专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，，∴； （3）解：由（1）可得， ∵，∴，∴； 由线段垂直平分线的性质可得，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴，∴． （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据平分求出的度数，根据求出的度数，由即可得出结论． 【详解】在中，，， ． 平分， ． 是边上的高， ， ， ． 故选：B 例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴ 故选：． 例3（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，求 (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、高的含义、三角形的内角和定理的应用等知识点，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键． （1）利用三角形的高线可得，再根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的性质求得，最后根据角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，是高， ∴， ∴． （2）解：在中，， ∴． 又∵是的平分线，， ∴． ∴． 例5（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图、分别是的高和中线，，，，，求： (1)的长； (2)与的周长的差； (3)，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质和定义． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据三角形周长公式计算即可； （3）根据已知条件结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的高，，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴和的周长的差 （）−（） − − ； （3）解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键． （1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可． （2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解． （3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得． 【详解】（1）证明：∵，分别是的高， ∴，， ∴，， ∴． （2）解：∵，分别是的角平分线， ∴，， ∴ ， ∴ ． （3）证明：∵D是的中点， ∴，， ∵E是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 例3（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 【答案】(1)、、、、、 (2)与相等的角是．理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了三角形的高线，熟记三角形的高线的定义以及直角三角形的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可； （2）根据同角的余角相等解答； （3）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据对顶角相等可得． 【详解】（1）解：直角三角形有：、、、、、； （2）解：与相等的角是． 理由如下：、是的高， ，， ， 与相等的角是； （3）解：，是高， ， 在中，， ． 例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 【答案】(1) (2)见解析，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，再由三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）根据（1）、（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点O． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示： ，理由如下： ∵，边上的高，所在直线交于点O， ∴， ∵，， ∴； （3）解：由（1）、（2）可得：． 例5（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形的高等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形的高的定义以及直角三角形两锐角互余，解得，，然后在中，利用三角形内角和定理解得的度数即可． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴在中，． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的面积公式及等式的性质即可直接得出答案； （2）由是边上的中线可求得的长，然后利用三角形的面积公式即可直接得出答案； （3）直接求解的周长的周长即可得出答案． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即：的长度为； （2）解：为边上的中线， ， ， 的面积是； （3）解：， 的周长的周长 ， 即：和的周长的差是． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，三角形中线的有关计算，与三角形高有关的计算等知识点，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 例2（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 【答案】(1) (2)的面积是 (3)和的周长的差是 【分析】本题考查了三角形中线和高、三角形周长与面积的计算． （1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由(1)可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 例3（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求和周长的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形中的一些重要线段：三角形的高和三角形的中线，熟练掌握利用面积法求三角形的高是解题的关键． （1）根据即可求出的长． （2）将和的周长分别表示出来，作差即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， 即的长度为； （2）∵为边上的中线， ∴， ∴的周长的周长 ， 即和的周长的差是． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键； （1）先求解，再利用平行线的性质可得答案； （2）先证明，，可得，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴，         ∵， ∴，   ∴； 5（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和及外角性质，三角形的高和角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义得，由三角形外角性质得，又由三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，角度的和差计算方法是解题的关键． 先利用三角形的内角和、角平分线的性质求出，，再利用三角形的内角和求出，最后利用角的和差关系求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中线的定义，可判断A；根据角平分线的定义以及同角的余角相等，可判断C；根据等角的余角相等，对顶角相等，可判断D；即可得出结论． 【详解】解：A 、是的中线， ， ， ，故A选项正确； B、条件不足，无法得到，故B选项错误； C 、，分别是的高和角平分线， ，， ， ， ， ，故C选项正确； D、，， ，， ， ， ， ，故D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，同（等）角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（2024八年级上·贵州·专题练习）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高等知识． 先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据是上的高得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是上的高， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：D． 5．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 6．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，，平分，是上的高，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，依据直角三角形，即可得到，再根据，平分，即可得到的度数，再根据进行计算即可．熟知三角形内角和是以及角平分线的定义是解答此题的关键． 【详解】解：∵是上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴， 故选B． 7．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下列说法正确的个数是（    ） ①的面积与的面积相等；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到，再根据角平分线的定义可对③进行判断，根据已知条件不能推出，故④错误． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 设边上的高为， ∵ ∴，故①正确； ∵是高， ∴ ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， 而， ∴，故③正确． 根据已知条件不能推出，故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点O，，，则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算，，，，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：是的高， ， ，， ， ∵平分，， ∴， ， ， 分别平分， ∴， ， ． 故答案为： 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    【答案】50或25/25或50 【分析】根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵平分 ∴ 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1，    ∵， ∴； ②当时，如图2，    ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：50或25． 【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，熟知“三角形的外角的性质”是解答此题的关键． 11．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 【答案】42或21 【分析】直接根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形内和定理和外角的性质，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 平分， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ， ； ②当时，如图2， ， ， ， 综上，的度数为或． 故答案为：42或21． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形内和定理与外角的性质，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 12．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高线，角平分线的知识，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键．首先根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，接下来在中，利用直角三角形两锐角互余列式计算即可求出，然后列式计算即可求出，即可得到题目的结论． 【详解】解：， AE是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 13．（24-25八年级上·天津·阶段练习）在△ABC中, 已知∠ABC = 62°, ∠ACB = 58°，BE 是AC 上的高，CF 是 AB 上的高，H 是 BE 和CF 的交点．求∠ABE、∠ACF 和∠BHC 的度数. 【答案】∠ABE=30°，∠ACF=30°，∠BHC=120° 【分析】首先根据三角形的高可得∠AFC=∠AEB=90°，再利用三角形内角和可以算出∠ABE、∠ACF的度数，再根据角的和差关系算出∠HBC和∠HCB的度数，再利用三角形内角和定理可得∠BHC的度数． 【详解】解：∵BE是AC上的高， ∴∠AEB=90°， ∵∠ABC=62°，∠ACB=58°， ∴∠A=180°-62°-58°=60°， ∴∠ABE=180°-90°-60°=30°， ∵CF是AB上的高， ∴∠AFC=90°， ∴∠ACF=180°-90°-60°=30°， ∵∠ABE=30°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=62°-30°=32°， ∵∠ACF=30°，∠ACB=58°， ∴∠BCH=28°， ∴∠BHC=180°-32°-28°=120°． 【点睛】此题主要考查了三角形的高，三角形内角和定理，关键是熟练掌握三角形内角和为180°，理清角之间的关系． 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ． (2)当时，求的度数． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了中线与面积，三角形内角和性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合是的中线，的面积为6，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运算三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为； （2）解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴， ∴. 15．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余： （1）根据角平分线的定义，可得，再由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且． (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形高线、角平分线的定义． （1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求出，然后可得的度数； （2）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再表示出，然后可得的度数． 【详解】（1）解：， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 17．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形高的定义： （1）由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形外角的性质求出，再由三角形内角和定理得到，接着由角平分线的定义得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：平分，， ， 是的高， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ， ． 18．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求和的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查三角形的高，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，先利用高的定义得出，，再根据三角形内角和定理依次求出，，，再利用平角定义即可求． 【详解】解：在中，，， 所以． 因为， 所以． 所以． 因为， 所以． 所以． 所以． 20．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的角平分线与高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）先由三角形的内角和定理求出，再根据角平分线求出，根据三角形的高得到，从而在中求出，进而根据角的和差即可解答； （2）根据角平分线求出，，根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． （2）解：是的平分线，， ， 是的角平分线，， ， ． 21．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 23．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质等知识，综合性强，掌握三角形内角和定理，加大数学知识的应用意识是解题关键． 24．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，进而得到，，根据是边上的高得到，即可求出； （2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到； （3）根据得到，得到，从而求出．由（2）得，结合，得到．根据平分，得到，根据，得到，求出．从而分别求出，，，再求出，根据四边形内角和为即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴； （2）答：． 证明：∵、分别平分和的外角， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（2）得， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，四边形内角和等知识，综合性较强，第（3）步难度较大．熟知相关定理，并根据题意进行角的表示与代换是解题关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，是边的高，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（    ）． A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·山东德州·期末）如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则 ．（用含有的式子表示） 例4（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，求 (1)的度数． (2)的度数． 例5（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图、分别是的高和中线，，，，，求： (1)的长； (2)与的周长的差； (3)，，求的度数． 模型2.双垂直模型 例1（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中， (1)如图1，若，分别是的高，求证：； (2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）； (3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：． 例2（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 例3（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 例4（24-25七年级下·全国·单元测试）在中： (1)如图，若，，边上的高，交于点O．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2） 可以得到，无论是锐角还是钝角，总有 ． 例5（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，是和的交点，求的度数． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求的面积； (3)求和的周长的差． 例2（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，． (1)求的长度； (2)求的面积； (3)求和的周长之差． 例3（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长； (2)求和周长的差． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，是的高，点E、F在、上，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 5（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，．则下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024八年级上·贵州·专题练习）在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，，平分，是上的高，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下列说法正确的个数是（    ） ①的面积与的面积相等；②；③；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 9．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，是高，角平分线，相交于点O，，，则 的度数是 ． 10．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则 ．    11．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，分别是高和角平分线，点E为边上一个点，当为直角三角形时，则 度． 12．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 13．（24-25八年级上·天津·阶段练习）在△ABC中, 已知∠ABC = 62°, ∠ACB = 58°，BE 是AC 上的高，CF 是 AB 上的高，H 是 BE 和CF 的交点．求∠ABE、∠ACF 和∠BHC 的度数. 14．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，AE，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为6，则的面积为 ． (2)当时，求的度数． 15．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是边上的高，分别是的平分线，且相交于点O，已知． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是高，是角平分线，且． (1)若，，求，的度数； (2)若，直接写出此时的度数． 17．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，是的高，、是的角平分线，且． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 18．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 19．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，，，，分别是边，上的高，它们交于点H，求和的度数． 20．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，中，、分别是的高和角平分线，是的平分线，与交于，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 21．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 22．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 23．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在中，是角平分线．．    (1)如图（1），是高，，，求的度数； (2)如图（2），点在上，于，试探究与、的大小关系，并证明你的结论（提示：过点作于）； (3)如图（3），点在的延长线上．于，试探究与、的大小关系是______．（直接写出结论，不需证明） 24．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，、分别平分和的外角，请直接写出与的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，连接PA，过P作交延长线于G，若，且，交的延长线于H，求的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $