精品解析：广东江门市新会东方红中学2024-2025学年高二第二学期第一次月考（3月）数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次月考试题 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 首项为1，公差为3的等差数列，当时，序号等于（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】因为等差数列的通项公式为， 由题可知，，，代入上述公式得： . 2. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 108 B. 109 C. 110 D. 111 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 3. 是等差数列，，，则该数列的前13项和（ ） A. 130 B. 143 C. 156 D. 169 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出中间项，再由奇数项等差数列前项和的性质求． 【详解】因为，，所以． 又因为是等差数列，所以，所以，解得． 所以． 4. 某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质即可化简求出奇数项之和. 【详解】解：由题可知，， 根据等差数列的性质可知，所以，所以， 同理，根据等差数列性质可得. 5. 若成等比数列，则函数零点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不是 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等比数列可知，再根据一元二次方程根的判别式即可判断出零点的个数. 【详解】解：由成等比数列，则均不为0，且， 令，则，所以， 因此，方程无实数根，即函数无零点. 6. 某人2011年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2016年1月1日可取回款的数额是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从2011年1月1日到2016年1月1日共经过5年，按复利计算，每年本息乘以，由此求出结果． 【详解】从2011年1月1日到2016年1月1日共经过5年． 按复利计算，1年后本息和为，2年后本息和为，所以5年后本息和为． 7. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（） A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列前项和公式求出这女子第一天织布尺，由此利用等比数列前项和公式能求出要使织布的总尺数不少于30尺，该女子所需的天数至少为多少天． 【详解】解：设该女子第一天织布尺， 则， 解得， 前天织布的尺数为：， 由，得， 解得的最小值为8． 故选：． 【点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题． 8. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是等差数列 D. ，，成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】首先根据等比数列的定义求出数列的通项公式，进而可得到前n项和的表达式，根据数列的相关知识逐一分析． 【详解】因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，． 对于A，因为，所以数列是首项为，公比为4的等比数列，故A正确； 对于B，数列的通项公式为，因为函数是减函数，所以数列是递减数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，所以数列是首项为0，公差为1的等差数列，故C正确； 对于D，因为，，，所以，，显然，所以，，不成等比数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 数列的最大项为和 D. 满足的最大的正整数为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】由与关系求通项判断AB，由二次函数性质判断CD． 【详解】由得当时，， 当时，，时也满足， 故，，A错误，B正确， 由二次函数的对称轴为，故当或时最大，故C正确， 满足得，，最大的正整数为10，故D正确， 故选：BCD 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. 当为偶数时， B. 当为奇数时， C. D. 数列的前项和为 【答案】AB 【解析】 【分析】当时，；当时，，联立利用累加法即可得到为奇数时的通项公式，再由递推公式即可得到为偶数时的通项公式，利用特殊值验证CD即可. 【详解】令且， 当时，①；当时，②， ①②联立得， 所以，累加得， 令（且为奇数）得 ，当时仍成立， 所以当为奇数时，，B正确； 当为奇数时，，所以，其中为偶数，A正确； 当为偶数时，C错误； 数列前项和， 因为①， ②， 所以①-②，D错误； 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数列中，，，且数列为等比数列，则____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出等比数列的公比，得到的通项公式即可求解. 【详解】根据题意，设等比数列的公比为， 由于，则， 因此，解得， 又因为，即，解得， 所以. 13. 把300毫升溶液分给5个实验小组，使每组所得成等差数列，且较多三组之和的是较少两组之和，则最少的那个组分得溶液__________毫升. 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列的概念设出这5组溶液，结合条件中给出的关系即可求解. 【详解】设这5组的公差为，，每组各为， 且，解得， 由题意得，解得， 则最少的那个组分得溶液毫升. 14. 设等比数列的公比q =2，前n项和为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由等比数列的公比， 则． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解； （2）根据等差数列与等比数列的前项和公式分组求和即可. 【小问1详解】 已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ，，解得， 【小问2详解】 ， . 综上， 16. 已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． （1）证明：数列是公差为2的等差数列； （2）设数列的前项的和为，若，证明． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合与之间的关系进行求解证明即可； （2）根据（1）的结论，结合裂项相消法进行求解证明即可. 【小问1详解】 因为数列是公差为1的等差数列，所以． 从而可得． 当时，． 即可得，所以数列是公差为2的等差数列； 【小问2详解】 根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． 所以． 从而可得． 所以成立． 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【小问1详解】 设等差数列是公差为，且， . ，， 又成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 【小问2详解】 由（1）得， 则. 又， 则. 又， ①， ②， ①-②得：， 所以． 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 19. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义，结合条件确定相邻项的比值为非零常数，（2）先根据分组求和法求和，再解不等式，最后取最大值. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，数列为等比数列，首项，公比. （2）， 所以， . 方法一 因为， 所以，， 所以， 故满足条件的最大整数. 方法二 令 ， 因为， 所以， 所以数列是单调递增数列， 又因为，， 故满足条件的最大整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次月考试题 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 首项为1，公差为3的等差数列，当时，序号等于（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 2. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 108 B. 109 C. 110 D. 111 3. 是等差数列，，，则该数列的前13项和（ ） A. 130 B. 143 C. 156 D. 169 4. 某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（ ） A. 34 B. 35 C. 36 D. 不能确定 5. 若成等比数列，则函数零点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不是 6. 某人2011年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2016年1月1日可取回款的数额是（ ） A. B. C. D. 7. 古代数学著作《九章算术》有如下的问题:“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是:“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（） A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 8. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，是数列的前n项和，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是等差数列 D. ，，成等比数列 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 数列的最大项为和 D. 满足的最大的正整数为10 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. 当为偶数时， B. 当为奇数时， C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 数列中，，，且数列为等比数列，则____. 13. 把300毫升溶液分给5个实验小组，使每组所得成等差数列，且较多三组之和的是较少两组之和，则最少的那个组分得溶液__________毫升. 14. 设等比数列的公比q =2，前n项和为，则________． 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． （1）证明：数列是公差为2的等差数列； （2）设数列的前项的和为，若，证明． 17. 已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $