四边形是菱形， ， 为等边三角形， ，即该“极美菱形”中较小内角的度数为． 30．荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购种的件数是630元采购种件数的2倍，种的进价比种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购种的件数不低于390件，不超过种件数的4倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购种超过150件时，种超过的部分按进价打6折．设购进种饰品件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元 (2)①且为整数；②当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 【分析】（1）分别设出，饰品每件的进价，依据数量列出方程求解即可； （2）①依据题意列出不等式即可； ②根据不同的范围，列出不同函数关系式，分别求出最大值，比较即可得到利润的最大值． 【详解】（1）解：设种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为元． 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元． （2）解：①根据题意得：， 解得：且为整数； ②设采购种饰品件时的总利润为元． 当时，， 即， ， 随的增大而减小． 当时，有最大值3480． 当时， 整理得：， ， 随的增大而增大． 当时，有最大值3630． ， 的最大值为3630，此时． 即当采购种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元． 31．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 1．一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当加入稀盐酸的质量超过时，产生的气体不变，故A错误； B．当加入的稀盐酸时，产生气体，故B错误； C．设当加入稀盐酸质量小于时，产生气体质量关于加入的稀盐酸质量之间的函数解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即m的值为，故C正确； D．把代入得：， 解得：， 即产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为，故D错误． 2．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（   ） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 【答案】C 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解：A．由图可得小明家距离学校1200米，故A正确，不符合题意； B．小华从家到学校用时分钟， 小华乘公共汽车的速度为米/分，故B正确，不符合题意； C．（分钟）， （分钟）， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇的时间为，故C错误，符合题意； D．小明从家到学校的平均速度为米/分． 3．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 4．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度（单位：厘米）与观察时间（单位：天）的关系如图所示（是线段，直线平行于轴）．下列说法中错误的是（     ） A．从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B．该植物最高为 C．线段的函数表达式为 D．第40天，该植物的高度为 【答案】B 【分析】根据直线平行于x轴可判断A；利用待定系数法求出当时，y与x的函数表达式可判断C；求出时的函数值即可判断B；求出时的函数值即可判断D． 【详解】解：A、∵直线平行于x轴， ∴50天后该植物的高度没有发生变化， ∴从开始观察时起，50天后该植物停止长高，原说法正确，不符合题意； C、设当时，y与x的函数表达式为， 则， ∴， ∴当时，y与x的函数表达式为，原说法正确，不符合题意； B、在中，当时，， ∴该植物最高为16厘米，原说法错误，符合题意； D、在中，当时，， ∴观察第40天，该植物的高度为14厘米，原说法正确，不符合题意； 5．一个简易电子秤的工作电路图如图1所示．已知是定值电阻，压力传感器踏板受到压力后，其阻值R随所称质量m的变化而改变，如图2所示，并导致电路中的电流发生改变，通过改写电流表表盘数值后可直接读出所称物体的质量，且电子秤最大称重质量为．下列说法不正确的是（     ） A．压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小 B．电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为 C．当压力传感器R的阻值为时，称重质量m为 D．压力传感器R的最小阻值为 【答案】D 【分析】观察图象即可判断AB选项，求出电阻与质量的函数关系式，即可判断CD选项． 【详解】解：观察图象可得， 图象是一条从左向右下降的直线，说明随着横坐标的增大，纵坐标在减小，即压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小，故A选项正确； 图象与纵坐标的交点坐标为，即当电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为，故B选项正确； 设电阻与质量的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得， ∴电阻与质量的函数关系式为， 当时，， 解得， 故当压力传感器R的阻值为时，称重质量m为，C选项正确； 当时，，故压力传感器R的最小阻值为，D选项错误． 6．电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的体重之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重是（   ） 提示：（1）导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式； （2）串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出与踏板上人的体重之间的函数关系式为，再结合题意求出的电阻，在中，当时，，求解即可． 【详解】解：将，代入可得：， 解得：， ∴与踏板上人的体重之间的函数关系式为， 由题意可得：电流为， 两端的电压为：， 故的电阻为（欧）， 在中，当时，， 解得：， 故此人的体重是． 7．为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：）之间的关系如图2所示．下列说法正确的是（    ） A．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 B．铁块的高度为 C．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 D．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 【答案】C 【分析】由图象即可判断A，B；利用待定系数法求出段的解析式为，然后判断C，D选项． 【详解】解：∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故A错误，不符合题意； ∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离，为，故B错误，不符合题意； 设段的解析式为 将，代入得， 解得 ∴段的解析式为 ∴当时， 解得 ∴ ∴此时铁块距离烧杯底，故C正确； ∵当铁块下降高度为时， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故D错误，符合题意． 8．等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，正确结论的序号是（    ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅱ中； ④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长． A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】设，则，，，根据不等式结合图像可知①；根据三角形任意两边之和大于第三边判断②；根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：在等腰三角形中，，记，周长为， 设， 则，，， ①∵， ∴其坐标在的上方， ∴其坐标不可能位于区域Ⅰ中； 故结论①正确； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中， 故结论②正确； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∴其坐标位于区域Ⅲ中， 故结论③错误； ④图中点位于区域Ⅲ中，则 ∴ ∴， 点位于区域Ⅱ中，则， ∴， ∴， ∴图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长， 故结论④正确， 故结论①②④正确． 9．如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（     ） A．16 B．20 C．24 D．32 【答案】B 【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积． 【详解】解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 10．如图1，数轴上点表示数0，点表示数1，线段（不含端点）上的动点表示实数，则；如图2，将线段围成一个圆，使两端点，恰好重合（从到是逆时针方向）；如图3，再将这个圆平移到平面直角坐标系中，使其圆心落在轴上，点的坐标为．直线与轴交于点，则是关于的函数．下列说法中正确的是（   ） A．当时， B．当时，随的增大而增大 C．是的一次函数 D．存在，使得当和时，函数值相等 【答案】B 【分析】当时，点恰好是线段的中点，此时点在轴上，即可判断A选项；分三种情况：、、，分别判断函数关于的增减性，即可判断B选项；假设是的一次函数，则（是常数），根据一次函数的增减性得到，进而推出矛盾，即可判断C选项；根据函数的增减性即可判断D选项． 【详解】解：当时，点恰好是线段的中点， 由题意得，此时点在轴上， ∴直线与轴交于点， ∴，故A选项错误； 当时，随着的增大，直线与轴的夹角越来越小， ∵直线与轴交于点， ∴随的增大而增大，且， 当时，； 当时，随着的增大，直线与轴的夹角越来越大， ∵直线与轴交于点， ∴随的增大而增大，且， ∴当时，随的增大而增大，故B选项正确； 假设是的一次函数，则（是常数）， 当时，；当时，； ∵随的增大而增大，且， ∴， 由图象可知，存在使得当时，或， 此时与矛盾， ∴不是的一次函数，故C选项错误； ∵当时，随的增大而增大， ∴不存在，使得当和时，函数值相等，故D选项错误． 11．定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． 一次函数的“关联点”为； 若一次函数的“关联点”为，则，； 若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； 若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为． 以上说法正确的是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】联立，解方程组即可判断；求出一次函数的“关联点”为，代入得，解得，即可判断；由一次函数和一次函数的“关联点”相同，则一次函数的“关联点”为，代入即可判断；由一次函数上没有“关联点”，则，所以，得，，故有，，设，所以，求得，，然后通过，得出，再求出的值即可判断． 【详解】解：联立， 解得， ∴一次函数的“关联点”为，故正确； ∵一次函数的“关联点”为， ∴， ∴， ∴一次函数的“关联点”为， 把代入得， 解得，故错误； ∵一次函数和一次函数的“关联点”相同， ∴一次函数的“关联点”为， ∴， ∴，故正确； ∵一次函数上没有“关联点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 解得， ∴，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或，故错误， 综上可得：正确，共个． 12．某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示．同学们在实验室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值（单位：）随踏板所受压力（单位：）的变化满足我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据．当踏板所受压力为时，其内部压敏电阻的阻值为_____Ω． 2 5 8 11 21 15 9 3 【答案】2 【分析】先判断出与满足一次函数关系，再由待定系数法求解函数解析式，再把代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由表格可得，压力F每增加，压敏电阻的阻值均匀减少， ∴与满足一次函数关系 ∴设 则有表格可得， 解得 ∴， 当时，． 13．由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于，与轴交于点．如果点是直线上的一个动点，纵坐标为，，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求的取值范围___________． 【答案】或 【分析】先根据已知作出图像，设、、分别与直线交于、、三点，结合凹四边形的定义及线段与不相交的条件，得出点的两种位置：位于、之间（不与端点重合）或位于下方；再用待定系数法分别求出直线、的解析式，代入计算出、两点的纵坐标（点在轴上，纵坐标为）；最后根据点的位置范围，直接得出的取值范围． 【详解】解：如图，设、、分别与直线交于、、三点， 四边形是凹四边形（线段与线段不相交），分两种情况讨论： ①点位于、G之间（不与、重合）， 设直线的解析式为，代入和得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴的取值范围为； ②点位于点下方， 设直线的解析式为，代入和得 ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴， ∴的取值范围为； 综上，的取值范围为或． 14．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 15．小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 【答案】0.875 【分析】根据题意利用待定系数法求出与的函数关系式，根据弹簧测力计的最大量程列出一元一次方程，解方程即可求出装置高度的最大值． 【详解】解：设拉力与高度的函数关系式为 由题意可知，当时，，则 ∵高度每增加，拉力增加 ∴ ∴函数关系式为 当时， 解得 ∴装置高度的最大值为 16．我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．其中有一对数据记录错误，请排除后利用正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为________斤． x（厘米） 1 3 4 6 y（斤） 0.8 1.2 1.6 1.8 【答案】3 【分析】熟练掌握数据用比例查错纠错，函数的三种表示方法，由表格数据求函数解析式，是解决此类问题的关键．根据，，发现1.6记录错误，更正为1.4，设，将代入，求得，得到，把代入， 得到结果． 【详解】解：∵，， ∴1.6记录错误，应为1.4． 设，将代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∴当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为3斤． 17．如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯．初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水．用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌面高度相平时，引流会自动停止．引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为(单位：)，如图2是与引流时间x(单位∶s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为_____ ． 【答案】3 【分析】根据题意，得出当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等，都是，据此求出和的函数解析式，再进一步求出时两个函数值的差即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，两个杯子中的水面离杯底的高度相等． ∵初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为，乙烧杯中无水， ∴时，两个杯子中的水面离杯底的高度都是． 设，把代入得， 解得， ∴； 同法可得：． ∵当时，两个杯子中的水面离桌面高度相平， ∴木垫的高度为∶． 18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于任意一点，将点先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，称点为点的“2→3变换点”；反之，称为的逆变换点．若点的逆变换点为，则点的坐标为______；已知在一次函数图象上，为点的“2→3变换点”，过点与点的直线与直线垂直，的坐标为______． 【答案】 【分析】根据“2→3变换点”的定义，可求解点的坐标；根据点在一次函数上，设出坐标，由此可得的坐标，再根据垂直的条件联立求解即可． 【详解】解：①已知点的逆变换点为，逆变换是先向左平移个单位，再向下平移个单位． 设点的坐标为，根据逆变换规则可得： ， ， 所以点的坐标为． ②设点的坐标为， 因为点在一次函数的图象上， 所以， 点经过“变换”后得到点的坐标为， 将代入可得的坐标为， 已知过点与点的直线与直线垂直， 直线的斜率为，则过点与点的直线斜率为， 根据斜率公式，可得，即， 得：。解得：， 将代入的坐标中， 可得的横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 19．对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作．特别地，当图形M，N有公共点时，记作．一次函数的图象为L，L与y轴的交点为D，在中，，，． （1）_________， （2）将函数的图象记为W，若，则b的取值范围为_________． 【答案】 【分析】（1）求出L与y轴的交点为D的坐标，结合图象，即可求解； （2）由与平行，结合图象分别求出时b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】解：（1）将代入得， ， 点到点的距离， 即． （2）将代入得， 直线与y轴的交点， 当时，如下图所示，直线与y轴的交点，与x轴交于点N，过点A作，交于点G， ，， ， ， ， 当时，， 点，即； 当时，如下图所示，直线与y轴的交点，与x轴交于点P，过点C作，交于点H， 同理，当时，， ， ， ． 20．在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数据： 时间 0 5 10 15 20 … 盛水量 0 15 30 45 60 … (1)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出关于的函数图象； (2)直接写出关于的函数解析式； (3)请你估算第40分钟测量时容器的盛水量是多少毫升？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3)第40分钟测量时容器的盛水量是毫升． 【分析】（1）描点、连线，画出函数图象即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：描点、连线，函数图象如图： （2）解：由（1）的图象知，该函数是一次函数， 设一次函数解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴一次函数解析式为； （3）解：当时，， 答：第40分钟测量时容器的盛水量是毫升． 21．某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况．他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示、与之间的函数关系．（直接写出结果，不写自变量取值范围） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．    (3)当且时，直接写出时间的取值范围_____． 【答案】(1)； (2)8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，即可； （3）分，两种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把点代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； 设与之间的函数关系式为， 把代入得： ，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东，理由如下： 根据题意得，早晚高峰的时间是8时到20时之间， 由（1）得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，8时到9时，可变车道行车方向必须自东向西，18时到20时，可变车道行车方向必须自西向东； （3）解：当时，此时 ， 解得：； 当时， 此时， 解得：， 综上所述，当且时，时间的取值范围． 22．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（填图1中的图形序号）， 其中______，______． (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数为： ． 【答案】(1)②，④，12，6 (2)弹簧测力计显示的读数是 【分析】本题考查了从函数图像获取信息以及物理中的浮力知识： （1）分析点的含义，再根据状态对应弹簧测力计的读数求解； （2）分析浮力与深度的关系，计算圆柱体的高度，再计算完全浸没时的浮力，最后计算状态时的浮力，进而得到此时弹簧测力计显示的读数． 【详解】（1）解：点是示数开始下降的转折点，对应圆柱体刚接触水面的时刻， 由图1可知，状态为刚接触水面， 故点对应状态为； 点是示数停止下降、变为水平的转折点，对应圆柱体刚刚完全浸没在水中的时刻， 由图1可知，状态为完全浸没水中， 故点对应状态为； 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ． （2）解：圆柱体的高度为：， 在空气中，即状态时，示数为， 重力， 完全浸没时，即状态时，示数为， 完全浸没所受的浮力， ，且排开水的体积与浸入水中的高度成正比， 浮力与高度成正比， 则， 即， 解得：， 此时弹簧测力计显示的读数为：． 23．随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键．某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池电量（占电池容量的百分比）与充电时间（单位：h）的函数图象；快充的电量变化为折线，普通充电的电量变化为线段．根据测试数据，图象标注：点，，，． 请结合图象和数据，解答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1) (2)将汽车电量从充至，快充比普充少用时间小时． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出段的解析式，将代入两解析式求出x的值，然后求差解答即可． 【详解】（1）解：设段的函数解析式为． 将代入得， 解得． 因此，段的函数解析式为：； （2）解：将代入解析式得， 解得：（小时）， 设段解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴， 将代入段解析式得， 解得：（小时）， 将汽车电量从充至，快充比普充少用时间：（小时）． 24．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对消点的定义得出点的对消点满足，由此分析即可得出结果； （2）设，由对消点的定义并结合题意得出，，，从而可得，求出的值即可得出结果； （3）由对消点的定义得出，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数，画出图象，结合图象计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点， ∴根据对消点的定义可得，点的对消点满足，即， ∴满足条件，，不满足条件， ∴点的对消点是； （2）解：∵点在直线上， ∴设， ∵点的对消点也是点的对消点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由对消点定义可得：， ∴，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数， 如图： 由题意可得，对消点并不只有一个点，而是一条与平行的直线，且点和这条与平行的直线到的距离相等，即在的方向上，使点与正方形跨度的宽度为， ∴或， 解得或． 25．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①6；②或5 (2)或 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； （2）解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 26．综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． (1)函数自变量的取值范围是____________； (2)①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； (4)已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)当时，y随x的增大而增大（不唯一） (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴，即． （2）解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： （3）解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． （4）解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：▣已完成 用时： min 自评勋章： 恩罗恩恩图 暑假作业11一次函数应用10题型50题 知识复盘卡 【知识点1一次函数建模通用步骤（简单函数关系式建立）】 所有基础实际应用题，遵循统一建模流程，是列式解题的根本： 1. 审题：梳理题干信息，区分已知量、未知量，明确问题背景； 2. 定变量：确定自变量x、因变量y,分析两个变量的对应关系； 3. 找等量关系：结合对应公式、生活数量关系，搭建等式： 4. 列函数式：根据等量关系，列出y关于x的一次函数/正比例函数解析式： 5. 定取值范围：结合实际意义，确定自变量x的取值范围（如时间、数量为非负数、正整数等）： 6. 求解作答：代入数值计算，最终答案回归实际问题作答。 补充说明：无初始基础量、匀速/匀速工作场景，一般为正比例函数y=kx;存在初始量、固定成本、原 有路程/工作量的场景，一般为一次函数y=kx+b(b≠0)。 【知识点2三大基础应用题壁型】 一、行程问题 1.核心公式：路程=速度×时间，即s=vt 2.常见题型： 单一物体匀速行驶：路程随时间变化，解析式为y=kx(k代表速度)； 含初始路程的行驶（如从距离起点一段距离处出发）：解析式为y=kx+b(b为初始路程，k为行驶速度)。 3考点：根据解析式求路程、时间，判断行驶快慢。 二、工程问题 1.核心公式：工作总量=工作效率×工作时间 2.常见题型： 单人/单组匀速做工：工作量随时间变化，解析式为y=kx(k代表工作效率)； 己有部分工作量，后续继续施工：解析式为y=kx+b(b为原有工作量)。 3考点：计算总工作量、工作时长、工作效率。 三、利润问题（基础销售利润） 1核心公式： 总利润=单件利润×销售数量： 总销售额=单件售价×销售数量； 含固定成本时：总利润=总收入一固定成本。 2.常见题型： 无固定成本：总利润随销量变化，解析式为ykx; 有固定租金、人工费等成本：解析式为ykx+b(b常为负数，代表固定支出)。 3.考点：根据销量求利润、根据目标利润求销售数量。 1/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点3基础题型考查形式】 1.根据文字描述，直接写出函数关系式并标注自变量取值范围； 2.已知自变量，代入解析式求函数值； 3.结合函数式，解释系数k、b的实际意义： 4. 简单实际问题求解与简答。 【知识点4基础题型高频易错点（必规避）】 1.自变量范围遗漏：忽略实际限制，如时间、数量不能为负数，人数、件数需为正整数； 2.系数意义混淆：分不清k(变化速率)与b(初始量/固定量)的实际含义： 3.等量关系出错：行程、利润、工程公式套用错误，函数关系式列写偏差： 4.单位不统一：题干单位混用（如小时与分钟、元与角），导致计算结果错误 5.作答不规范：只算出数值，不结合实际问题总结答案，缺少文字说明。 【知识点5分段函数实际应用（培优核心高频题型】 1.题型整体特征 实际场景中规则发生变化，无法用单一一次函数表示全程，需按不同规则划分区间，每个区间对应独立的 一次函数，图像由多条线段拼接而成。 2.三大常考分段场景 令计费类分段函数：打车费、水电费、燃气费、通讯话费、会员收费等阶梯计费，不同区间单价/收费标 准不同： 令行程类分段函数：变速行驶、中途停车停留、往返行驶、分段提速/减速等非匀速行程问题； ◇销售类分段函数：阶梯定价、满减优惠、分段打折、销量不同单价不同的销售问题。 3.标准解题步骤 ①划分分段区间：根据规则变化节点，确定自变量的不同取值范围； ②逐段列式：在每个区间内，分别建立对应的一次函数解析式： ③标注范围：每一个解析式必须搭配对应自变量区间； ④分段求解：根据题干条件，锁定对应区间，代入计算、分析问题。 【知识点6方案最优选择问题（应用题压轴必考）】 1.题型特征：题干给出两种及以上可行方案（收费方案、采购方案、运输方案、销售方案等），要求选择 费用最少、利润最大、用料最省的最优方案。 2.核心解题思路 ①分别为每一种方案建立一次函数解析式： ②联立不同函数解析式，求交点横坐标（方案优劣的分界点）； ③以分界点为参照，分区间比较函数值大小： ④结合自变量实际取值范围，确定不同条件下的最优方案。 2/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.延伸考点：限定取值时，直接计算各方案结果对比择优。 【知识点7多变量函数建模（难点拔高题型）】 1.题型特征：题干包含三个及以上关联变量，变量之间存在多层数量关系，无法直接列式，需要分步转化。 2.解题逻辑 ①梳理变量间从属关系，先根据基础公式求出中间变量； ②将中间变量代入，逐步消元，最终整合为两个变量的一次函数； ③结合取值范围、题干限制完成计算与分析。 3.能力要求：侧重逻辑梳理与公式综合运用，是区分中档与高分的关键题型。 【知识点8图像信息解读压轴大题（期末综合压轴）】 1.题型特征：以折线型函数图像为载体，融合分段变化、多过程场景，结合文字+图像双重条件设问，包含 计算、推理、方案分析、最值求解等多小问。 2.核心解读要点 ①识别坐标轴含义：明确横轴、纵轴分别代表的实际量； ②提取关键点：线段端点、拐点、交点的坐标，对应实际场景的变化节点； ③分析线段趋势：上升、下降、水平线段分别对应变化、反向变化、静止状态： ④结合图像列式：根据分段线段，写出各段函数解析式，再解答后续问题。 3.常考设问：求速度/效率、求解析式、求相遇时间、计算总费用、判断方案优劣、求解最值。 【知识点9核心能力训练】 完整解题思维链：提取实际信息→梳理数量关系→划分区间/建立模型列式计算→结合实际分析 结果，实现“实际问题→数学模型一回归实际”的闭环。 【知识点10培优核心解题思想与方法】 数学建模思想（核心）：把生活场景抽象为一次函数、分段函数模型，用代数方法解决实际问题： 分段讨论思想：分段函数严格按区间拆分，逐段分析、逐段列式，不混淆区间规则： 数形结合思想：图像类应用题，以“图”助“数”，从图像中挖掘隐藏条件，简化计算； 比较分析思想：方案选择类题型，通过函数值大小对比，判定最优方案； 边界分析思想：重点关注分段节点、函数交点、区间端点，这些位置往往是答案分界点与最值点。 培优拓展训练 ★7巩固提升练 【题型1分配方案问题】 1.综合与实践 3/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原 背景 型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心， 传递团结拼搏与团圆和美的愿景. 图片 喜洋洋 乐融融 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋” 素材 和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套 一 贵20元. 素材 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 一 素材 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 三 问题 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (②)如何购买才能使总费用最少？ 2.某校八年级2班学生要去实验基地进行实践活动，现在欲租甲、乙两家旅行社的车辆，已知甲、乙两家 旅行社的服务质量相同，且报价都是每人100元，经过协商，甲旅行社表示可给予每位学生六折优惠，乙旅 行社表示可先免去两位同学的车费，然后给予其他同学七折优惠 (1)若用x(x>2)表示乘车人数，请用含x的式子分别表示选择甲、乙旅行社所支付的费用y年与2； (2)该班选择哪一家旅行社所支付的费用较少？ 3.在2026年春晚舞台，宇树科技的G与H,两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演 小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来 代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型 机器人1台共需15万元. (1)甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ (2)已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万 元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数 4/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 量最大？ 【题型2最大利润问题】 4.近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店计划从工厂购进长、 短两款传统服饰共200件进行销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 短款 长款 进货价（元/件） 80 90 销售价（元/件） 100 120 设购进长款服装x件，销售总利润y元 (1)写出y与x之间的函数关系. (②)若此次进货总价不高于16800元.服装店应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润 是多少？ 5.学校安排560名师生外出研学两天，旅游公司有A,B两种型号的大巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 335 2 325 (I)求A,B两种型号的大巴车满载时可乘载人数分别为多少： (2)公司现有A型和B型大巴车共12辆可以调配使用，已知每辆A型大巴车每天的租金600元，每辆B型 大巴车每天的租金800元.当总租车费用最少时，求租了多少辆A型大巴车？ 6.某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A,B两种型号的机器人模型.A型机器人模型单价比B 型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同. (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍， 且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.设购买两种机器人的总花费为W，购买A型机器人的 数量为m台，求W与m的函数关系，并写出m的取值范围 (3)在(2)的条件下问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【题型3行程问题】 7.A,B两地相距80km,甲、乙两人沿同一条路从A地到B地甲、乙两人离开A地的距离s(单位：km )与时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当t=3时，甲、乙两人相距km. 5/31 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 As/km 80------ 20-- 011.53 t/h 8.甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了450cm·甲比乙先出发，并且匀速走完 全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍.设甲行走的时间为xs,甲、乙行走的路程分别为 y,(cm)、y(cm)，乃、与x之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： y(cm) 450 310 30 B 0 1517 n x(s) (①)乙比甲晚出发 s,乙提速前的速度是每秒 cm,m=,n= (②)求出何时乙恰好追上甲？ 9.4月22日，上万名大连球迷远征沈阳客场，为家乡球队助威，最终大连英博客场1：0击败辽宁铁人，斩 获中超五连胜.球迷甲、乙自驾从大连前往沈阳观赛，其中甲先出发并匀速前进，在熊岳服务区休息了一 段时间后保持原来的速度前往目的地，乙比甲晚出发1小时，以120km/h的速度匀速前进，最终乙先到达 沈阳.如图是甲、乙距离大连的距离y(单位：km)与车辆行驶时间x(单位：h)的函数的完整图象. y/km m 200 0 22.5 An x/h (1)请直接写出甲车的速度为km/h,图中m= ，= ； (②)求乙车的行进过程中的y与x的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3)两车相遇时，距离沈阳的距离是多少km? 【题型4梯度计价问题】 10.2025年，某城市推出两家新能源汽车充电站甲和乙，充电原价都为1元/度，五一期间，甲乙充电站推 出优惠服务，收费标准如下： 6/31 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 甲充电站：所有充电度数统一按原价的80%计费； 乙充电站：采用“阶梯式优惠”，当充电度数不超过100度时按原价计费；超过100度的部分，每度电按原价 的60%计费.单位：度 ()分别直接写出甲充电站的充电费用片（元），乙充电站的充电费用（元）与充电度数x(x>0，单位： 度)之间的函数解析式，并注明自变量x的取值范围， (②)请针对不同新能源汽车提供合理化建议，选择哪家充电站更划算？请通过计算说明理由. 11.甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打8折； 乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折， ()设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别y年，y2z,请直接分别写出y年与x,y2与x之间的表达 式： (②)请你按照下表中自变量x的值代入(1)中的表达式计算，分别得到了y,y2的几组对应值： x/元 0 100 200 300 400 500 600 y元 0 80 160 m 320 400 480 z元 100 200 300 360 420 则表格中，m=-, n=_ (3)在如图所示的同一平面直角坐标系xO少中，描出(2)中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出 甲，y2函数的图象. y元本 y甲 600T1 500 400 300 200 100 0100200300400500600700800x/元 (④根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省 钱的方案（直接写出结论）， 12.项目式学习 项 月 绿植养护营养土购买方案选择 主 7/31 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题 项 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土.优质的营养土能有效促进植物生 目 长，是校园绿化的重要保障.综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项 背 目学习， 景 研 a. 收集校园周边“绿园“植享”两家园艺店的营养土销售信息. 究 b.整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式. 步 c. 通过数据分析，确定最优采购方案. 骤 1.“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折. 信 2. “植享”店营养土的售价如下表： 息 购买量/袋 售价/（元/袋） 收 3袋以内（含3袋） 20元/袋 集 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土(x>3,且x为正整数)，在“绿园”店购买营养土的费用为y元，在“植享” 店购买营养土的费用为元 (1)请分别写出片，与x之间的函数关系式. (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算. 【题型5一次函数与几何综合】 13.如图，已知一次函数=+2与x轴相交于点4，与y轴交于点B O C (1)求出点A和点B的坐标； (2)若点C的坐标是(1,0： ①ABC是三角形（按角分类）； ②点P是x轴上的点，若SAc,请求出点P的坐标 14.如图，直线l:y=2x+1与直线l2:y=-x+4相交于点P(1,b),直线与Z与x轴分别交于A、B两点. 8131 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求b的值，并结合图象写出关于xy的方程组 2x-y=-1 ty=4的解， (2)求△ABP的面积： (3)垂直于x轴的直线x=a与直线4，Z分别交于点C、D,若线段CD的长为4，求出a的值. 15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线BC与直线AB关 于y轴对称. D A (I)求直线BC的表达式及C点坐标： (②)将直线BC向右平移8个单位后与直线AB交于点D,E为直线CD上一动点，F为y轴上一动点，是否存 在点E和点F,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形？若存在，求出点F的坐标； 若不存在，请说明理由. ★能力培优练 1.“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的 容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②)·上午 10:00,综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm与流水时间t(min的关系 如图③所示，下列说法错误的是() 9/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ←h(cm) 30 24 A 力节流阀 60 t(min) 图① 图② 图③ A.甲容器的初始水面高度为30cm B.12:00甲容器的水面高度为12cm C.11:00甲容器的水面高度为24cm D.15:00甲容器的水流光 2.甲、乙两家商店销售同一种产品，销售价y(元)与销售量x(件)之间的关系如图所示.下列说法正确 的是() y/元个 4 O123x/件 A.购买少于2件时，在甲商店购买更合算 B.购买少于2件时，在乙商店购买更合算 C.购买少于4件时，在甲商店购买更合算 D.购买少于4件时，在乙商店购买更合算 3.小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动.如图是小明步行时离学校的距离y(米) 与行走时间x（分)之间的函数关系的图象。 y/米 480 240A 6 ax/分 下列说法一定正确的是() ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18： ③线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=-40x+240(0≤x≤6)； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟， A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④ 10/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示月前电量为20%，经测试，用快速充电器和普通充电器对该 手机充电时，电量y(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象分别为图2中的线段AB,AC, 根据以上信息，下列说法正确的是() A1% B 100-- 80 60 40 目前电量20% 20A 0123456x/h 图1 图2 50 A.线段AC对应的函数表达式为y= 3x+20 B.若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为40% C.若仅用普通充电器充电3h,此时的电量为60% D.快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 5.如图，点P是矩形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿着A→B→C→D路径匀速运动到点D,设 △PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为() B A B 0 6.如图，点A的坐标为(0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC,使 ∠BAC=90°，如果点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y,那么表示y与x的函数关系的图像大致是() 11/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B D 7.随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚.某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发， 准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.设 聪聪行走的时间为x(s),聪聪和慧慧行走的路程分别为y,(cm),2(cm),片，关于x的函数图象如图所 示，则下列说法不正确的是() 个y/cm m D 310 30 B 0 1517 31 n xls A.聪聪的速度为10cm/s B.慧慧比聪聪晚出发15s C.客人距离厨房门口400cm D.从聪聪出发直至送餐结束，共需45s 8.成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量y(毫克)随时间x(小时)的变化情况如图所示， 下列说法错误的是() /毫米 x/小时 A.服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 12/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C.服药后第8小时，血液中不含药 D.如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 9.如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上且OA=3,点B的坐标(5，-1，点C、点D在x轴上，点C, D为x轴上两个动点，且CD=1,AC-CD-DB所走路线最短，则点C的坐标为() Y D C A.(1,0 B.2,0 C.3,0 D.4,0) 10.如图，将一个等腰直角三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中直角边AC在x轴上.将 直线：y=x-3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设平移过程中该直线被ABC的边截得的线 段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图象如图2所示.下列说法正确的是() 02610元 图1 图2 A.点A的坐标为2,0 B.ABC的面积为16 C.边AB所在直线的表达式为y=-3x+4 D.D点坐标为6,2V2 11.如图，一次函数y=x+b过点C(1,0)和点Am,1),将线段AC绕点C顺时针旋转90°得到线段BC,连 接AB,点D在线段BC上，点E在线段AB上，且BD=AE,当AD+CE最小值为√30时，则k的值为() 13/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A. B. c.3 D.1 3 12.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,3),点B(3,-3),直线m经过点C(0,-1),且与x轴平行，点M, N分别是x轴和直线m上的动点，且MN⊥x轴，连接AM,MN,NB,当AM+MN+NB取得最小值时， 点M的坐标是() A M X m A.5,0 B. 0 c. D.3,0 5 13.恺撒密码应用：若密文“PM”由恺撒密码（加密密钥为k=-2)加密得到，则明文为 14.如图，一束光线从点A(4,5)出发，经过y轴上的点C反射后经过点B(1,0),则点C的坐标是 OB 15.在弹性限度内，弹簧的长度y(Cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.如图，某弹簧挂质量为3kg的物 体时，弹簧长度为16cm,挂质量为9kg的物体时，弹簧长度为19cm.那么该弹簧不挂物体时的长度为 cm 14/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ◆y/cm 19 16 3 9kg 16.最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子.每位顾客采摘草莓需付总 金额y(元)与采摘草莓质量x(kg)的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量x(kg) 1 2 3 4 需付总金额y(元) 18 33 P 78 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量x=4kg时，需付总金额y= (元) 17.为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练.在一次女子 1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点.所跑的路程 S(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第 秒 s(米) 小蕊 1000--------- 小敏 660 420 0■ 60 2202507(秒) 18.己知四边形ABCD四个点的坐标分别为0,0)，(2,0)，(3,3,1,3)，若一次函数y=x+1的图像将四边形分 成面积相等的两部分，则k的值为· 19.如图。直线=+1和X镇、y轴分别交于点4、点8，以线段8为直角边在第一象限内作等暖直 角4BC,∠BAC=90,如果在直角坐标平面内有一点Pa,2 1 且△ABP的面积与ABC的面积相等，则 a的值为 B A 20.甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑1800米，先到终点的人原地休息.已知甲先 15/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出发40秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)的 关系如图所示，则甲、乙两人相距100米时，x（秒)的值是 y/米 2007万 040 240 x/秒 21.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，设快车离乙地距离为”，(km), 慢车离乙地的距离为y2km),慢车行驶时间为x(h),两车之间的距离为s(m.片，与x的函数关系图 象如图1所示，：与x的函数关系图象如图2所示.则下列判断：①图1中a=3;②当x=1?h时，两车相 遇：⑧当x=h时，两车相距60km;④图2中C点的坐标为3,180)：⑤当x=h或22h时，两车相距 3 8 8 200km.其中正确的有 (请写出所有正确判断的序号) y(km) s(km) 300ky1 300 B 5 x(h) 5 x(h) 图1 图2 22.甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价30元，乒乓 球每盒定价5元.现两家商店开展促销活动，在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球；在乙店每购买一副球 拍或一盒乒乓球都按定价九折优惠，某班需购买球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）· ()设这个班购买乒乓球x盒，在甲店的付款金额为y元，在乙店的付款金额为y2元，分别写出在两家商店 的付款金额y甲，y2与乒乓球盒数x之间的函数解析式。 (2)购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样？ (3)如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买？ 23.随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化 魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷，己知购买4个A型号的帐篷和2个B 型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元. (1)求A,B两种型号的帐篷的单价： (2)据统计，该景区需购买A,B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量 的子请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用。 24.某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为200元.由于该体育社团人数 较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案，方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过15人，超出部分 16/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 打七五折.（体育社团人数为x人，其中x>15) ()分别写出方案一所需费用y元、方案二所需费用元与社团人数x之间的函数关系式： (②)当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用 25.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C坐标分别为1,0，-1,0)，m+2,2m+1). (1)ABC的面积为S,若S=2,求m的值： (2)若当-2≤x≤3时，直线AC上的点的纵坐标y的值大于-5，求m的取值范围 26.如图，在平面直角坐标系中，直线4：y=-x+b过点M1,3),与x轴、y轴分别交于点A、B,过点M 的直线l:y=kx+m与x轴、y轴分别交于点C、D. B M (1)b= 点A坐标 ,点B坐标 (2)若点B、O关于点D对称， ①求直线l,的解析式： ②求△MAC的面积； (③在(2)的条件下，已知点P在直线，上，若△PAM的面积是△MAC面积的子， 直接写出点P的坐标， 27.【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱.为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购 进A,B两种机器人玩具。 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元. 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍. 17/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A种机器人玩具B种机器人玩具 【问题解决】 (①)求购进A,B两种机器人玩具的单价； (②)因销售良好，该玩具店决定再次购进A,B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B 种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为 多少元？ 28。直线B经过点4-4,0，点B(0,4利.过点C(2.0的直线y=弓+1交直线AB于点D,交y轴于点E, D E E A C (1)求D点坐标： (2)点M为y轴上一动点，CDM的面积为5，求点M的坐标； (3)连接BC,点G是直线AB上一点，且满足∠BCG=45°，直接写G的坐标. 29.在平面直角坐标系xOy中，如果点A,点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A,C在直线y=x上， 那么称该菱形为点A,C的极美菱形”.如图为点A,C的极美菱形”的一个示意图.已知点M的坐标为 (1,1,点P的坐标为4,4. V 3 2 B 4-3f2-1o234 -4B (1)点E(1,4),F(3,1,G(5,0)中，能够成为点M,P的“极美菱形”的顶点的是 ； (②)如果四边形MNPQ是点M,P的“极美菱形”， ①当点N的坐标为(4,1)时，求四边形MNPQ的面积； ②当四边形MWPQ的面积为15，且与直线y=x+b有公共点时，请直接写出b的取值范围； 18/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ③当四边形MWPQ的面积为9√3时，请直接写出该“极美菱形”中较小内角的度数， 30.荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A,B两种文创饰品对游客销售.己知1400元采购A种的件数是630 元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购 这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍， (1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元？ (②)若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6 折.设购进A种饰品x件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润， 3引.如图，平面直角坐标系中，直线8：y=了+b交y轴于点A,交轴于点8。 A 0 E B主 (I)求直线AB的表达式和点A的坐标； (②)直线I垂直平分OB交AB于点D,交x轴于点E,点P是直线I上一动点，且在点D的上方，设点P的纵 坐标为n. ①用含的代数式表示△ABP的面积： ②当S。4B=16时，求点P的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点Q,使得BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若 存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. ★创新拓展练 1.一化学兴趣小组对某小苏打样品中NHCO,的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后， 向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是 () 个气体的质量/g 8.8 2 50100150稀盐酸的质量/g 19/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B.加入150g的稀盐酸时，产生13.2g气体 C.m的值为4.4 D.产生的气体的质量为6.6g时，加入的稀盐酸为80g 2.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了 早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家 到学校已走的路程S(米)和所用时间t(分钟)的关系图，则下列说法中错误的是() S/米 小华小明 1200---- 480 813 20/分钟 A.小明家和学校距离1200米 B.小华乘公共汽车的速度是240米/分 C.小华乘坐公共汽车后7：51与小明相遇D.小明从家到学校的平均速度为60米/分 3.在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底 端后，在水平面上继续滚动直至停止.小球滚动过程中的速度y（m/s)与时间x(s)之间的关系如图② 所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程=平均速度下×时间1，下=十业，其中 2 是开始时的速度，’，是秒时的速度.匀减速运动时的路程和平均速度类似可得.)下列说法不正确的是() 个(m/s) 777777777 77777777777 3.5 B x(s) 图① 图② A.小球在斜面上的最大速度为4m/s B.B所在直线的函数解析式为y3+0 C.小球从斜面底端到停止所用的时间为5s D.小球在水平面上运动的总路程为6m 4.某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y(单位：厘米)与观察时间x(单位：天)的关系如图 所示(AC是线段，直线CD平行于x轴)·下列说法中错误的是() 20/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厘米) C D B 12 A 6 30 5060x(天) A.从开始观察时起，50天后该植物停止长高 B.该植物最高为15cm C.线段4C的函数表达式为y=x+6(0≤x≤50) 5 D.第40天，该植物的高度为14cm 5.一个简易电子秤的工作电路图如图1所示.已知R是定值电阻，压力传感器踏板受到压力后，其阻值R 随所称质量m的变化而改变，如图2所示，并导致电路中的电流发生改变，通过改写电流表表盘数值后可 直接读出所称物体的质量，且电子秤最大称重质量为200kg.下列说法不正确的是() 踏板 AR/Q 110 压力传感器R R。 90 50 m/kg 图1 图2 A.压力传感器R的阻值随称重质量m的增大而减小 B.电子秤没有称重时，压力传感器R的阻值为1102 C.当压力传感器R的阻值为752时，称重质量m为87.5kg D.压力传感器R的最小阻值为202 6.电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制 作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R,R与踏板上人的体重m之间的函数关系式为 R,=km+b(其中k,b为常数，0≤m≤120)，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏， 定值电阻R的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板后电压表显示的读数为2伏，则此人的体重m是() 提示：(1)导体两端的电压U,导体的电阻R,通过导体的电流I,满足关系式1= R (2)串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压. 21/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 R(欧) 240 踏板 120m(千克) 图1 图2 A.50 B.55 C.60 D.65 7.为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了相关实验.如图1，先将一个长方体铁块放 在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：）与铁块下降的高度 x(单位：c)之间的关系如图2所示.下列说法正确的是() 个F拉力N 4 铁块 B 2.5 6cm o246810121416x/cm 图1 图2 A.铁块入水之前，烧杯内水的高度为12cm B.铁块的高度为6cm C.当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底2。 D.当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N 8.等腰三角形ABC中，AB=AC,记AB=x,周长为y,定义(x,y)为这个三角形的坐标.如图所示，直 线y=2x,y=3x,y=4x将第一象限划分为4个区域.下面四个结论中，正确结论的序号是() ①对于任意等腰三角形ABC,其坐标不可能位于区域I中； ②对于任意等腰三角形ABC,其坐标不可能位于区域V中； ③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅱ中； ④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长 22/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=4x y=3x IVIN/Y=2x MⅢ A.①③ B.①③④ C.①②③ D.①②④ 9.如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠ADC=90°，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度 按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△PAD的面积为S,S关于t的函数 图象如图②所示，当点P运动到BC中点时，△PAD的面积为() B S(平方单位) 32 6 10t(秒) ① ② A.16 B.20 C.24 D.32 10.如图1，数轴上点A表示数0，点B表示数1，线段AB(不含端点)上的动点M表示实数m,则 0<m<1;如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A,B恰好重合（从A到B是逆时针方向）；如图3， 再将这个圆平移到平面直角坐标系中，使其圆心落在y轴上，点A的坐标为(O,1).直线AM与x轴交于点 N(n,0),则n是关于m的函数.下列说法中正确的是（) M A(B) B 图1 图2 图3 A.当m=号时，n=-1 B.当0<m<1时，n随m的增大而增大 C.n是m的一次函数 D.存在0<a<b<1,使得当m=a和m=b时，函数值相等 23/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=-x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“关 联点”.例如求)=2+3的关联点：联立方程=2r+3. =1，则=2x+3的关联点为-1， x=-1 y=-x，解得 ①一次函数y=3x+4的“关联点”为-1,1； ©若一次函数=mx+n的“关联点”为2，-1，则m=2n=-1: 1 ③若一次函数y=3x+4和一次函数y=x+3的“关联点”相同，则k=2; ④若一次函数y=x-3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,且一次函数y=x-3上没有“关联点”， 若P点为X轴上一个动点，使得S…-5m·则点P的坐标为-45,0， 以上说法正确的是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.某学习小组设计了一种预防校园踩踏事故的压力传感报警装置，其工作电路如图所示.同学们在实验 室进行模拟实验发现：其内部压敏电阻的阻值R(单位：)随踏板所受压力F(单位：N)的变化满足 我们所学过的某种函数关系，并通过实验测得以下表格中的数据.当踏板所受压力F为11.5N时，其内部 压敏电阻的阻值R为2. 踏板 电阻 R 式报 Ro 警器 2 5 8 11 R/2 21 15 9 13.由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个 多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边 形”；否则叫做“凹多边形”.在平面直角坐标系x0y中，已知直线与x轴交于A(-L,0),与y轴交于点B(0,-2) 果点C是直线x上的一个动点，纵坐标为，D4,0,且四边形ABDC是凹四边形（线段4C 段BD不相交)，求的取值范围 14.如图，在平面直角坐标系中，点B,C的坐标分别为(-2,0)，(-1,0)，过点C向上作AC⊥x轴，且 AC=1,连接AB,若直线y=-x+b与ABC有公共点，则b的取值范围为 24/31 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B y=-x+6 15.小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分 别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F(N)近似是高度 h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N,高度h每增加0.1m，弹簧测力 计的读数增加0.8N,若弹簧测力计的最大量程是9N,则装置高度h的最大值为 m. 16.我国传统的计重工具一秤的应用，方便了人们的生活.如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得 出秤钩上所挂物体的重量.称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)， 则y是x的一次函数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据.其中有一对数据记录错误，请排除后利用 正确的数据确定当水平距离x为12厘米时，对应的物体重量y为斤. 秤纽 秤杆 0 △ 秤砣 秤钩 x(厘米) 1 3 4 6 y(斤) 0.8 1.2 1.6 18 17.如图1，桌面上有甲、乙两个形状大小完全相同的烧杯.初始时，甲烧杯内的水面离杯底的高度为 12cm,乙烧杯中无水.用一根U型管可将垫有木垫的甲烧杯中的水引流至乙烧杯中，当两烧杯的水面离桌 面高度相平时，引流会自动停止.引流过程中，设甲、乙烧杯内的水面离杯底的高度分别为y,2(单位： Cm),如图2是，2与引流时间x(单位：s)的函数图象，若第2.5秒时引流停止，则木垫的高度为cm 25/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Av(cm) U型管 12 甲烧杯 乙烧杯 22.5 3s) 图1 图2 18.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于任意一点P(x,y),将点P先向右平移2个单位，再向 上平移3个单位，得到点P,称点P为点P的“2→3变换点”；反之，P称为P的逆变换点.若点B的逆变 换点为C1,2),则点B的坐标为；已知P在一次函数y=-x+3图象上，P为点P的23变换点”， 2 过点8与点P的直线与直线)=+3垂直，P的坐标为 19.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任 意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的距离”，记作d(M,N).特 别地，当图形M,N有公共点时，记作d(M,N)=0.一次函数y=kx+2的图象为L,L与y轴的交点为D, 在ABC中，A0,1,B(-1,0),C(1,0). (1)d(D,AABC)= (2)将函数y=x+b的图象记为W,若d(W,△ABC)≤1，则b的取值范围为 20.在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每5min记录一次容器中的水量，得到如下表的一组数 据： 时间 0 10 15 20 t/min 盛水量 0 15 30 45 60 w/mL Aw/mL 80 70 50 30 10 O51015202530t7min 图1 图2 26/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)请根据表中信息在坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象； (2)直接写出w关于t的函数解析式： (3)请你估算第40分钟测量时容器的盛水量是多少毫升？ 21.某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况.他 们对该路段的交通量y(辆/分钟)和时间x进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变 化规律符合一次函数的特征， 时间x 8时 11时 14时 17时 20时 y自西向东交通量（辆/分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆/分钟） 25 22 19 16 13 ()请用一次函数分别表示片、与x之间的函数关系. (直接写出结果，不写自变量取值范围》 (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向.单位时间 内双向交通总量为。=+2，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当之，需要使可变车 2 道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况.该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解 交通拥堵，并说明理由. 西 东 西 东 >>可变车道>) 〈<可变车道< 图1 图2 .2 (3⑨当.<行且y≥为时，直接写出时间x的取值范围 22.在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体 完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为12N和6N,整个 过程中，弹簧测力计读数F(N)与圆柱体下降高度h(cm)的关系图象如图2所示. FN) 白 ② ③ (4) (5) 10 h(cm) 图1 图2 (1)图2中，点A对应状态为 点B对应状态为 (填图1中的图形序号)， 27/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中a=N,b=N. (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为4cm,求此时弹簧测力计显示的读数为：_， 23.随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键.某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下 新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池 电量y(占电池容量的百分比)与充电时间x(单位：h)的函数图象；快充的电量变化为折线AB-BC, 普通充电的电量变化为线段AD.根据测试数据，图象标注：点A(0,10),B(0.5,70),C(1.5,100), D(3,100). 请结合图象和数据，解答下列问题 A/% 100 D 80 B 60 40 20 23x/h (I)求AD段的函数表达式 (2)若将该汽车电池电量从10%充至90%，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 24.在平面直角坐标系x0y中，对于点P(x,y),给出如下定义：当点Q(x2,y2)满足x+x2+y+y2=0时， 称点Q是点P的对消点. 己知，点P(2,0). (1)在0(0，-2)，Q2(4,-2),Q(1,3)中，点P的对消点有_： (2)点A在直线y=x+4上，若点P的对消点也是点A的对消点，求点A的坐标； (3)己知线段MN和正方形BCDE,其中，正方形的四个顶点的坐标分别为Bt-1,t+1),C(t-L,t-1), D(t+I,t-1),E(t+l,t+1),对于正方形BCDE边上的每一个点F,线段MN上总存在线段PF上每个点的对 消点.若MN的最小值为4，直接写出t的值 25.在平面直角坐标系x0y中，若P,Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则 称该矩形为点P,Q的“相关矩形”.如图1为点P,Q的“相关矩形”的示意图.已知点A的坐标为(1,2). 28/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 3 3 2 1 -2-1@1234x -6-5-4-3-2-1@123456x 2 -2 图1 图2 以 E D. 5-4-3-2-10 1 2345 图3 (1)如图2，点B的坐标为(b,0) ①若b=-2,则点A,B的“相关矩形”的面积是 ②若点A,B的“相关矩形的面积是8，则b的值为 (2)如图3，等边ADEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为(L,O).点M的坐标为 (m,2),若在△DEF的边上存在一点N,使得点M,N的相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围. 5 63432@2345642， B 3 图4 29/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y个 3 2 综上可知b的值为-3或5； B 65432-10 123456 3 -4 3 M M M M" T-2可- 综上可知的取值范围是-3≤m≤-2+√5或2-√5≤m≤3. (N) E D(N") -4-3-2-10 1 234x 26.综合与实践。 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行.函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、 自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等.由此方法我们来探究y=√x+2的图像和性质. 5432112345 3 5 (I)函数y=√x+2自变量x的取值范围是 (2)①函数y=√x+2中x、y部分对应值如表，其中a= X -2 -1 0 1 2 3 … y=vx+2 0 1 2 5 ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (3)结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质： (④)己知直线：y=-x+b,若直线1的图像与函数y=√x+2的图像有交点，直接写出b的取值范围为 30/31 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 31/31